TỔNG HỢP CÁC CÂU CUỐI ĐỀ GIỮA HỌC KÌ 1 TOÁN 7 (PHẦN 2)

MATHX gửi các phụ huynh và các em học sinh các câu cuối đề giữa học kì 1 toán 7 (Phần 2)

Bài 1. (Thanh Am - Hà Nội)

So sánh A với\(\dfrac{1}{2}\)biết: \( A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{3^{99}} \)

Hướng dẫn:

\( 3A = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \ldots + \dfrac{1}{3^{98}} \)
\( 3A - A = 1 - \dfrac{1}{3^{99}} \Rightarrow 2A = \dfrac{3^{99} - 1}{3^{99}} \Rightarrow A = \dfrac{3^{99} - 1}{2 \cdot 3^{99}} \Rightarrow A < \dfrac{1}{2} \)

Bài 2. (Vạn phúc - Hà Nội)

Cho \( P = \dfrac{1}{1007} + \dfrac{1}{1008} + \ldots + \dfrac{1}{2012} + \dfrac{1}{2013} \)

và \( S= 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots - \dfrac{1}{2012} + \dfrac{1}{2013} \)

Tính \((S-P)^{2013}\)

Hướng dẫn: 

\( P = \dfrac{1}{1007} + \dfrac{1}{1008} + \ldots + \dfrac{1}{2012} + \dfrac{1}{2013} \)

\( = \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{1006} + \dfrac{1}{1007} + \dfrac{1}{1008} + \ldots + \dfrac{1}{2013} \right) - \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{1006} \right) \)

\( = \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{2013} \right) - \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{1006} \right) \)

\( = 1 - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4} + \ldots - \dfrac{1}{2012} + \dfrac{1}{2013} = S \)

Bài 3. (Phúc Lợi - Hà Nội)

So sánh \( A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{100^2}\) với 1

Hướng dẫn:

\( A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{100^2}, \) chứng minh rằng \( A < 1 \).

Ta có: \( \dfrac{1}{2^2} < \dfrac{1}{1 \cdot 2} \)

\( \dfrac{1}{3^2} < \dfrac{1}{2 \cdot 3} \)

\( \dfrac{1}{100^2} < \dfrac{1}{99 \cdot 100} \)

\( \Rightarrow A < \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{99 \cdot 100} \)

\( A < \left( 1 - \dfrac{1}{2} \right) + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100} \right) = 1 - \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100} \)

\( \Rightarrow A < 1 \)

Bài 4. (Giao Thủy - Nam Định)

Cho \( \dfrac{1}{2}A = \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{9^2} + \ldots + \dfrac{1}{2025^2} \). Chứng minh rằng \( A < \dfrac{506}{1013} \)

Hướng dẫn:

\( \dfrac{1}{2}A = \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{9^2} + \ldots + \dfrac{1}{2025^2} \)

\( \Rightarrow A = \dfrac{2}{3^2} + \dfrac{2}{5^2} + \dfrac{2}{7^2} + \dfrac{2}{9^2} + \ldots + \dfrac{2}{2025^2} \)

\( \dfrac{2}{3^2} = \dfrac{2}{9} < \dfrac{2}{8} = \dfrac{2}{2 \cdot 4} \)

\( \dfrac{2}{5^2} = \dfrac{2}{25} < \dfrac{2}{24} = \dfrac{2}{4 \cdot 6} \)

\( \ldots \)

\( \dfrac{2}{2025^2} < \dfrac{2}{2024 \cdot 2026} \)

Cộng từng vế ta được:

\( \dfrac{2}{3^2} + \dfrac{2}{5^2} + \dfrac{2}{7^2} + \dfrac{2}{9^2} + \ldots + \dfrac{2}{2025^2} < \dfrac{2}{2 \cdot 4} + \dfrac{2}{4 \cdot 6} + \ldots + \dfrac{2}{2024 \cdot 2026} \)

\( \Rightarrow A < \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} \right) + \left( \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{6} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{2024} - \dfrac{1}{2026} \right) \)

\( \Rightarrow A < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2026} \)

\( \Rightarrow A < \dfrac{506}{1013} \)

Bài 5. (Đan Phượng - Hà Nội)

Tìm \(x\), biết \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2024}=2-\left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^{2023}} + \dfrac{1}{2^{2024}} \right)\)

Hướng dẫn:

Đặt \( A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^{2023}} + \dfrac{1}{2^{2024}} \)

\( 2A = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{2^{2022}} + \dfrac{1}{2^{2023}} \)

\( 2A - A = \left( 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \ldots + \dfrac{1}{2^{2022}} + \dfrac{1}{2^{2023}} \right) - \left( 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{2^{2023}} + \dfrac{1}{2^{2024}} \right) \)

\( \Rightarrow A = 2 - \dfrac{1}{2^{2024}} \)

Suy ra \(\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2024}=2-\left(2-\dfrac{1}{2^{2024}}\right)=\dfrac{1}{2^{2024}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2024}\) tìm ra \( x = 0\) hoặc \( x = -1\).

Bài 6. (Xuân Trường - Nam Định)

a) Tìm hai số hữu tỉ \( a \) và \( b \) biết rằng: \( a - b = 2(a + b) = 3\dfrac{a}{b} \, (b \ne 0) \).

b) Tính giá trị của biểu thức:

\( B = 1 + \dfrac{1}{2}(1 + 2) + \dfrac{1}{3}(1 + 2 + 3) + \dfrac{1}{4}(1 + 2 + 3 + 4) + \ldots + \dfrac{1}{20}(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \)

Hướng dẫn:

a) Ta có \( a - b = 2(a + b) = 3\dfrac{a}{b} \, (b \ne 0) \)

\( a - b = 2(a + b) \, (1) \) và \( a - b = 3\dfrac{a}{b} \, (2) \)

Từ (1) suy ra: \( a - b = 2a + 2b \Rightarrow a = -3b \, (3) \)

Thay (3) vào (2) ta được \( -3b - b = 3\dfrac{-3b}{b} \Rightarrow b = \dfrac{9}{4} \) (thỏa mãn \( b \ne 0 \))

Thay \( b = \dfrac{9}{4} \) vào (3) ta được \( a = -3 \cdot \dfrac{9}{4} = -\dfrac{27}{4} \)

Vậy \( a = -\dfrac{27}{4}, \; b = \dfrac{9}{4} \)

b) \( B = 1 + \dfrac{1}{2}(1 + 2) + \dfrac{1}{3}(1 + 2 + 3) + \dfrac{1}{4}(1 + 2 + 3 + 4) + \ldots + \dfrac{1}{20}(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \)

Áp dụng công thức tính tổng \( n \) số tự nhiên liên tiếp \( 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \dfrac{(n + 1)n}{2} \), ta có:

\( B = 1 + \dfrac{1}{2}(1 + 2) + \dfrac{1}{3}(1 + 2 + 3) + \dfrac{1}{4}(1 + 2 + 3 + 4) + \ldots + \dfrac{1}{20}(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) \)

\( B = 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{3 \cdot 2}{2} + \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4 \cdot 3}{2} + \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5 \cdot 4}{2} + \ldots + \dfrac{1}{20} \cdot \dfrac{21 \cdot 20}{2} \)

\( B = \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{2} + \dfrac{5}{2} + \ldots + \dfrac{21}{2} \)

\( B = \dfrac{1}{2}(2 + 3 + 4 + 5 + \ldots + 21) \) (tổng từ 2 đến 21 có 20 số hạng)

\( B = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{(21 + 2) \cdot 20}{2} \)

Bài 7. (Giảng Võ - Hà Nội)

Với \( n \in \mathbb{N}, n > 1 \).

a) Cho \( A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2} \). Chứng minh rằng \( A < 1 \).

b) Biết \( B = \dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{15}{16} + \ldots + \dfrac{n^2 - 1}{n^2} \). Chứng minh rằng \( B \) không phải là số nguyên.

Hướng dẫn: 

a) \( A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2} \)

\( A < \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \ldots + \dfrac{1}{(n - 1) \cdot n} \)

\( A < 1 - \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \dfrac{1}{n - 1} - \dfrac{1}{n} \right) \)

\( A < 1 - \dfrac{1}{n} < 1 \)

b) \( B = \dfrac{3}{4} + \dfrac{8}{9} + \dfrac{15}{16} + \ldots + \dfrac{n^2 - 1}{n^2} \)

\( B = \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) + \left(1 - \dfrac{1}{9}\right) + \left(1 - \dfrac{1}{16}\right) + \ldots + \left(1 - \dfrac{1}{n^2}\right) \)

\( B = (n - 1) - \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}\right) \)

\( B = (n - 1) - \left(\dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{4^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}\right) \)

\( B = (n - 1) - A \)

Ta có: \( 0 < A < 1 \) hay \( 0 > -A > -1 \)

Suy ra \( (n - 1) + 0 > (n - 1) - A > (n - 1) - 1 \)

\( (n - 1) > B > (n - 2) \)

Mà \( (n - 1) \) và \( (n - 2) \) là hai số nguyên liên tiếp nên \( B \) không phải là một số nguyên.

Bài 8. (Trường Thành - Hải Phòng) 

So sánh hai lũy thừa \(\left(\dfrac{-1}{16}\right)^{100}\) và \(\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}\).

Hướng dẫn: 

Ta có:\[ \left(-\dfrac{1}{16}\right)^{100} = (-1)^{100} \cdot \dfrac{1}{16^{100}} = \dfrac{1}{16^{100}} = \dfrac{1}{2^{400}}. \]

\[ \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{500} = (-1)^{500} \cdot \dfrac{1}{2^{500}} = \dfrac{1}{2^{500}}. \]

Vì \(2^{400}<2^{500}\) nên \(\dfrac{1}{2^{400}}>\dfrac{1}{2^{500}}\)

Vậy \(\left(\dfrac{-1}{16}\right)^{100}>\left(\dfrac{-1}{2}\right)^{500}\)

Bài 9. (Sở Bắc Ninh) 

Bác Dũng gửi vào ngân hàng 75 triệu đồng với kì hạn 1 năm, lãi suất 5,6%/năm. Hết kì hạn 1 năm, bác rút ra \(\dfrac{1}{4}\) (kể cả gốc và lãi). Tính số tiền còn lại của bác Dũng trong ngân hàng.

Hướng dẫn: 

Số tiền lãi bác Dũng nhận được sau 1 năm là: \( 75 \times \dfrac{5,6}{100} = 4,2 \) (triệu đồng)

Số tiền cả gốc lẫn lãi bác Dũng nhận được sau 1 năm là: \( 75 + 4,2 = 79,2 \) (triệu đồng)

Số tiền bác Dũng rút ra sau khi hết kì hạn 1 năm là: \( 79,2 \times \dfrac{1}{4} = 19,8 \) (triệu đồng)

Số tiền còn lại của bác Dũng trong ngân hàng là: \( 79,2 - 19,8 = 59,4 \) (triệu đồng)

Vậy số tiền còn lại của bác Dũng trong ngân hàng là 59,4 triệu đồng.