ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM NĂM 2023 - 2024

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh đề kiểm tra học kì II trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam năm 2023 2024 kèm đáp án bài cuối.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO BÀI 5

Bài 5. Cho \( A = \dfrac{2024}{2023^2 + 1} + \dfrac{2024}{2023^2 + 2} + \ldots + \dfrac{2024}{2023^2 + 2023} \) . Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.

Hướng dẫn

Ta có: \[ \dfrac{2024}{2023^2 + 2023} = \dfrac{2024}{2023(2023 + 1)} = \dfrac{2024}{2023 \cdot 2024} = \dfrac{1}{2023}. \]

Suy ra \( A > 2023 \cdot \dfrac{1}{2023} = 1 \).

Ta cần chứng minh \( A < 2 \).

\[ \begin{aligned} A < 2023 \cdot \dfrac{2024}{2023^2 + 1} = \dfrac{(2023 + 1)\cdot 2023}{2023^2 + 1} = \dfrac{2023^2 + 2023}{2023^2 + 1} = \dfrac{(2023^2 + 1) + 2022}{2023^2 + 1} = 1 + \dfrac{2022}{2023^2 + 1} < 1 + 1 = 2. \end{aligned} \]

Vậy \( 1 < A < 2 \). Do đó, A không phải là số tự nhiên (đpcm).