MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY VỀ SỐ HỮU TỈ LỚP 7

MỘT SỐ BÀI TOÁN HAY VỀ SỐ HỮU TỈ LỚP 7

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số bài toán hay về Số hữu tỉ trong chương trình toán lớp 7.

Bài 1. Chứng minh rằng \( \dfrac{3n+2}{4n+3} \) là phân số tối giản với mọi \(n\).

Hướng dẫn

⇒ \( \dfrac{1}{2^2}S + S = \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{2^{2020}} ⇒ \dfrac{5}{4} < \dfrac{1}{4} ⇒ S < 0,2 \)

Hướng dẫn

\( 2T = 2 + \dfrac{3}{2} + \dfrac{4}{2^2} + … + \dfrac{2020}{2^{2018}} \)

⇒ \( 2T - T = 2 + \Big(\dfrac{3}{2} - \dfrac{2}{2}\Big) + \Big(\dfrac{4}{2^2} - \dfrac{3}{2^2}\Big) + … + \Big(\dfrac{2020}{2^{2018}} - \dfrac{2019}{2^{2018}}\Big) = \dfrac{2020}{2^{2019}} \)

⇒ \( T = 2 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + … + \dfrac{1}{2^{2018}} - \dfrac{2020}{2^{2019}} \)

⇒ \( 2T = 2^2 + 1 + \dfrac{1}{2} + … + \dfrac{1}{2^{2017}} - \dfrac{2020}{2^{2018}} \)

⇒ \( 2T - T = 3 - \dfrac{2021}{2^{2018}} + \dfrac{2020}{2^{2019}} < 3 \)

Hướng dẫn

\( B = \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{6^2} + … + \dfrac{1}{100^2} \)

\( < \dfrac{1}{4.5} + \dfrac{1}{5.6} + … + \dfrac{1}{99.100} \)

\( = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6} + … + \dfrac{1}{99} - \dfrac{1}{100} \)

\( = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{100} < \dfrac{1}{4} \)

Vậy \( B < \dfrac{1}{4} \).

Hướng dẫn

Đặt \( A = \dfrac{1}{51} + \dfrac{1}{52} + \dfrac{1}{53} + … + \dfrac{1}{100} \)

Ta có \( \dfrac{1}{51} + \dfrac{1}{52} + … + \dfrac{1}{100} < \Big(\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{50} + … + \dfrac{1}{50}\Big) + \Big(\dfrac{1}{75} + \dfrac{1}{75} + … + \dfrac{1}{75}\Big) \)

(Có 25 phân số \( \dfrac{1}{50} \), 25 phân số \( \dfrac{1}{75} \))

⇒ \( A < \dfrac{25}{50} + \dfrac{25}{75} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} \)

Ta có \( \dfrac{1}{51} + \dfrac{1}{52} + … + \dfrac{1}{100} > \Big(\dfrac{1}{75} + … + \dfrac{1}{75}\Big) + \Big(\dfrac{1}{100} + … + \dfrac{1}{100}\Big) \)

(Có 25 phân số \( \dfrac{1}{75} \), 25 phân số \( \dfrac{1}{100} \))

⇒ \( A > \dfrac{25}{75} + \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{12} \)

Vậy \( \dfrac{7}{12} < A < \dfrac{5}{6} \)

Chứng minh rằng có ít nhất hai trong 100 số tự nhiên đó bằng nhau.

Hướng dẫn

Giả sử trong 100 số tự nhiên \( a_1, a_2, …, a_{100} \) thỏa mãn mà không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, ta có \( 1 ≤ a_1 < a_2 < … < a_{100} \).

Khi đó ta cũng có \( 1 ≤ a_1; 2 ≤ a_2; 3 ≤ a_3; …; 100 ≤ a_{100} \)

Nên \( \dfrac{1}{a_1} ≤ 1; \dfrac{1}{a_2} ≤ \dfrac{1}{2}; \dfrac{1}{a_3} ≤ \dfrac{1}{3}; …; \dfrac{1}{a_{100}} ≤ \dfrac{1}{100} \)

Do đó \( \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + … + \dfrac{1}{a_{100}} ≤ 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + … + \dfrac{1}{100} < 1 + \dfrac{1}{2} + … + \dfrac{1}{99} = \dfrac{99}{2} = \dfrac{101}{2} \)

(mâu thuẫn với giả thiết)

Vậy có ít nhất hai trong 100 số tự nhiên \(a_1, a_2, \dots, a_n\) bằng nhau.