MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số bài toán vận dụng về phân thức đại số kèm đáp án chi tiết.

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

a) \( -\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1} + \dfrac{1}{x^{2}-x+1} + \dfrac{1}{x+1} \)

b) \( \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{5}{2x^{2}+3x-2} \)

Hướng dẫn:

a) \( -\dfrac{3x^{2}}{x^{3}+1} + \dfrac{1}{x^{2}-x+1} + \dfrac{1}{x+1} \)

\( = -\dfrac{3x^{2}}{(x+1)(x^{2}-x+1)} + \dfrac{x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)} + \dfrac{x^{2}-x+1}{(x+1)(x^{2}-x+1)} \)

\( = \dfrac{-3x^{2} + x + 1 + x^{2} - x + 1}{(x+1)(x^{2}-x+1)} \)

\( = \dfrac{-2x^{2} + 2}{(x+1)(x^{2}-x+1)} \)

\( = \dfrac{-2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x^{2}-x+1)} = \dfrac{2 - 2x}{x^{2}-x+1} \)

b) \( \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{5}{2x^{2}+3x-2} \)

\( = \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{5}{(x+2)(2x-1)} \)

\( = \dfrac{2x-1}{(x+2)(2x-1)} + \dfrac{5}{(x+2)(2x-1)} \)

\( = \dfrac{2x+4}{(x+2)(2x-1)} = \dfrac{2(x+2)}{(x+2)(2x-1)} = \dfrac{2}{2x-1} \)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

a) \( \dfrac{1}{xy - x^{2}} - \dfrac{1}{y^{2} - xy} \)

b) \( \dfrac{1}{x^{2} + xy} + \dfrac{2}{y^{2} - x^{2}} + \dfrac{1}{xy - x^{2}} \)

Hướng dẫn:

a) \( \dfrac{1}{xy - x^{2}} - \dfrac{1}{y^{2} - xy} \) \( \ (\text{Điều kiện: } x \neq y \neq 0) \)

\( = \dfrac{1}{x(y-x)} - \dfrac{1}{y(y-x)} \)

\( = \dfrac{y}{xy(y-x)} - \dfrac{x}{xy(y-x)} \)

\( = \dfrac{y-x}{xy(y-x)} = \dfrac{1}{xy} \)

b) \( \dfrac{1}{x^{2} + xy} + \dfrac{2}{y^{2} - x^{2}} + \dfrac{1}{xy - x^{2}} \) \( \ (\text{Điều kiện: } x \neq 0; x+y \neq 0; x-y \neq 0) \)

\( = \dfrac{1}{x(x+y)} + \dfrac{2}{(y-x)(x+y)} + \dfrac{1}{x(y-x)} \)

\( = \dfrac{y-x + 2x + x + y}{x(y-x)(x+y)} \)

\( = \dfrac{2x + 2y}{x(y-x)(x+y)} \)

\( = \dfrac{2}{x(y-x)} \)

Bài 3. Cho \( x \neq 0; \, x \neq \pm 2 \). Thu gọn biểu thức

\( A = \left( \dfrac{4}{x-2} - \dfrac{3}{x+2} \right) : \dfrac{x+14}{x^{2}} \)

Hướng dẫn:

\( A = \left( \dfrac{4}{x-2} - \dfrac{3}{x+2} \right) : \dfrac{x+14}{x^{2}} \)

\( = \dfrac{4(x+2) - 3(x-2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x^{2}}{x+14} \)

\( = \dfrac{4x + 8 - 3x + 6}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x^{2}}{x+14} \)

\( = \dfrac{x + 14}{x^{2} - 4} \cdot \dfrac{x^{2}}{x+14} \)

\( = \dfrac{x^{2}}{x^{2} - 4} \)

Bài 4. Thu gọn biểu thức:

\( A = \dfrac{1}{x^{2} + x} + \dfrac{1}{x^{2} + 3x + 2} + \dfrac{1}{x^{2} + 5x + 6} + \dfrac{1}{x + 3} \)

Hướng dẫn:

\(A = \dfrac{1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{(x+1)(x+2)} + \dfrac{1}{(x+2)(x+3)} + \dfrac{1}{x+3} \)

\( = \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1} \right) + \left( \dfrac{1}{x+1} - \dfrac{1}{x+2} \right) + \left( \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x+3} \right) + \dfrac{1}{x+3} \)

\( = \dfrac{1}{x} \)

Bài 5. Thu gọn biểu thức:

\( A = \dfrac{20x^{2} + 120x + 180}{(3x+5)^{2} - 4x^{2}} + \dfrac{5x^{2} - 125}{9x^{2} - (2x+5)^{2}} - \dfrac{(2x+3)^{2} - x^{2}}{3(x^{2} + 8x + 15)} \)

Hướng dẫn:

\(A = \dfrac{20(x+3)^{2}}{(5x+5)(x+5)} + \dfrac{5(x-5)(x+5)}{(5x+5)(x-5)} - \dfrac{(3x+3)(x+3)}{3(x+3)(x+5)} \)

\( = \dfrac{4(x+3)^{2}}{(x+1)(x+5)} + \dfrac{x+5}{x+1} - \dfrac{x+1}{x+5} \)

\( = \dfrac{4(x+3)^{2} + (x+5)^{2} - (x+1)^{2}}{(x+1)(x+5)} \)

\( = \dfrac{4(x+3)^{2} + 4(2x+6)}{(x+1)(x+5)} \)

\( = \dfrac{4(x+3)(x+3+2)}{(x+1)(x+5)} = \dfrac{4(x+3)}{x+1} \)

Bài 6. Cho phân thức \( P = \dfrac{4x^{2} - 2x + 7}{2x - 1} \). Tìm giá trị nguyên của \( x \) để giá trị của phân thức \( P \) là một số nguyên.

Hướng dẫn:

\( P = \dfrac{4x^{2} - 2x + 7}{2x - 1} = \dfrac{2x(2x - 1) + 7}{2x - 1} = 2x + \dfrac{7}{2x - 1} \)

Để \( P \) nguyên thì \( \dfrac{7}{2x - 1} \) nguyên, nên \( 2x - 1 \in U(7) = \{-7;-1;1;7\} \).

Khi đó \( x \in \{-3;0;1;4\} \).

Vậy \( x \in \{-3;0;1;4\} \) thì \( P \) nguyên.

Bài 7. Tìm phân thức \( P(x) \) biết rằng \( \dfrac{x+1}{x+2}\cdot P(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+2x} \), với \( x \neq 0 \), \( x \neq -2 \).

Hướng dẫn:

\( \dfrac{x+1}{x+2}\cdot P(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+2x} \)

\( \Rightarrow P(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+2x} : \dfrac{x+1}{x+2} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x(x+2)} \cdot \dfrac{x+2}{x+1} = \dfrac{x-1}{x} \)

Vậy \( P(x) = \dfrac{x-1}{x} \).

Bài 8. Cho \( x + y + z = 1 \). Tính giá trị của biểu thức

\( P = \dfrac{(x+y)^2}{xy+z} \cdot \dfrac{(y+z)^2}{yz+x} \cdot \dfrac{(z+x)^2}{zx+y} \)

Hướng dẫn:

Có \( \dfrac{(x+y)^2}{xy+z} = \dfrac{(x+y)^2}{xy+z(x+y+z)} = \dfrac{(x+y)^2}{z^2 + xy + yz + xz} = \dfrac{(x+y)^2}{(x+z)(y+z)} \)

Chứng minh tương tự, ta có:

\( \dfrac{(y+z)^2}{yz+x} = \dfrac{(y+z)^2}{(y+x)(z+x)} \); \( \dfrac{(z+x)^2}{zx+y} = \dfrac{(z+x)^2}{(z+y)(x+y)} \)

Khi đó: \( P = \dfrac{(x+y)^2 (y+z)^2 (z+x)^2}{(x+y)^2 (y+z)^2 (z+x)^2} = 1 \)

Vậy \( P = 1 \)

Bài 9. Cho \( a + b + c = 0 \) và \( a, b, c \ne 0 \). Rút gọn biểu thức

\( A = \dfrac{ab}{a^2 + b^2 - c^2} + \dfrac{bc}{b^2 + c^2 - a^2} + \dfrac{ca}{c^2 + a^2 - b^2} \)

Hướng dẫn:

Có \( \dfrac{ab}{a^2 + b^2 - c^2} = \dfrac{ab}{a^2 + b^2 - (a+b)^2} = \dfrac{ab}{-2ab} = -\dfrac{1}{2} \)

Tương tự:\( \dfrac{bc}{b^2 + c^2 - a^2} = -\dfrac{1}{2} \); \( \dfrac{ca}{c^2 + a^2 - b^2} = -\dfrac{1}{2} \)

\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2} \)

Vậy \( A = -\dfrac{3}{2} \)

Bài 10. Cho \( a + b + c = 0 \) và \( a, b, c \ne 0 \). Rút gọn biểu thức

\( B = \dfrac{4bc - a^2}{bc + 2a^2} \cdot \dfrac{4ca - b^2}{ca + 2b^2} \cdot \dfrac{4ab - c^2}{ab + 2c^2} \)

Hướng dẫn:

Có \( \dfrac{4bc - a^2}{bc + 2a^2} = \dfrac{4bc - (b+c)^2}{bc + a^2 + a^2} = \dfrac{4bc - (b+c)^2}{bc + a^2 - a(b+c)} = \dfrac{-(b-c)^2}{a^2 - ab - ac} = \dfrac{-(b-c)^2}{(a-b)(a-c)} \)

Chứng minh tương tự, ta có:\( \dfrac{4ca - b^2}{ca + 2b^2} = \dfrac{-(a-c)^2}{(b-a)(b-c)} \); \( \dfrac{4ab - c^2}{ab + 2c^2} = \dfrac{-(a-b)^2}{(c-a)(c-b)} \)

\( B = \dfrac{-(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2} {-(a-b)^2 (b-c)^2 (c-a)^2} = 1 \)

Vậy \( B = 1 \)