Trong chương trình toán lớp 8, lớp 9 nâng cao có một số bài toán liên quan đến tìm giá trị nhỏ nhất mà ở đó chúng ta có thể sử dụng phương pháp tách thành các tổng bình phương. Trong bài viết này, MathX sẽ giới thiệu đến các em một phương pháp tách bình phương khá hiệu quả để áp dụng vào giải một số những bài toán mà ở đó biểu thức rất phức tạp.
Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x + 4y + 2026 \)
Cách 1:
\( 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x + 4y + 2026 \)
= \( 2(x^2 + y^2 - xy - x + 2y) + 2026 \)
= \( 2[(x - y - 1)^2 + (y + 1)^2 - 1] + 2026 \)
= \( 2(x - y - 1)^2 + 2(y + 1)^2 + 2024 \)
Vì \( (x - y - 1)^2 \ge 0 \) và \( (y + 1)^2 \ge 0 \) nên GTNN của biểu thức là \( 2024 \).
Dấu "=" xảy ra khi \( x - y - 1 = 0 \) và \( y + 1 = 0 \) → \( x = 0, y = -1 \).
Phân tích: Ta thấy trong biểu thức có hạng tử \(-2xy\), ta sẽ nhóm \({{x}^{2}}-2xy-2x={{x}^{2}}-2x\left( y+1 \right)\), do đó ta cần thêm \({{\left( y+1 \right)}^{2}}\) để xuất hiện bình phương của một tổng.
Cách 2: Sử dụng hằng đẳng thức: \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \)
Khi đó,
\( x^2 + 2y^2 - 2xy - 2x + 4y + 2026 \)
= \( (x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y) + (y^2 + 2y + 1) + 2024 \)
= \( (x - y - 1)^2 + (y + 1)^2 + 2024 \)
Do \( (x - y - 1)^2 \ge 0 \); \( (y + 1)^2 \ge 0 \) nên \( (x - y - 1)^2 + (y + 1)^2 + 2024 \ge 2024 \)
Dấu "=" xảy ra khi \( \left\{ \begin{array}{l} x - y - 1 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{array} \right. \) hay \( \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = -1 \end{array} \right. \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 2024 tại \( (x; y) = (0; -1) \).
Phân tích: Dùng hằng đẳng thức trên để đưa về dạng bình phương của một biểu thức, từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A = x^2 + 2y^2 - 4x + 4y - 2xy + 2023 \)
Hướng dẫn
Cách 1:
\( A = x^2 + 2y^2 - 4x + 6y - 2xy + 2023 \)
\( = \left( x^2 + y^2 + 4 - 2xy - 4x + 4y \right) + \left( y^2 + 2y + 1 \right) + 2018 \)
\( = (x - y - 2)^2 + (y + 1)^2 + 2028 \)
Cách 2:
\( A = x^2 + 2y^2 - 4x + 4y - 2xy + 2023 \)
\( = \left[ x^2 - 2x(y - 2) + (y - 2)^2 \right] \)
\( = (x - y - 2)^2 + (y + 1)^2 + 2028 \)
Do \( (x - y - 2)^2 \ge 0 \); \( (y + 1)^2 \ge 0 \) nên \( (x - y - 2)^2 + (y + 1)^2 + 2018 \ge 2018 \)
Dấu “=” xảy ra khi \( \begin{cases} x - y - 2 = 0 \\ y + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{hay} \quad \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases} \)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2018 khi \( (x; y) = (1; -1) \)
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( B = x^2 + 10y^2 - 6xy - 16y + 9 \)
Hướng dẫn
Cách 1:
\( B = x^2 + 10y^2 - 6xy + 4x - 16y + 9 \)
\( = \left(x^2 + 9y^2 + 4 - 6xy + 4x - 12y\right) + \left(y^2 - 4y + 4\right) + 1 \)
\( = (x - 3y + 2)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 1 \)
Cách 2:
\( B = x^2 + 10y^2 - 6xy + 4x - 16y + 9 \)
\( = \left[ x^2 - 2x(3y - 2) + (3y - 2)^2 \right] + 10y^2 - 16y + 9 - (3y - 2)^2 \)
\( = (x - 3y + 2)^2 + (y^2 - 4y + 4) + 1 \)
\( = (x - 3y + 2)^2 + (y - 2)^2 + 1 \ge 1 \)
Dấu “=” xảy ra khi \( \begin{cases} x - 3y + 2 = 0 \\ y - 2 = 0 \end{cases} \quad \text{hay} \quad \begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases} \)
Vậy GTNN của B là 1 khi \( x = 4 \); \( y = 2 \)
Bài 1. Tìm GTNN của biểu thức: \( A = x^2 + 5y^2 - 4xy - 10x + 20y + 2026 \)
Đáp án: \( A = (x - 2y - 5)^2 + y^2 + 2021 \ge 2021 \) khi \( x = 5, y = 0 \)
Bài 2. Tìm GTNN của biểu thức \( B = x^2 + 2y^2 + 2xy + 2x - 4y + 2000 \)
Đáp án: \( B = (x + y + 1)^2 + (y - 3)^2 + 1990 \ge 1990 \) khi \( x = -4, y = 3 \)
Bài 3. Tìm GTNN của biểu thức \( C = x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x - 10y + 18 \)
Đáp án: \( (x - y + 1)^2 + (y - 4)^2 + 1 \ge 1 \) khi \( x = 3, y = 4 \)
Bài 4. Tìm GTNN của biểu thức \( D = x^2 - 2xy + 6y^2 - 12x + 2y + 45 \)
Đáp án: \( D = (x - y - 6)^2 + 5(y - 1)^2 + 4 \ge 4 \) khi \( x = 7, y = 1 \)
Bài 5. Tìm GTNN của biểu thức \( E = x^2 - 2xy + 4x + 3y^2 - 8y + 29 \)
Đáp án: \( E = (x - y + 2)^2 + 2(y - 1)^2 + 23 \ge 23 \) khi \( x = -1, y = 1 \)
Bài 6. Tìm GTNN của biểu thức \( F = 2x^2 + 2y^2 + 2x + 2y + 5 \)
Đáp án: \( F = (x + y + 1)^2 + (x - y)^2 + 4 \ge 4 \) khi \( x = y = -\dfrac{1}{2} \)
Bài 7. Tìm GTNN của biểu thức \( G = 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 6x + 6y + 19 \)
Đáp án: \( G = (x + y - 3)^2 + (x - y)^2 + 10 \ge 10 \) khi \( x = y = \dfrac{3}{2} \)
Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức \( H = 4x^2 + 4y^2 - 4xy + 4x - 14y + 18 \)
Đáp án: \( H = (2x - y + 1)^2 + 3(y - 2)^2 + 5 \ge 5 \) khi \( x = \dfrac{1}{2}, y = 2 \)
Bài 9. Tìm GTNN của biểu thức \( I = 10x^2 + 5y^2 + 2xy - 30x - 10y + 36 \)
Đáp án: \( I = (3x - y - 5)^2 + (x - 2y)^2 + 11 \ge 11 \) khi \( x = 2, y = 1 \)
Bài 10. Tìm GTNN của biểu thức \( K = 5x^2 + y^2 - 2xy + 14x - 2y + 5 \)
Đáp án: \( K = (x - y + 1)^2 + (2x + 3)^2 - 5 \ge -5 \) khi \( x = -\dfrac{3}{2}, y = -\dfrac{1}{2} \)
Trường Toán Online MATHX
ĐGNL vào 6