CHỦ ĐỀ TẬP HỢP - TÍNH CHẤT CHIA HẾT - LUỸ THỪA (PHẦN 2)

CHỦ ĐỀ TẬP HỢP - TÍNH CHẤT CHIA HẾT - LUỸ THỪA (PHẦN 2)

MATHX gửi Quý phụ huynh và các em học sinh chủ đề tập hợp - tính chất chia hết - luỹ thừa - phần tiếp theo trong học kì 1 lớp 6 kèm đáp án tham khảo.

Bài 1. Học sinh khối 6 của một trường có khoảng 100 đến 150 học sinh. Biết rằng khi xếp hàng thành 6 hàng, 8 hàng, 10 hàng thì vừa đủ hàng. Tính số học sinh khối 6 của trường đó.

Hướng dẫn
Gọi số học sinh khối 6 của trường đó là \( x \) (học sinh), \( x \in \mathbb{N}^*,\ 100 \leq x \leq 150 \)
Khi xếp thành 6 hàng, 8 hàng, 10 hàng đều vừa đủ nên ta có \( x:6,\ x:8,\ x:10 \)
Hay \( x \in BC(6,8,10) \)
Ta có:
\( 6 = 2.3 \)
\( 8 = 2^3 \)
\( 10 = 2.5 \)
Do đó \( \mathrm{BCNN}(6,8,10) = 2^3.3.5 = 120 \)
Suy ra \( BC(6,8,10) = B(120) = \{0;120;240;360;\ldots\} \)
Vậy số học sinh khối 6 của trường đó là \( 120 \) học sinh.

Bài 2. Học sinh của một trường THCS đồng diễn thể dục thể thao. Biết số học sinh của trường khi xếp thành 12 hàng, 18 hàng, 28 hàng đều vừa đủ. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh, biết số học sinh trong khoảng từ 500 đến 600?

Hướng dẫn
Gọi số học sinh của trường THCS là \( x \) (học sinh) \( (500 \leq x \leq 600),\ x \in \mathbb{N}^* \).
Theo bài ra ta có \( x:12, x:18, x:28 \) nên \( x \in BC(12,18,28) \).
Ta có:
\( 12 = 2^2.3 \) ; \( 18 = 2.3^2 \) ; \( 28 = 2^2.7 \)
\( \mathrm{BCNN}(12,18,28) = 2^2.3^2.7 = 252 \)
\( BC(12,18,28) = B(252) = \{0;252;504;756;\ldots\} \)
Vì \( x \in BC(12,18,28) \) và \( 500 \leq x \leq 600 \)
nên \( x = 504 \)
Vậy số học sinh của trường THCS đó là \( 504 \) học sinh.

Bài 3. Lớp 6A có 42 học sinh, lớp 6B có 48 học sinh cùng tham gia chơi trò chơi. Cô tổng phụ trách đã chia hai lớp thành các đội sao cho số học sinh của lớp 6A và 6B được chia đều về các đội. Hỏi cô có thể chia nhiều nhất bao nhiêu đội chơi?

Hướng dẫn
Gọi số đội chơi có thể chia nhiều nhất là \( a \ (a \in \mathbb{N}^*) \).
Theo bài ra ta có:
\( 42:a;\ 48:a \) và \( a \) lớn nhất nên \( a = \mathrm{UCLN}(42,48) \)

\( 42 = 2.3.7 \) ; \( 48 = 2^4.3 \)
\( \mathrm{UCLN}(42,48) = 2.3 = 6 \)

Vậy cô tổng phụ trách có thể chia nhiều nhất thành \( 6 \) đội chơi.

Bài 4. Cô Hoa muốn chia 160 quyển vở, 96 chiếc bút chì và 192 chiếc bút bi thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp tổng kết học kì I. Hỏi cô Hoa có thể chia thành nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng? Khi chia được số phần thưởng nhiều nhất thì mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì và bao nhiêu bút bi?

Hướng dẫn
Gọi số phần thưởng cô Hoa muốn chia là \( x \) (phần thưởng), \( x \in \mathbb{N}^* \)
Vì 160 quyển vở, 96 bút chì và 192 bút bi chia thành \( x \) phần thưởng như nhau tức là \( 160:x;\ 96:x;\ 192:x \) mà \( x \) lớn nhất nên \( x = \mathrm{UCLN}(160,96,192) \)

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\( 160 = 2^5.5 \)
\( 96 = 2^5.3 \)
\( 192 = 2^6.3 \)

Suy ra \( x = \mathrm{UCLN}(160,96,192) = 2^5 = 32 \)

Số quyển vở trong mỗi phần thưởng là \( 160:32 = 5 \) (quyển)
Số bút chì trong mỗi phần thưởng là \( 96:32 = 3 \) (bút chì)
Số bút bi trong mỗi phần thưởng là \( 192:32 = 6 \) (bút bi)

Bài 5. Số học sinh khối 6 của trường Ngôi Sao khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em, xếp hàng 12 em thì thừa 10 em, xếp hàng 15 em thì thừa 13 em nhưng xếp hàng 17 em thì vừa đủ. Tính số học sinh khối 6 của trường biết số học sinh là một số tự nhiên có 3 chữ số nhỏ hơn 250.

Hướng dẫn

Gọi số học sinh khối 6 là \( x \ (x \in \mathbb{N}^*, x < 250) \)

Vì khi xếp hàng 10 em thì thừa 8 em, xếp hàng 12 em thì thừa 10 em, xếp hàng 15 em thì thừa 13 em nên

\( x+2 : 10; \quad x+2 : 12; \quad x+2 : 15 \)

\( \Rightarrow x+2 \in BC(10;12;15) \)

Ta có: \( 10 = 2 \cdot 5, \quad 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 15 = 3 \cdot 5 \)

\( \Rightarrow \text{BCNN}(10;12;15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \)

\( \Rightarrow x+2 \in B(60) = \{0; 60; 120; 180; 240; \ldots\} \)

\( \Rightarrow x \in \{58; 118; 178; 238; \ldots\} \)

Vì xếp hàng 17 em thì vừa đủ \( \Rightarrow x : 17 \) mà \( x < 250 \Rightarrow x = 238 \).

Vậy số học sinh khối 6 của trường là 238 em.

Bài 6. Một số sách nếu xếp thành từng bó 10 quyển thì dư 2 quyển, xếp từng bó 12 quyển thì thừa 4 quyển, xếp thành bó 15 quyển thì thừa 7 quyển. Tính số sách đó biết rằng số sách trong khoảng từ 100 đến 150.

Hướng dẫn

Giả sử số sách đó có \( a \) quyển.

Số sách đó xếp thành từng bó 10, 12, 15 quyển đều vừa đủ. Nghĩa là \( a \) là bội của 10, 12, 15.

Hay \( a \in BC(10;12;15) \).

Ta có: \( 10 = 2 \cdot 5, \quad 12 = 2^2 \cdot 3, \quad 15 = 3 \cdot 5 \)

\( \Rightarrow \text{BCNN}(10;12;15) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \)

\( \Rightarrow BC(10;12;15) = B(60) = \{0; 60; 120; 180; 240; 300; \ldots\} \)

Do \( 100 < a < 150 \) nên \( a = 120 \).

Vậy có 120 quyển sách.

Bài 7. Cô giáo chủ nhiệm lớp 6A có đưa ra nội quy thi đua như sau: mỗi điểm kiểm tra đạt từ 8 điểm trở lên là một bông hoa điểm tốt. Cuối kỳ 1, cô nhận được bảng tổng hợp bông hoa điểm tốt của lớp. Cô thấy: Số bông hoa điểm tốt của Mai chia 7 dư 3 và số bông hoa điểm tốt của Đào chia 9 dư 4. Thương của hai phép chia đó bằng nhau. Cô khẳng định: “Số bông hoa điểm tốt của Mai và Đào là hai số nguyên tố cùng nhau”. Hãy giải thích vì sao: Số bông hoa điểm tốt của Mai và Đào là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn

Gọi thương của hai phép chia là \( n \) (là số tự nhiên).

Số bông hoa điểm tốt của bạn Mai là \( 7n + 3 \)

Số bông hoa điểm tốt của bạn Đào là \( 9n + 4 \)

Gọi \( \text{UCLN}(7n+3, 9n+4) = d \) (với \( d \) là số tự nhiên khác 0).

Ta có: \( (7n+3):d \Rightarrow (63n+27):d \)

\( (9n+4):d \Rightarrow (63n+28):d \)

Suy ra: \( (63n+27) - (63n+28) = -1 \) chia hết cho \( d \)

Vậy \( d = 1 \)

Do đó \( \text{UCLN}(7n+3, 9n+4) = 1 \)

Vậy số bông hoa điểm tốt của Mai và Đào là hai số nguyên tố cùng nhau.

a) Em hãy sử dụng quy tắc trên để xác định CAN, CHI của năm 2013?
b) Dưới sự chỉ huy tài tình của Hưng Đạo Đại Vương Trần Quốc Tuấn, quân dân nhà Trần đã ba lần chiến thắng quân Nguyên Mông. Chiến thắng lần thứ 3 vào năm Mậu Tý (Can là Mậu, chi là Tý) cuối thế kỉ 13. Em hãy xác định năm đó là năm bao nhiêu?

Hướng dẫn

a) Ta có \(2013\) chia cho \(10\) được \(201\) dư \(3\) nên \(r = 3\), tra bảng 1 ta có CAN là Quý.

Ta có \(2013\) chia cho \(12\) được \(167\) dư \(9\) nên \(s = 9\), tra bảng 2 ta có CHI là Tỵ.

b) Gọi năm đó là năm X. Vì sự kiện xảy ra vào thế kỉ 13 nên ta có \(X = 12ab\), \(a, b \in \mathbb{N}, 0 \le a, b \le 9\).

Vì năm X là năm Mậu Tý nên X chia cho 10 dư 8, do đó \(X = 12a8\).

Vì năm X là năm Mậu Tý nên X chia cho 12 dư 4.

Suy ra \((12.100 + 10a + 8 - 4)\) chia hết cho 12.

Suy ra \((10a + 4):12\), kết hợp với \(0 \le a \le 9\) tìm được \(a = 2, a = 8\).

Ta được các năm \(1228; 1288\).

Vì sự kiện xảy ra vào cuối thế kỉ 13 nên năm cần tìm là năm X = 1288.

Bài 9. Tìm các số nguyên x, sao cho \((4x - 3) : (x - 5)\).

Hướng dẫn

Ta có: \((4x - 3):(x - 5)\) hay \(4(x - 5) + 20 - 3 : (x - 5)\)

hay \(4(x - 5) + 17:(x - 5)\)

mà \(4(x - 5):(x - 5)\)

nên \(17:(x - 5)\)

do đó \(x - 5 \in U(17) = \{-1; 1; -17; 17\}\)

+ Với \(x - 5 = -1\) suy ra \(x = 4\) (nhận)

+ Với \(x - 5 = 1\) suy ra \(x = 6\) (nhận)

+ Với \(x - 5 = -17\) suy ra \(x = -12\) (nhận)

+ Với \(x - 5 = 17\) suy ra \(x = 22\) (nhận)

Vậy \(x \in \{6; 4; -12; 22\}\)

Bài 10. Tìm số tự nhiên n sao cho:
1) \(n + 3\) chia hết cho \(n - 1\).
2) \(4n + 3\) chia hết cho \(2n + 1\).

Hướng dẫn

1) Ta có \((n + 3):(n - 1)\) hay \((n - 1) + 4:(n - 1)\)

Mà \((n - 1):(n - 1)\) nên \(4:(n - 1)\)

Do đó \(n - 1 \in U(4) = \{-1; 1; 4; -4; 2; -2\}\)

Lại có n là số tự nhiên nên \(n - 1 \ge -1\)

Với \(n - 1 = -1\) suy ra \(n = 0\) (nhận)
Với \(n - 1 = 1\) suy ra \(n = 2\) (nhận)
Với \(n - 1 = 4\) suy ra \(n = 5\) (nhận)
Với \(n - 1 = 2\) suy ra \(n = 3\) (nhận)

Vậy \(n \in \{0; 2; 3; 5\}\)

2) Ta có \((4n + 3):(2n + 1)\) hay \(2(2n + 1) + 1:(2n + 1)\)

Mà \(2(2n+1):(2n+1)\) nên \(1:(2n+1)\)

Do đó \(2n+1 \in U(1) = \{-1; 1\}\)

Với \(2n+1 = -1\) suy ra \(n = -1\) (loại)
Với \(2n+1 = 1\) suy ra \(n = 0\) (nhận)

Vậy \(n = 0\).

Bài 11. Tìm số nguyên n sao cho \((n^2 + 4):(n+2)\).

Hướng dẫn

Tìm số nguyên n sao cho \((n^2 + 4):(n+2)\)

Ta có \(n^2 + 4 = (n^2 + 2n) - (2n + 4) + 8 = n.(n+2) - 2.(n+2) + 8\)

Vì \(n.(n+2):(n+2)\) và \(2.(n+2):(n+2)\)

Nên để \((n^2+4):(n+2)\) thì \(8:(n+2)\)

Hay \(n+2 \in U(8) = \{-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8\}\)

Vậy \(n \in \{-10; -6; -4; -3; -1; 0; 2; 6\}\)

Bài 12. Chứng tỏ rằng với n là số tự nhiên thì \(7n+10\) và \(5n+7\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn

Gọi d là ƯC\((7n+10, 5n+7)\) (điều kiện \(d \in \mathbb{N}^*\))

Suy ra \(7n+10 : d\) và \(5n+7 : d\)

\(\Rightarrow 5(7n+10):d \ \text{và} \ 7(5n+7):d\)

Theo tính chất chia hết của một hiệu ta có:

\(5(7n+10) - 7(5n+7) = 1:d \Rightarrow d = 1\)

Vậy \(7n+10\) và \(5n+7\) là hai số nguyên tố cùng nhau (\(n \in \mathbb{N}\))

Bài 13. Tìm hai số tự nhiên a, b thoả mãn \(a+b=128\) và ƯCLN\((a,b)=16\).

Hướng dẫn

Do ƯCLN\((a,b)=16\) nên ta có \(a=16m; b=16n \ (m,n \in \mathbb{N}^*)\) và ƯCLN\((m,n)=1\).

Khi đó \(a+b=128\) hay \(16m+16n=128\) do đó \(m+n=8\)

Mà \( \mathrm{UCLN}(m,n) = 1 \) nên:

TH1: \( m = 1, \; n = 7 \)
Hai số đó là \( a = 16 \) và \( b = 112 \).

TH2: \( m = 7, \; n = 1 \)
Hai số đó là \( a = 112 \) và \( b = 16 \).

TH3: \( m = 3, \; n = 5 \)
Hai số đó là \( a = 48 \) và \( b = 80 \).

TH4: \( m = 5, \; n = 3 \)
Hai số đó là \( a = 80 \) và \( b = 48 \).

Vậy \( (a,b) = \{(16;112); (112;16); (48;80); (80;48)\} \).