MỘT SỐ CÂU HỎI VỀ CĂN BẬC HAI TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ I CỦA CÁC TRƯỜNG LỚP 9

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hỏi căn bậc hai trong đề thi cuối kì I lớp 9 của các trường kèm đáp án chi tiết.

Câu 1. (Trường THCS Yên Phong – Nam Định, năm 2024 – 2025)

1) Chứng minh đẳng thức \( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \dfrac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} + 1 = 2\sqrt{2} \)

2) Rút gọn biểu thức \( A = \left( \dfrac{1}{x - 2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) : \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 4\sqrt{x} + 4} \) với \( x > 0,\; x \ne 4 \).

Hướng dẫn:

1) \( \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} + \dfrac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} + 1 \)

\( = \sqrt{(\sqrt{2})^{2} - 2\sqrt{2} + 1} + \dfrac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2} - 1} + 1 \)

\( = \sqrt{(\sqrt{2}-1)^{2} } + \sqrt{2} + 1 \)

\( = \sqrt{2} - 1 + \sqrt{2} + 1 = 2\sqrt{2} \)

2) \( A = \left( \dfrac{1}{x - 2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) : \dfrac{\sqrt{x} + 1}{x - 4\sqrt{x} + 4} \)với \( x > 0,\; x \ne 4 \).

\( = \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \right) \cdot \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} + 1} \)
\( = \left( \dfrac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)} \right) \cdot \dfrac{(\sqrt{x} - 2)^{2}}{\sqrt{x} + 1} \)
\( = \dfrac{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x} - 2)^{2}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)} \)
\( = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \)

Vậy \( A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \).

---

Câu 2. (Trường THCS Nhật Tân – Hà Nội năm 2024 – 2025)

Cho hai biểu thức A = \( \dfrac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} \) và B = \( \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{x + 4}{x - 4} \) với \(x > 0;\, x \ne 4\).

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 9

2) Chứng minh \( B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \)

3) Đặt P = A·B. Tìm các giá trị của x để P = 3

Hướng dẫn

1) Thay x = 9 (thoả mãn điều kiện) vào biểu thức A:

A = \( \dfrac{\sqrt{9} + 4}{\sqrt{9}} = \dfrac{3 + 4}{3} = \dfrac{7}{3} \)

Vậy A = \( \dfrac{7}{3} \) khi x = 9.

2) B = \( \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{x + 4}{x - 4} \) với \(x > 0; x \ne 4\).

B = \( \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{x + 4}{(\sqrt{x})^{2} - 2^{2}} \)

B = \( \dfrac{2}{(\sqrt{x} + 2)} + \dfrac{x + 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \)

B = \( \dfrac{2(\sqrt{x} - 2) + x + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

B = \( \dfrac{2\sqrt{x} - 4 + x + 4}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

B = \( \dfrac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

B = \( \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

Vậy B = \( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \).

3) P = A.B

P = \(\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\) · \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\)

P = \(\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2}\)

Để P = 3 thì \(\dfrac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}-2} = 3\)

\(\sqrt{x}+4 = 3(\sqrt{x} - 2)\)

\(\sqrt{x} - 3\sqrt{x} = -6 - 4\)

\(-2\sqrt{x} = -10\)

\(\sqrt{x} = 5\)

\(x = 25\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x = 25 thì P = A·B

---

Câu 3. (Trường THCS Nguyễn Trãi – Quảng Nam, năm 2024 – 2025)

Cho biểu thức \( P = \left( \dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6} - \dfrac{\sqrt{x}+4}{2-\sqrt{x}} - \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} \right) : \left( 2 - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right) \)

với \( x \ge 0; x \ne 4; x \ne 9 \)

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để \( \dfrac{1}{P} \le -\dfrac{5}{2} \)

Hướng dẫn:

a) Điều kiện: \( x \ge 0; x \ne 4; x \ne 9 \)

P = \( \left( \dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6} - \dfrac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}} - \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} \right) : \left( 2 - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right) \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}+2 + (\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3) - (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} {(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} : \dfrac{2\sqrt{x}+2 - \sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}+2 + (\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3) - (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} {(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} \)

\( = \dfrac{ \sqrt{x}+2 + x - 9 - x + 4 } {(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} \)

\( = \dfrac{2\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-3)} \cdot \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2} = \dfrac{\sqrt{x}+1}{x-4} \)

Vậy \( P = \dfrac{\sqrt{x}+1}{x-4} \)

b) \( \dfrac{1}{P} \le -\dfrac{5}{2} \)

\( \dfrac{x-4}{\sqrt{x}+1} + \dfrac{5}{2} \le 0 \)

\( \dfrac{2x - 8 + 5\sqrt{x} + 5}{2(\sqrt{x}+1)} \le 0 \)

\( \dfrac{2x + 5\sqrt{x} - 3}{2(\sqrt{x}+1)} \le 0 \) mà \(2(\sqrt{x}+1) > 0\) với mọi \(x \ge 0; x \ne 4; x \ne 9\)

Nên \( 2x + 5\sqrt{x} - 3 \le 0 \)

\( 2x + 6\sqrt{x} - \sqrt{x} - 3 \le 0 \)

\( 2\sqrt{x}(\sqrt{x}+3) - (\sqrt{x}+3) \le 0 \)

\( (2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x}+3) \le 0 \) , mà \( \sqrt{x}+3 > 0 \) với mọi \(x \ge 0; x \ne 4; x \ne 9\)

Nên \( 2\sqrt{x} - 1 \le 0 \)

\( \sqrt{x} \le \dfrac{1}{2} \quad \text{hay} \quad x \le \dfrac{1}{4} \)

Kết hợp với điều kiện xác định, ta có \( 0 \le x \le \dfrac{1}{4} \).

Vậy \( \dfrac{1}{P} \le -\dfrac{5}{2} \) khi \( 0 \le x \le \dfrac{1}{4} \) .

---

Câu 4. (Trường THCS và THPT M.V. Lô – Mô – Nô – Xốp – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho hai biểu thức \( A = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} \) và \( B = \dfrac{2}{\sqrt{x}+2} - \dfrac{6\sqrt{x}-4}{x-4} \) với \( x>0; x\ne 4 \).

1) Tính giá trị biểu thức A khi \( x=\dfrac{16}{9} \)

2) Cho biểu thức \( P = A + B \). Chứng minh rằng \( P = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \).

3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

1) Thay \( x = \dfrac{16}{9} \) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A, ta có:

\( A = \dfrac{\sqrt{\dfrac{16}{9}}}{\sqrt{\dfrac{16}{9}} - 2} = \dfrac{\dfrac{4}{3}}{\dfrac{4}{3} - 2} = \dfrac{\dfrac{4}{3}}{-\dfrac{2}{3}} = -2 \)

Vậy \( A = -2 \) khi \( x=\dfrac{16}{9} \).

2) P = A + B

=  \( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2} +\dfrac{2}{\sqrt{x}+2} - \dfrac{6\sqrt{x}-4}{x-4} \)

=  \(  \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2) + 2(\sqrt{x}-2) - (6\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}  \)

= \(  \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 2\sqrt{x} - 4 - 6\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}  \)

= \(  \dfrac{x - 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}  \)

= \(  \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}  \) = \( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \)

Vậy  \( P = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \)

3) Có  \( \sqrt{x} > 0 \),  \( \sqrt{x} + 2 > 0 \)  với  \( x > 0, x \neq 4 \)  nên  \( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} > 0 \)

\( \sqrt{x} < \sqrt{x} + 2 \)  với  \( x > 0, x \neq 4 \)  nên  \( \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} < 1 \)

Khi đó  \( 0 < \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} < 1 \)  hay  \( 0 < P < 1 \)

Vậy không có x thỏa mãn  \( x > 0, x \neq 4 \)  để P là số nguyên.

---

Câu 5. (Trường THCS Phan Đình Giót – Hà Nội, năm 2024 – 2025)
Cho hai biểu thức \( A = \dfrac{\sqrt{x}}{3\sqrt{x} + 1} \) và \( B = \dfrac{x - \sqrt{x} + 2}{x - 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \) với \( x \ge 0, x \ne 4 \).

1) Tính giá trị biểu thức A khi x = 25

2) Chứng minh rằng \( B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \)

3) Cho \( P = B : A \). Tìm x là số nguyên lớn nhất để \( P < 2 \).

Hướng dẫn:
1) Thay \( x = 25 \) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A, ta có:
\( A = \dfrac{\sqrt{25}}{3\sqrt{25} + 1} = \dfrac{5}{3 \cdot 5 + 1} = \dfrac{5}{16} \)

Vậy \( A = \dfrac{5}{16} \) khi \( x = 25 \).

2) \( B = \dfrac{x - \sqrt{x} + 2}{x - 4} + \dfrac{2}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 2} \quad (x \ge 0, x \ne 4) \)

\( = \dfrac{x - \sqrt{x} + 2 + 2(\sqrt{x} - 2) + (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

\( = \dfrac{x - \sqrt{x} + 2 + 2\sqrt{x} - 4 + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

\( = \dfrac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \)

Vậy \( B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \).

3. \( P = B : A =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}:\dfrac{\sqrt{x}}{3\sqrt{x}+1}=\dfrac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}\)

P < 2

\(\dfrac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2}<2\)

\(\dfrac{3\sqrt{x}+1-2(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2}<0\)

\(\dfrac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}<0\) mà \(\sqrt{x}+5>0\) với \( x \ge 0, x \ne 4 \)

nên \(\sqrt{x}-2<0\) hay \(x <4\) mà x là số nguyên lớn nhất nên x = 3

Vậy x = 3 là số nguyên lớn nhất thỏa mãn P < 2

---

Câu 6. (Trường THCS Ngô Sĩ Liên – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho hai biểu thức \( A = \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \) và \( B = \dfrac{x + 4}{x - 4} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} \) với \( x \ge 0, x \ne 4 \).

1) Tính giá trị biểu thức A khi \( x = 9 \)

2) Chứng minh rằng \( B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \)

3) Tìm x là số nguyên lớn nhất thỏa mãn \( A - B < \dfrac{5}{2} \)

Hướng dẫn:

1) Thay \( x = 9 \) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A, ta có:

\( A = \dfrac{4\sqrt{9}}{\sqrt{9} + 2} = \dfrac{4 \cdot 3}{3 + 2} = \dfrac{12}{5} \)

Vậy \( A = \dfrac{12}{5} \) khi \( x = 9 \).

2) \( B = \dfrac{x + 4}{x - 4} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 2} \quad (x \ge 0; x \ne 4) \)

\( = \dfrac{x + 4 - 2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \)

\( = \dfrac{x + 4 - 2\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \)

\( = \dfrac{x - 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \quad (\text{đpcm}) \)

Vậy \( B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \).

3) \( A - B = \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \)

\( A - B = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \)

\( A - B < \dfrac{5}{2} \)

\( \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} < \dfrac{5}{2} \)

\( \dfrac{6\sqrt{x}-5(\sqrt{x}+2)}{2(\sqrt{x} + 2)} < 0\)

\( \dfrac{\sqrt{x}-10}{2(\sqrt{x} + 2)} < 0\) mà \( \sqrt{x}+2 > 0 \) với mọi \( x \ge 0; x \ne 4 \).

Nên \( \sqrt{x} < 10 \) hay \( x < 100 \).

Mà x là số tự nhiên lớn nhất nên \( x = 99 \).

Vậy \( x = 99 \) là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn \( A - B < \dfrac{5}{2} \).

---

Câu 7. (Trường THCS Yên Phong – Nam Định, năm 2024 – 2025)

Giải phương trình \( \sqrt{x^{2}-3x+2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{x^{2} + 2x - 3} + \sqrt{x - 2} \)

Hướng dẫn:

Điều kiện xác định \( \begin{cases} x^{2} - 3x + 2 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \\ x^{2} + 2x - 3 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \)

\( \begin{cases} x^{2} - 3x + 2 \ge 0 \\ x + 3 \ge 0 \\ x^{2} + 2x - 3 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (x - 1)(x - 2) \ge 0 \\ x \ge -3 \\ (x - 1)(x + 3) \ge 0 \\ x \ge 2 \end{cases} \) \( \Rightarrow \begin{cases} (x - 1)(x - 2) \ge 0 \\ (x - 1)(x + 3) \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \\ x \ge 2 \end{cases} \)

(Vì nếu \( x \ge 2 \Rightarrow x - 2 \ge 0;\ x - 1 \ge 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 2) \ge 0 \)

;tương tự \( x \ge 2 \Rightarrow x + 3 \ge 0;\ x - 1 \ge 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 2) \ge 0 \))

\( \sqrt{x^{2}-3x+2} + \sqrt{x+3} = \sqrt{x^{2} + 2x - 3} + \sqrt{x - 2} \)

\( \sqrt{(x-1)(x-2)} + \sqrt{x+3} = \sqrt{(x-1)(x+3)} + \sqrt{x-2} \)

\( \sqrt{x-1}(\sqrt{x-2} - \sqrt{x+3} ) + \sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = 0 \)

\( (\sqrt{x-2} - \sqrt{x+3})(\sqrt{x-1} - 1) = 0 \)

Trường hợp 1: \( \sqrt{x-2} = \sqrt{x+3} \Rightarrow x - 2 = x + 3 \Rightarrow -2=3\) (Vô lý)

Trường hợp 2: \( \sqrt{x-1} = 1 \Rightarrow x - 1 = 1 \Rightarrow x = 2 \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là: \( x = 2 \)

---

Câu 8. (Trường THCS Võ Trường Toản – Bà Rịa Vũng Tàu, năm 2024 – 2025)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \( \sqrt{x+2} + \sqrt{38 - x} \)

Hướng dẫn:

Đặt \( A = \sqrt{x+2} + \sqrt{38 - x} \) (Điều kiện: \( -2 \le x \le 38 \))

\( A^{2} = x + 2 + 38 - x + 2\sqrt{(x+2)(38-x)} = 40 + 2\sqrt{(x+2)(38-x)} \)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương \( x+2 \) và \( 38-x \), ta có:

\( (x+2) + (38-x) \ge 2\sqrt{(x+2)(38-x)} \)

\( \Rightarrow 40 \ge 2\sqrt{(x+2)(38-x)} \)

\( \Rightarrow 40 + 40 \ge 40 + 2\sqrt{(x+2)(38-x)} \)

\( \Rightarrow 80 \ge A^{2} \quad \text{mà } A \ge 0 \) \( \Rightarrow 0 \le A \le 4\sqrt{5} \)

Dấu “=” xảy ra khi \( x+2 = 38-x \) hay \( x = 18 \)

Vậy giá trị lớn nhất của A là \( 4\sqrt{5} \) khi \( x = 18 \)

---

Câu 9. (Trường THCS Ngôi sao Hà Nội – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho hai biểu thức \( M = \dfrac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x}} \) và \( N = \dfrac{2\sqrt{x}}{5 + \sqrt{x}} + \dfrac{2x}{25 - x} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 5} \) với \( x > 0;\; x \ne 25 \).

1) Tính giá trị biểu thức M khi \( x = \frac{1}{9} \)

2) Rút gọn biểu thức N

3) Xét biểu thức Q = M·N. So sánh Q và \( Q^{2} \)

Hướng dẫn:

1) Thay \( x = \frac{1}{9} \) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A, ta có:

\( A = \dfrac{\sqrt{\frac{1}{9}} + 6}{\sqrt{\frac{1}{9}}} = \dfrac{\frac{1}{3} + 6}{\frac{1}{3}} = 3\left( \frac{1}{3} + 6 \right) = 1 + 18 = 19 \)

Vậy \( A = 19 \) khi \( x = \frac{1}{9} \)

2) \( N = \dfrac{2\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}} + \dfrac{2x}{25-x} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-5} \quad \text{với } x>0,\; x\ne 25 \)

\( = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} + \dfrac{2x}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} + \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} \)

\( = \dfrac{2x - 10\sqrt{x} - 2x + x + 5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} \) \( = \dfrac{x - 5\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} \)

\( = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+5)(\sqrt{x}-5)} \) \( = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \)

Vậy \( N = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} \)

3) \( Q = M \cdot N = \dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+5} = \dfrac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+5} = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}+5} \)

Có \( \sqrt{x}+5 > 0 \) với mọi \( x>0,\; x\ne 25 \) \( \Rightarrow 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}+5} > 0 \Rightarrow Q > 0 \)

Có \( 1 - Q = 1 - \left( 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}+5} \right) = - \dfrac{1}{\sqrt{x}+5} < 0 \) với mọi \( x>0,\; x\ne 25 \) 

\( \Rightarrow 1 - Q < 0 \) mà \( Q > 0 ​​\Rightarrow Q(1-Q)<0\)

 \( \Rightarrow Q - Q^{2} < 0 \Rightarrow Q^{2} > Q \) với mọi \( x>0,\; x\ne 25 \)

Vậy \( Q^{2} > Q \) với mọi \( x>0,\; x\ne 25 \).

---

Câu 10 (Trường THCS Giao Thanh – Nam Định, năm 2024 – 2025)

Giải phương trình \( x^2 - 2x - 12 = \sqrt{2x - 1} \)

Hướng dẫn:

Điều kiện: \( x \ge \dfrac{1}{2} \)

\( x^2 - 2x - 12 - \sqrt{2x - 1} = 0 \)

\( x^2 - 2x - 15 + (3 - \sqrt{2x-1}) = 0 \)

\( (x - 5)(x + 3) + \dfrac{10 - 2x}{3 + \sqrt{2x - 1}} = 0 \)

\( (x - 5)\left( x + 3 + \dfrac{2}{3 + \sqrt{2x - 1}} \right) = 0 \)

\( (x - 5)\left( x + 2 + \dfrac{1 + \sqrt{2x - 1}}{3 + \sqrt{2x - 1}} \right) = 0 \)

mà \( x + 2 + \dfrac{1 + \sqrt{2x - 1}}{3 + \sqrt{2x - 1}} > 0 \) với mọi \( x \ge \dfrac{1}{2} \)

nên \( x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \( x = 5 \) là nghiệm của phương trình.

---