ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ I NĂM 2025 - 2026 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM LỚP 8

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh đề kiểm tra học kỳ 1 năm 2025 - 2026, trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam kèm hướng dẫn bài 2.2 và bài 5.

Đề kiểm tra học kỳ 1 năm 2025 - 2026, trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam

Lời giải chi tiết bài 2.2 và bài 5

Bài 2.2 Tìm các hằng số \( a, b \) sao cho đa thức \( 4x^{3} - x^{2} + ax + b \) chia cho đa thức \( x^{2} + x + 2 \) được dư là \( 3x + 1 \).

Hướng dẫn.

Vì đa thức bị chia có bậc \( 3 \) và đa thức chia có bậc \( 2 \) nên đa thức thương có bậc \( 1 \). Gọi đa thức thương là \( mx + n \) (\( m \ne 0 \)). Ta có:

\( 4x^{3} - x^{2} + ax + b = (x^{2} + x + 2)(mx + n) + 3x + 1 \)

\( 4x^{3} - x^{2} + ax + b = mx^{3} + mx^{2} + 2mx + nx^{2} + nx + 2n + 3x + 1 \)

\( 4x^{3} - x^{2} + ax + b = mx^{3} + (m + n)x^{2} + (2m + n + 3)x + 2n + 1 \)

Đồng nhất các hệ số, ta được:

\( \begin{cases} m = 4 \\ m + n = -1 \\ 2m + n + 3 = a \\ 2n + 1 = b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = 4 \\ n = -1 - m \\ a = 2m + n + 3 \\ b = 2n + 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} m = 4 \\ n = -5 \\ a = 6 \\ b = -9 \end{cases} \)

Vậy \( a = 6 \), \( b = -9 \).

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A = x^{2} + 4y^{2} + 2x + 4y - 2xy - 5 \)

Hướng dẫn.

\( A = x^{2} + 4y^{2} + 2x + 4y - 2xy - 5 \)

\( = x^{2} + 2x(1 - y) + 4y^{2} + 4y - 5 \)

\( = x^{2} - 2x(y - 1) + (y - 1)^{2} - (y - 1)^{2} + 4y^{2} + 4y - 5 \)

\( = (x - y + 1)^{2} + 3y^{2} + 6y - 6 \)

\( = (x - y + 1)^{2} + 3(y + 1)^{2} - 9 \)

Có \( (x - y + 1)^{2} \ge 0 \), \( (y + 1)^{2} \ge 0 \) với mọi \( x, y \).

⇒ \( A = (x - y + 1)^{2} + 3(y + 1)^{2} - 9 \ge -9 \)

Dấu \( = \) xảy ra khi \( \begin{cases} x - y + 1 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -2 \\ y = -1 \end{cases} \)