MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Bên cạnh những phương pháp được trình bày trong sách giáo khoa, còn có nhiều cách phân tích đa thức thành nhân tử khác giúp việc biến đổi và tính toán trở nên linh hoạt, hiệu quả hơn. Các phương pháp dưới đây thường được sử dụng trong quá trình học tập, ôn luyện và giải các dạng bài nâng cao, giúp học sinh rèn luyện tư duy đại số và nắm vững bản chất của phép biến đổi đa thức.

I. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp tách.

Để phân tích đa thức \( ax^2 + bx + c \ (a \neq 0) \) thành nhân tử.

Ta cần tính tích \( ac \) rồi tách chúng ra thành hai thừa số \( ac = a_1 c_1 = a_2 c_2 = \ldots \)

Sau đó, ta chọn ra hai thừa số có tổng bằng \( b \), chẳng hạn \( ac = a_1 c_1 \) và \( a_1 + c_1 = b \).

Khi đó \( ax^2 + bx + c = ax^2 + a_1 x + c_1 x + c \), ta dùng phương pháp nhóm để phân tích tiếp.

Ví dụ: Phân tích đa thức \( 3x^2 + 8x + 4 \) thành nhân tử.

Hướng dẫn:

Ta có \( 12 = 3 \cdot 4 = 2 \cdot 6 \) mà \( 2 + 6 = 8 \).

\( 3x^2 + 8x + 4 = 3x^2 + 6x + 2x + 4 \)
\( = 3x(x+2) + 2(x+2) \)
\( = (3x + 2)(x + 2) \)

II. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm.

Để phân tích đa thức \( P(x) \) thành nhân tử, biết rằng \( x_0 \) là nghiệm của \( P(x) \) (tức là \( P(x_0)=0 \)).

Khi đó \( P(x) \) có chứa nhân tử \( (x - x_0) \). Nếu \( x_0 = \dfrac{a}{b} \ (a,b \in \mathbb{Z}) \) thì \( P(x) \) chứa nhân tử \( (bx - a) \).

Ví dụ: Phân tích đa thức \( x^3 + 4x^2 - 29x + 24 \) thành nhân tử.

Hướng dẫn:

Ta thấy \( x = 1 \) là nghiệm của \( x^3 + 4x^2 - 29x + 24 \) nên đa thức chứa nhân tử \( (x - 1) \).

\( x^3 + 4x^2 - 29x + 24 = x^3 - x^2 + 5x^2 - 5x - 24x + 24 \)
\( = x^2(x - 1) + 5x(x - 1) - 24(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 5x - 24) \)

Ta thấy \( x = 3 \) là nghiệm của \( x^2 + 5x - 24 \) nên đa thức chứa nhân tử \( (x - 3) \).

\( (x - 1)(x^2 + 5x - 24) = (x - 1)(x^2 - 3x + 8x - 24) \)
\( = (x - 1)(x - 3)(x + 8) \)

Vậy \( x^3 + 4x^2 - 29x + 24 = (x - 1)(x - 3)(x + 8) \)

III. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến.

Trong một số bài tập, ta nên đặt ẩn phụ để bài toán trở nên rõ ràng, gọn gàng, tránh nhầm lẫn.

Ví dụ: \( (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 \)

Hướng dẫn:

\( (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 \)
\( = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) - 24 \)
\( = (x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) - 24 \)

Đặt \( t = x^2 + 5x + 5 \), khi đó đa thức trở thành:

\( (t - 1)(t + 1) - 24 = t^2 - 1 - 24 = t^2 - 25 = (t - 5)(t + 5) \)

Thay \( t = x^2 + 5x + 5 \) vào ta được:

\( (x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x^2 + 5x + 10) \)

Vậy \( (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = x(x + 5)(x^2 + 5x + 10) \)

IV. Luyện tập.

Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) \( x^2 + 5x + 6 \)
b) \( 3x^2 - x - 10 \)
c) \( x^2 - x - 2025.2026 \)

Hướng dẫn:

a) \( x^2 + 5x + 6 = x^2 + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3) \)

b) \( 3x^2 - x - 10 = 3x^2 + 5x - 6x - 10 = x(3x + 5) - 2(3x + 5) = (x - 2)(3x + 5) \)

c) \( x^2 - x - 2025.2026 = x^2 + 2025x - 2026x - 2025.2026 = (x + 2025)(x - 2026) \)

Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) \( 3x^3 - 7x^2 + 17x - 5 \)
b) \( x^3 + 6x + 11x + 6 \)
c) \( x^3 + 5x^2 + 8x + 4 \)

Hướng dẫn:

a) Dễ thấy \( x = \frac{1}{3} \) là nghiệm của \( 3x^3 - 7x^2 + 17x - 5 \).

\( \Rightarrow 3x^3 - 7x^2 + 17x - 5 \) chứa nhân tử \( (3x - 1) \).

\( 3x^3 - 7x^2 + 17x - 5 \)
= \( 3x^3 - x^2 - 6x^2 + 2x + 15x - 5 \)
= \( x^2(3x - 1) - 2x(3x - 1) + 5(3x - 1) \)
= \( (3x - 1)(x^2 - 2x + 5) \)

b) Có \( x = -1 \) là nghiệm của \( x^3 + 6x + 11x - 6 \)

\( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \)
= \( x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6 \)
= \( x^2(x + 1) + 5x(x + 1) + 6(x + 1) \)
= \( (x + 1)(x^2 + 5x + 6) \)
= \( (x + 1)(x + 2)(x + 3) \)

c) Có \( x = -1 \) là nghiệm của \( x^3 + 5x^2 + 8x + 4 \)

\( x^3 + 5x^2 + 8x + 4 \)
= \( x^3 + x^2 + 4x^2 + 4x + 4x + 4 \)
= \( x^2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) \)
= \( (x + 1)(x^2 + 4x + 4) \)
= \( (x + 1)(x + 2)^2 \)

Bài 3. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) \( (x^2 - 4)(x^2 - 10) - 72 \)
b) \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12 \)

c) \( (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 \)

Hướng dẫn:
Đặt \( t = x^2 - 4 \), đa thức có dạng:
\( t(t - 6) - 72 = t^2 - 6t - 72 = (t + 6)(t - 12) \)
Thay \( t = x^2 - 4 \), ta có:
\( (t + 6)(t - 12) = (x^2 + 2)(x^2 - 16) = (x^2 + 2)(x + 4)(x - 4) \)
Vậy \( (x^2 - 4)(x^2 - 10) - 72 = (x^2 + 2)(x + 4)(x - 4) \).

b) \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12 \)
Đặt \( t = x^2 + x + 1 \), đa thức có dạng:
\( t(t + 1) - 12 = t^2 + t - 12 = (t + 4)(t - 3) \)
Thay \( t = x^2 + x + 1 \), ta có:
\( (t + 4)(t - 3) = (x^2 + x + 5)(x^2 + x - 2) = (x^2 + x + 5)(x - 1)(x + 2) \)
Vậy \( (x^2 + x + 1)(x^2 + x + 2) - 12 = (x^2 + x + 5)(x - 1)(x + 2) \).

c) \( (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 \)
Ta có: \( (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 \)
= \( (x^2 + 2x)^2 + 9(x^2 + 2x) + 20 \)
Đặt \( t = x^2 + 2x \), ta được:
\( t^2 + 9t + 20 = (t + 4)(t + 5) \)
Thay lại \( t = x^2 + 2x \):
\( (t + 4)(t + 5) = (x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 5) \)
Vậy \( (x^2 + 2x)^2 + 9x^2 + 18x + 20 = (x^2 + 2x + 4)(x^2 + 2x + 5) \).

Bài 4. Phân tích đa thức thành nhân tử

a) \( (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 3x + 1) + x^{2} \)

b) \( (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^{4} \)

Hướng dẫn:

a) \( (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 3x + 1) + x^{2} \)

Đặt \( t = x^{2} + x + 1 \), ta có:

\( t(t + 2x) + x^{2} = t^{2} + 2xt + x^{2} = (x + t)^{2} \)

Thay \( t = x^{2} + x + 1 \) vào, ta được:

\( (x + t)^{2} = (x^{2} + 2x + 1)^{2} = (x + 1)^{4} \)

Vậy \( (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 3x + 1) + x^{2} = (x + 1)^{4} \)

b) \( (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^{4} \)

\( (x + y)(x + 4y)(x + 2y)(x + 3y) + y^{4} \)

= \( (x^{2} + 5xy + 4y^{2})(x^{2} + 5xy + 6y^{2}) + y^{4} \)

Đặt \( t = x^{2} + 5xy + 5y^{2} \), ta có dạng:

\( (t - y^{2})(t + y^{2}) + y^{4} = t^{2} - y^{4} + y^{4} = t^{2} \)

Thay \( t = x^{2} + 5xy + 5y^{2} \), ta có:

\( t^{2} = (x^{2} + 5xy + 5y^{2})^{2} \)

Vậy \( (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y^{4} = (x^{2} + 5xy + 5y^{2})^{2} \)

Bài 5. Phân tích đa thức thành nhân tử: \( x^{4} + 6x^{3} + 7x^{2} + 6x + 1 \)

Hướng dẫn:

Nếu \( x \neq 0 \), ta có:

\( x^{4} + 6x^{3} + 7x^{2} + 6x + 1 = x^{2}\left( x^{2} + 6x + 7 + \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}} \right) \)

\( = x^{2}\left[ \left( x^{2} + \frac{1}{x^{2}} \right) + 6\left( x + \frac{1}{x} \right) + 7 \right] \)

Đặt \( t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow t^{2} = \left( x + \frac{1}{x} \right)^{2} = \frac{1}{x^{2}} + x^{2} + 2 \)

⇒ \( \frac{1}{x^{2}} + x^{2} = t^{2} - 2 \)

Khi đó đa thức có dạng:

\( x^{2}(t^{2} - 2 + 6t + 7) = x^{2}(t^{2} + 6t + 5) = x^{2}(t + 1)(t + 5) \)

Thay t trở lại, ta có:

\( x^{2}\left( x + \frac{1}{x} + 1 \right)\left( x + \frac{1}{x} + 5 \right) = (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 5x + 1) \)

Vậy \( x^{4} + 6x^{3} + 7x^{2} + 6x + 1 = (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 5x + 1) \) (1) với \( x \neq 0 \).

Thay \( x = 0 \) vào hai vế của (1), ta thấy vế phải bằng vế trái vì cùng bằng 1.

Vậy \( x^{4} + 6x^{3} + 7x^{2} + 6x + 1 = (x^{2} + x + 1)(x^{2} + 5x + 1) \)