Về một bài toán sử dụng nguyên lý Dirchlet trong đề thi học bổng lớp 6 trường Ngôi Sao Hà Nội 2026

Bài toán trong đề thi học bổng Ngôi Sao Hà Nội 2026 – Lớp 6.

CMR trong bất cứ 30 số nguyên tố nào đều sẽ có ít nhất hai số mà hiệu của chúng chia hết cho 84.

Hướng giải:

Với bài toán này, ta thấy ý tưởng dùng nguyên lý Dirichlet là rất rõ ràng. Vấn đề đặt ra là ta cần tìm xem có bao nhiêu số dư có thể của một số nguyên tố khi chia cho 84. Đến đây ta xét các dạng có thể của một số nguyên tố viết dạng 84k + r.

Lời giải.

Ta có một số nguyên tố có dạng p = 84k + r, trong đó r phải nguyên tố cùng nhau với 2; 3; 7 (với p > 7)

Ta có r có thể thuộc tập hợp

{1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 55, 59, 61, 65, 67, 71, 73, 79, 83} à có 24 giá trị khác nhau của r.

Khi có 30 số nguyên tố, ta thấy có ít nhất có 27 số nguyên tố lớn hơn 7, khi đó sẽ tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho 84 và hiệu hai số này chia hết cho 84 (ta có đpcm)

Nhận xét: Ta hoàn toàn có thể chỉ ra tồn tại 5 số cùng số dư khi chia cho 7, sau đó lại xét tiếp các số này khi chia cho 12 (hoặc xét chia 4 rồi xét chia 3)