ĐỀ KSCL ĐẦU NĂM - TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI AMSTERDAM NĂM 2025-2026
MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh Đề khảo sát chất lượng đầu năm học lớp 8 - Trường THPT chuyên Hà Nội Amsterdam kèm đáp án tham khảo.
.jpg)
ĐÁP ÁN THAM KHẢO
a) Tính giá trị biểu thức:
\( A = \left(\dfrac{-2}{5}\right)^9 \cdot \left(\dfrac{-2}{5}\right)^5 : \dfrac{4^6}{25^7} + \dfrac{2}{7}\sqrt{(-7)^2} + \sqrt{49 \cdot 25} \)
\( A = \dfrac{(-2)^{14}}{5^{14}} \cdot \dfrac{5^{12}}{2^{12}} + \dfrac{2}{7}\sqrt{(-7)^2} + \sqrt{49 \cdot 25} \)
\( A = 2^2 + \dfrac{2}{7}\cdot 7 + 7.5 \)
\( A = 4 + 2 + 35 \)
\( A = 41 \)
Vậy \( A = 41 \).
b) Rút gọn biểu thức:
\( B = (x^2 - 1)(x^2 + 3x - 2) + 3x(x+1) - x^4 - 2 \)
\( B = x^2(x^2 - 1) + 3x(x^2 - 1) - 2(x^2 - 1) + 3x^2 + 3x - x^4 - 2 \)
\( B = x^4 - x^2 + 3x^3 - 3x - 2x^2 + 2 + 3x^2 + 3x - x^4 - 2 \)
\( B = (x^4 - x^4) + 3x^3 + (-x^2 - 2x^2 + 3x^2) + (3x - 3x) + (2 - 2) \)
\( B = 3x^3 \)
Vậy \( B = 3x^3 \).
Tìm số hữu tỉ \( x \) biết:
a)
\( \left| \dfrac{1}{2}x - 1 \right| - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2} \)
TH1: \( \left| \dfrac{1}{2}x - 1 \right| - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{2} \)
\( \left| \dfrac{1}{2}x - 1 \right| = \dfrac{11}{4} \)
*) \( \dfrac{1}{2}x - 1 = \dfrac{11}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{2}x = \dfrac{15}{4} \Rightarrow x = \dfrac{15}{2} \)
*) \( \dfrac{1}{2}x - 1 = -\dfrac{11}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{2}x = -\dfrac{7}{4} \Rightarrow x = -\dfrac{7}{2} \)
TH2: \( \left| \dfrac{1}{2}x - 1 \right| - \dfrac{1}{4} = -\dfrac{5}{2} \)
\( \left| \dfrac{1}{2}x - 1 \right| = -\dfrac{9}{4} \) (vô lý vì \( \left| \dfrac{1}{2}x - 1 \right| \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \)).
Vậy \( x \in \left\{ \dfrac{15}{2} ; -\dfrac{7}{2} \right\} \).
b)
\( 32\left(\sqrt{3x-1}\right)^3 + \dfrac{-5}{7} = 3\dfrac{2}{7} \), điều kiện xác định: \( x \geq \dfrac{1}{3} \).
\( 32(\sqrt{3x-1})^3 + \dfrac{-5}{7} = \dfrac{23}{7} \)
\( 32(\sqrt{3x-1})^3 = \dfrac{28}{7} = 4 \)
\( (\sqrt{3x-1})^3 = \dfrac{1}{8} \)
\( \sqrt{3x-1} = \dfrac{1}{2} \)
\( 3x - 1 = \dfrac{1}{4} \Rightarrow x = \dfrac{5}{12} \) (thỏa mãn điều kiện).
Vậy \( x = \dfrac{5}{12} \).
c)
\( \dfrac{x+2020}{6} + \dfrac{x+2015}{11} = \dfrac{x+5}{2021} + \dfrac{x+3}{2023} \)
\( \left(\dfrac{x+2020}{6}+1\right) + \left(\dfrac{x+2015}{11}+1\right) = \left(\dfrac{x+5}{2021}+1\right) + \left(\dfrac{x+3}{2023}+1\right) \)
\( \dfrac{x+2026}{6} + \dfrac{x+2026}{11} = \dfrac{x+2026}{2021} + \dfrac{x+2026}{2023} \)
\( \dfrac{x+2026}{6} + \dfrac{x+2026}{11} - \dfrac{x+2026}{2021} - \dfrac{x+2026}{2023} = 0 \)
\( (x+2026)\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{11} - \dfrac{1}{2021} - \dfrac{1}{2023}\right) = 0 \)
\( x+2026 = 0 \Rightarrow x = -2026 \)
Vậy \( x = -2026 \).
a) Cho các số \( x, y, z > 0 \) thỏa mãn \( \dfrac{2x+3y}{z} = \dfrac{2y+3z}{x} = \dfrac{2z+3x}{y} \).
Tính \( P = \left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{3}{2}\right) \).
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\( \dfrac{2x+3y}{z} = \dfrac{2y+3z}{x} = \dfrac{2z+3x}{y} = \dfrac{2x+3y+2y+3z+2z+3x}{z+x+y} = \dfrac{5(x+y+z)}{x+y+z} = 5 \).
\( \dfrac{2x+3y}{z} = 5 \Rightarrow 2x+3y=5z \)
\( \dfrac{2y+3z}{x} = 5 \Rightarrow 2y+3z=5x \)
\( \dfrac{2z+3x}{y} = 5 \Rightarrow 2z+3x=5y \)
\( P = \left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{y}{z}+\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{z}{x}+\dfrac{3}{2}\right) \)
\( = \dfrac{2x+3y}{2y} \cdot \dfrac{2y+3z}{2z} \cdot \dfrac{2z+3x}{2x} \)
\( = \dfrac{5z}{2y} \cdot \dfrac{5x}{2z} \cdot \dfrac{5y}{2x} = \dfrac{125}{8} \)
Vậy \( P = \dfrac{125}{8} \).
b) Cho đa thức \( P(x) \) là đa thức bậc 3. Biết \( P(k) = -\dfrac{24}{k} \) với \( k \in \{1;2;3;4\} \). Tính \( P(6) \).
Xét đa thức \( Q(x) = xP(x) + 24 \). Khi đó, \( Q(x) \) là đa thức bậc 4.
Có \( Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0 \).
⇒ \( Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4), \; a \neq 0 \).
⇒ \( xP(x)+24=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \).
Thay \( x=0 \) vào hai vế:
\( 24 = a(-1)(-2)(-3)(-4) \Rightarrow 24a = 24 \Rightarrow a=1 \).
Vậy \( xP(x)+24=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \).
Thay \( x=6 \) vào hai vế:
\( 6P(6)+24=(6-1)(6-2)(6-3)(6-4) \)
\( 6P(6)+24=120 \Rightarrow P(6)=16 \)
Vậy \( P(6)=16 \).
GIỚI THIỆU LỚP HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN GIỎI
Trường Toán Online MATHX với các lớp Toán online trực tiếp với giáo viên giỏi.
Lớp học dành cho học sinh từ CƠ BẢN đến NÂNG CAO phù hợp với trình độ của từng bạn (có kiểm tra xếp lớp).
Sĩ số 8 - 12 học sinh/lớp giúp giáo viên và học sinh dễ dàng tương tác, giáo viên dễ dàng sát sao tình hình học tập của học sinh.
Phụ huynh học sinh đăng ký LÀM BÀI KIỂM TRA XẾP LỚP MIỄN PHÍ tại form:
truongtoanmathx.vn/dangkykiemtra
Xem thông tin chi tiết: truongtoanmathx.vn
HOTLINE: 0867.162.019
a) Cho số tự nhiên \( n \) bất kỳ. Chứng minh \( (n^2 + 4n + 4) \) và \( (2n^2 + 7n + 7) \) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi \( \mathrm{UCLN}(n^2+4n+4; \; 2n^2+7n+7) = d \; (d>0) \).
\( \Rightarrow n^2+4n+4 \vdots d; \; 2n^2+7n+7 \vdots d \)
Có \( n^2+4n+4 \vdots d \Rightarrow 2(n^2+4n+4) \vdots d \Rightarrow 2n^2+8n+8 \vdots d \).
Mà \( 2n^2+7n+7 \vdots d \Rightarrow (2n^2+8n+8) - (2n^2+7n+7) \vdots d \)
\( \Rightarrow n+1 \vdots d \Rightarrow 4(n+1) \vdots d \) lại có \( n^2+4n+4 \vdots d \).
\( \Rightarrow (n^2+4n+4) - 4(n+1) \vdots d \Rightarrow n^2 \vdots d \).
Có \( n+1 \vdots d \Rightarrow n(n+1) \vdots d \Rightarrow n^2+n \vdots d \) mà \( n^2 \vdots d \).
\( \Rightarrow (n^2+n) - n^2 \vdots d \Rightarrow n \vdots d \). Mà \( n+1 \vdots d \Rightarrow (n+1)-n \vdots d \Rightarrow 1 \vdots d \Rightarrow d=1 \).
Vậy \( \mathrm{UCLN}(n^2+4n+4; \; 2n^2+7n+7) = 1 \), hay \( (n^2+4n+4) \) và \( (2n^2+7n+7) \) là hai số nguyên tố cùng nhau.
b)
\( a^2+b^2 \vdots p^5 \Rightarrow a^2(a^2+b^2)\vdots p^5 \Rightarrow a^4+a^2b^2 \vdots p^5 \)
Mà \( a^3(a+4b)+a^2b^2=a^4+a^2b^2+4a^3b \)
\( \Rightarrow (a^4+a^2b^2+4a^3b)-(a^4+a^2b^2) \vdots p^5 \)
\( \Rightarrow 4a^3b \vdots p^5 \Rightarrow a^3b \vdots p^5 \) (vì \( p^5 \) là số lẻ).
Giả sử phân tích \( a, b \) lần lượt có dạng: \( a=a' \cdot p^m, \; b=b' \cdot p^n \quad (m,n \in \mathbb{N}; \; a' \not\vdots p; \; b' \not\vdots p) \).
\( a^3b = (a'^3b') \cdot p^{3m+n} \).
Để \( a^3b \vdots p^5 \) thì \( 3m+n \geq 5 \).
Giả sử \( m \leq 1 \Rightarrow 3+n \geq 5 \Rightarrow n \geq 2 \).
Khi đó \( 2m \leq 2 < 4; \; 2n \geq 4 \Rightarrow a^2=a'^2 \cdot p^{2m} \not\vdots p^4, \; b^2=b'^2 \cdot p^{2n} \vdots p^4 \).
\( \Rightarrow a^2+b^2 \vdots p^4 \) (mâu thuẫn vì \( a^2+b^2 \vdots p^5 : p^4 \)).
Vậy \( m \geq 2 \Rightarrow a^2 \vdots p^4 \) mà \( a^2+b^2 \vdots p^5 : p^4 \Rightarrow b^2 \vdots p^4 \Rightarrow b \vdots p^2 \Rightarrow ab \vdots p^4 \).
Có \( a^2 \vdots p^4; ab \vdots p^4 \Rightarrow a^2+4ab \vdots p^4 \Rightarrow a(a+4b) \vdots p^4 \).
Bài 5
. .png)
a) Xét \( \triangle ABC \) có \( \widehat{BAC} = 90^\circ \); AM là trung tuyến của \( \triangle ABC \) (gt)
\(\Rightarrow MB = MA = MC = \tfrac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)
Xét \( \triangle ABM \) có \( MA = MB \Rightarrow \triangle ABM \) cân tại M (định nghĩa).
\(\widehat{ABM} = \widehat{BAM}\) (tính chất tam giác cân).
Có K đối xứng với P qua AB \(\Rightarrow AB\) là đường trung trực của PK \(\Rightarrow BP = PK\) (tính chất đường trung trực).
\(\triangle PBK\) cân tại B mà BE là đường trung trực của tam giác \(\Rightarrow \widehat{PBA} = \widehat{KBA}\).
Lại có \(\widehat{ABK} = \widehat{BAM}\) (cmt) \(\Rightarrow \widehat{PBA} = \widehat{BAM}\) (do \(\widehat{KBA}\) mà \(\widehat{PBA}\) và \(\widehat{BAM}\) ở vị trí so le trong).
\(\Rightarrow BP \parallel AM\) (Đnb).
b) Có K đối xứng với Q qua AC \(\Rightarrow AC\) là đường trung trực của QK \(\Rightarrow AQ = AK\) (tính chất đường trung trực).
Có AB là đường trung trực của PK \(\Rightarrow AP = AK\) (tính chất đường trung trực) \(\Rightarrow AP = AQ (= AK)\).
\(\triangle PAK\) cân tại A (do \(PA=KA\)) mà AE là đường trung trực của tam giác \(\Rightarrow \widehat{PAE} = \widehat{EAK} = \tfrac{1}{2}\widehat{PAK} \Rightarrow \widehat{PAK} = 2\widehat{EAK}\) (tính chất tam giác cân).
\(\triangle KAQ\) cân tại A (do \(QA=KA\)) mà AF là đường trung trực của tam giác \(\Rightarrow \widehat{KAF} = \widehat{FAQ} = \tfrac{1}{2}\widehat{KAQ} \Rightarrow \widehat{KAQ} = 2\widehat{KAF}\) (tính chất tam giác cân).
Mà \(\widehat{PAK} = 2\widehat{EAK}\), \(\widehat{KAQ} = 2\widehat{KAF}\) \(\Rightarrow \widehat{PAK} + \widehat{KAQ} = 2(\widehat{EAK} + \widehat{KAF}) = 2\widehat{EAF} = 2.90^\circ = 180^\circ\).
\(\Rightarrow P, A, Q\) thẳng hàng mà \(AP=AQ\) \(\Rightarrow A\) là trung điểm của PQ.
c) Xét tứ giác EAFK có \(\widehat{KEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFK} = 90^\circ\) \(\Rightarrow EAFK\) là hình chữ nhật.
\(\Rightarrow EA = KF\) (tính chất hình chữ nhật).
Gọi O là giao điểm của EF và AK. Suy ra O là trung điểm của EF và AK.
\(\triangle ABC\) vuông cân tại A có AM là trung tuyến nên AM là đường cao \(\Rightarrow AM \perp BC\) hay \(\triangle AMK\) vuông tại M.
Xét \(\triangle AMK\) vuông tại M có MO là trung tuyến \(\Rightarrow MO = \tfrac{1}{2}AK = \tfrac{1}{2}EF \quad (AK = EF)\).
Xét \(\triangle EMF\) có \(M0=\dfrac12EF\) và EO là trung tuyến (do O là trung điểm EF) \(\Rightarrow \triangle EMF\) vuông tại M.
Hay \(\widehat{EMF} = 90^\circ\).
2.
.png)
Lấy điểm F sao cho \( \widehat{FAC} = 70^\circ \) ⇒ \( \triangle AFC \) cân tại F (vì \( \widehat{FAC} = \widehat{ACF} = 70^\circ \))
Kẻ \( AI \perp BC \) (\( I \in BC \)), gọi E là giao của DN và AF.
Có \( \widehat{ABC} = 180^\circ - \widehat{BAC} - \widehat{BCA} = 180^\circ - 70^\circ - 80^\circ = 30^\circ \)
Có \( \widehat{BAM} = \widehat{BAC} - \widehat{MAC} = 80^\circ - 30^\circ = 50^\circ \)
Có \( \widehat{AMC} = 180^\circ - \widehat{MAC} - \widehat{MCA} = 180^\circ - 30^\circ - 70^\circ = 80^\circ \)
Có \( \widehat{DAE} = \widehat{DAC} - \widehat{FAC} = 80^\circ - 70^\circ = 10^\circ \Rightarrow \widehat{DEA} = 80^\circ \)
⇒ \( \widehat{DEA} = \widehat{AMI}(= 80^\circ) \Rightarrow \widehat{DAE} = \widehat{MAI}(=10^\circ) \)
Xét \( \triangle AIB \) có \( \widehat{AIB} = 90^\circ \), DI là đường trung tuyến
⇒ \( DA = DI = DB \Rightarrow \triangle ADI \) cân tại D
Mà \( \widehat{DAI} = 60^\circ \) (Vì \( \widehat{DAI} = 90^\circ - \widehat{ABC} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \))
⇒ \( \triangle DAI \) đều ⇒ \( AD = AI \)
\( \widehat{NMC} = \widehat{BMA} = 180^\circ - \widehat{ABM} - \widehat{BAM} = 180^\circ - 30^\circ - 50^\circ = 100^\circ \)
Xét \( \triangle ADE \) và \( \triangle AMI \) có: \( AD = AI; \widehat{ADE} = \widehat{AIM} = 90^\circ; \widehat{DAE} = \widehat{MAI} = 10^\circ \)
⇒ \( \triangle ADE = \triangle AIM \) (g.c.g) ⇒ \( AE = AM \)
Có \( \widehat{AFM} = \widehat{ABF} + \widehat{BAF} = 30^\circ + 10^\circ = 40^\circ \);
\( \widehat{FAM} = \widehat{FAC} - \widehat{MAC} = 70^\circ - 30^\circ = 40^\circ \)
⇒ \( \widehat{AFM} = \widehat{FAM} = 40^\circ \Rightarrow \triangle AFM \) cân tại M ⇒ \( FM = AM \)
Có \( \widehat{AMF} = \widehat{MAC} + \widehat{MCA} = 30^\circ + 70^\circ = 100^\circ \)
\( \widehat{AEM} = \widehat{ADE} + \widehat{EAD} = 90^\circ + 10^\circ = 100^\circ \Rightarrow \widehat{AMF} = \widehat{AEM} = 100^\circ \)
Xét \( \triangle AEN \) và \( \triangle AMF \) có: EAM chung; \( \widehat{AMF} = \widehat{AEM} \); \( AE = EM \)
⇒ \( \triangle AEN = \triangle AMF \) (g.c.g) ⇒ \( AN = AF \) mà \( AF = FC \)
⇒ \( AN = FC (=AF) \) mà \( AM = FM \Rightarrow AN - AM = FC - FM \)
⇒ \( MN = MC \Rightarrow \triangle MNC \) cân tại M
⇒ \( \widehat{MNC} = \widehat{MCN} \) mà \( \widehat{MNC} + \widehat{MCN} = 180^\circ - \widehat{NMC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ \)
⇒ \( \widehat{MNC} = \widehat{MCN} = 40^\circ \)
\( \widehat{ABN} = \widehat{DAN} = 50^\circ \) (vì \( \triangle ABN \) cân tại N)
\( \widehat{BNC} = \widehat{MNC} + \widehat{ANB} = 40^\circ + 80^\circ = 120^\circ \)
\( \widehat{ACN} = \widehat{ACB} + \widehat{BCN} = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ \)
Phụ huynh và học sinh có thể xem file lời giải tại đây:
GIỚI THIỆU LỚP HỌC ONLINE CÙNG GIÁO VIÊN GIỎI
Trường Toán Online MATHX với các lớp Toán online trực tiếp với giáo viên giỏi.
Lớp học dành cho học sinh từ CƠ BẢN đến NÂNG CAO phù hợp với trình độ của từng bạn (có kiểm tra xếp lớp).
Sĩ số 8 - 12 học sinh/lớp giúp giáo viên và học sinh dễ dàng tương tác, giáo viên dễ dàng sát sao tình hình học tập của học sinh.
Phụ huynh học sinh đăng ký LÀM BÀI KIỂM TRA XẾP LỚP MIỄN PHÍ tại form:
truongtoanmathx.vn/dangkykiemtra
Xem thông tin chi tiết: truongtoanmathx.vn
HOTLINE: 0867.162.019
Trường Toán Online MATHX
ĐGNL vào 6