MỘT SỐ CÂU HỎI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ II CỦA CÁC TRƯỜNG

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hỏi hình học trong đề thi cuối kỳ II của các trường.

Bài 1. Một cột điện AB có bóng trên mặt đất AC dài \( 5 \) m, cùng lúc đó một cây cọc DE cao \( 1 \) m thì có bóng trên mặt đất là DF dài \( 0{,}7 \) m. Hỏi chiều cao của cột điện là bao nhiêu mét (Kết quả làm tròn đến một chữ số thập phân)

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle DEF \) có:

\( \widehat{BAC}=\widehat{EDF}=90^\circ \)

\( \widehat{B}=\widehat{E} \)

\( \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle DEF \) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{DE}{DF}=\dfrac{AB}{AC} \)

\( \Rightarrow AB=\dfrac{DE \cdot AC}{DF}=\dfrac{1 \cdot 5}{0{,}7}\approx 7{,}1 \) (m)

Vậy chiều cao của cột điện \( AB \) là \( 7{,}1 \) m.

---

Bài 2. Để đo chiều cao \( AC \) của một cột cờ (như hình vẽ), người ta cắm một cái cọc \( ED \) có chiều cao \( 2 \)m vuông góc với mặt đất. Đặt vị trí quan sát tại \( B \), biết khoảng cách \( BE \) là \( 1{,}5 \)m và khoảng cách \( AB \) là \( 9 \)m. Tính chiều cao cột cờ?

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle ABC \) có \( DE \parallel AC \) (cùng vuông góc với \( AB \))

\( \Rightarrow \dfrac{DE}{AC} = \dfrac{BE}{BA} \) (Định lý thales)

\( \Rightarrow AC = \dfrac{DE \cdot BA}{BE} = \dfrac{2 \cdot 9}{1{,}5} = 12 \) (m)

Vậy chiều cao cột cờ là \( 12 \) m.

---

Bài 3. Giữa hai điểm \( B \) và \( C \) bị ngăn cách bởi hồ nước biết \( KI = 25 \) m và \( K \) là trung điểm của \( AB \), \( I \) là trung điểm của \( AC \) (Hình vẽ bên). Tính khoảng cách \( BC \).

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle ABC \) có \( K \) là trung điểm của \( AB \), \( I \) là trung điểm của \( AC \)

\( \Rightarrow KI \) là đường trung bình của \( \triangle ABC \)

\( \Rightarrow \dfrac{KI}{BC} = \dfrac{1}{2} \) \( \Rightarrow BC = 2KI = 2 \cdot 25 = 50 \) (m)

Vậy khoảng cách \( BC \) là \( 50 \) m.

---

Bài 4. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí \( C \) và \( D \) bị ngăn cách bởi một tòa nhà, người ta chọn một điểm \( O \) sao cho có thể nhìn thấy cả \( C \) và \( D \). Lấy điểm \( I, K \) lần lượt là trung điểm của \( OC \) và \( OD \). Đo được \( IK = 35 \)m. Tính khoảng cách giữa hai vị trí \( C \) và \( D \).

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle OCD \) có \( K \) là trung điểm của \( OD \), \( I \) là trung điểm của \( OC \)

\( \Rightarrow KI \) là đường trung bình của \( \triangle OCD \)

\( \Rightarrow \dfrac{KI}{CD} = \dfrac{1}{2} \) \( \Rightarrow CD = 2KI = 2 \cdot 35 = 70 \) (m)

Vậy khoảng cách \( CD \) là \( 70 \) m.

---

Bài 5. Cho tam giác \( MNP \) vuông tại \( M \), có đường cao \( MH \) \( (H \in NP) \)

a) Chứng minh \( \triangle MNP \sim \triangle HNM \)

b) Gọi \( D \) và \( E \) lần lượt là trung điểm của \( MN \) và \( NP \). Chứng minh \( HP \cdot NP = 4DE^2 \)

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle MNP \) và \( \triangle HNM \) có:

\( \widehat{N} \) chung

\( \widehat{NMP} = \widehat{MHN} = 90^\circ \) (Do \( MH \perp NP \))

\( \Rightarrow \triangle MNP \sim \triangle HNM \) (g.g)

b) Xét \( \triangle MNP \) có \( D \) là trung điểm của \( MN \), \( E \) là trung điểm của \( NP \)

\( \Rightarrow DE \) là đường trung bình của \( \triangle MNP \)

\( \Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}MP \Rightarrow MP = 2DE \)

Xét \( \triangle MHP \) và \( \triangle NMP \) có:

\( \widehat{MHP} = \widehat{NMP} = 90^\circ \)

\( \widehat{P} \) chung

\( \Rightarrow \triangle MHP \sim \triangle NMP \) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{HP}{MP} = \dfrac{MP}{NP} \Rightarrow HP \cdot NP = MP^2 \)

Mà \( MP = 2DE \) \( \Rightarrow HP \cdot NP = 4DE^2 \)

---

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H

a) Chứng minh \( \Delta BHF \sim \Delta CHE \) và \( \widehat{FEH} = \widehat{HCB} \)

b) Gọi D là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia DH, lấy điểm I sao cho \( DI = DH \). Chứng minh \( BH = CI \) và \( AI \perp EF \)

Hướng dẫn.

a) Xét \( \Delta BHF \) và \( \Delta CHE \) có:

\( \widehat{FHB} = \widehat{EHC} \) (hai góc đối đỉnh)

\( \widehat{BFH} = \widehat{HEC} = 90^\circ \) (Do \( CF \perp AB,\ BE \perp AC \))

\( \Rightarrow \Delta BHF \sim \Delta CHE \) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{FH}{BH} = \dfrac{HE}{HC} \Leftrightarrow \dfrac{FH}{HE} = \dfrac{BH}{HC} \)

Xét \( \Delta FHE \) và \( \Delta HBC \) có:

\( \widehat{FHE} = \widehat{BHC} \) (hai góc đối đỉnh)

\( \dfrac{FH}{HE} = \dfrac{BH}{HC} \)

\( \Rightarrow \Delta FHE \sim \Delta HBC \) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat{FEH} = \widehat{HCB} \)

b) Xét tứ giác BHCI có D là trung điểm của BC; D là trung điểm của HI

\( \Rightarrow BHCI \) là hình bình hành \( \Rightarrow BH = CI \)

Gọi G là giao của \( AI \) và \( EF \)

Có \( BH \parallel CI; \ BH \perp AC \Rightarrow CI \perp AC \Rightarrow \widehat{ACI} = 90^\circ \)

Xét \( \Delta AFC \) và \( \Delta HFB \) có \( \widehat{AFC} = \widehat{BFH} = 90^\circ \); \( \widehat{FBH} = \widehat{ACF} \) (cùng phụ với \( \widehat{BAC} \))

\( \Rightarrow \Delta AFC \sim \Delta HFB \) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{BF}{BH} = \dfrac{CF}{CA} \Rightarrow \dfrac{BF}{CI} = \dfrac{CF}{CA} \Rightarrow \dfrac{BF}{CF} = \dfrac{CI}{CA} \) mà \( \widehat{BFC} = \widehat{ACI} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta BFC \sim \Delta ICA \) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat{FBC} = \widehat{AIC} \)

Xét \( \Delta AFC \) và \( \Delta ABE \) có \( \widehat{BAC} \) chung, \( \widehat{AFC} = \widehat{AEB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AFC \sim \Delta ABE \Rightarrow \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AE}{AB} \Rightarrow \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB} \) mà \( \widehat{BAC} \) chung

\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC \) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{ABC} \Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{AIC} \)

\( \Rightarrow \widehat{AEF} + \widehat{GAE} = \widehat{AIC} + \widehat{GAE} = 90^\circ \) (Do \( \Delta AIC \) vuông tại C)

\( \Rightarrow \Delta AGE \) vuông tại G \( \Rightarrow AI \perp EF \)

---

Bài 7. Cho \( \Delta ABC \) vuông tại A, đường cao \( AH \) (\( H \in BC \))

a) Chứng minh \( \Delta AHB \sim \Delta CAB \)

b) Chứng minh \( AH.CB = AB.AC \)

c) Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng \( AH^2 = DA.DB + EA.EC \)

Hướng dẫn.

a) Xét \( \Delta AHB \) và \( \Delta CAB \) có:

\( \widehat{BAC} = \widehat{AHB} = 90^\circ \) (Vì \( AH \perp BC \))

\( \widehat{ABC} \) chung

\( \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta CAB \) (g.g)

b) Có \( S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}AH.BC \); \( S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}AB.AC \)

\( \Rightarrow AH.BC = AB.AC \ (=2S_{\Delta ABC}) \)

c) Xét \( \Delta ADH \) và \( \Delta HDB \) có:

\( \widehat{BDH} = \widehat{ADH} = 90^\circ \)

\( \widehat{DAH} = \widehat{BHD} \) (cùng phụ với \( \widehat{DHA} \))

\( \Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta HDB \) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{DB}{DH} = \dfrac{DH}{DA} \Rightarrow DH^2 = DA.DB \)

Chứng minh tương tự, \( EH^2 = EA.EC \)

Xét tứ giác ADHE có \( \widehat{DAE} = \widehat{ADH} = \widehat{AEH} = 90^\circ \) \( \Rightarrow ADHE \) là hình chữ nhật.

\( \Rightarrow \widehat{DHE} = 90^\circ; AH = DE \)

Xét \( \Delta DHE \) có \( \widehat{DHE} = 90^\circ \) \( \Rightarrow DH^2 + HE^2 = DE^2 \)

\( \Rightarrow DA.DB + EA.EC = AH^2 \)

---

Bài 8. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE và CF.

a) Chứng minh \( \Delta AEB \sim \Delta AFC \).

b) Chứng minh \( \Delta AEF \sim \Delta ABC \)

c) Tia phân giác của \( \widehat{BAC} \) cắt EF tại I, cắt BC tại K. Chứng minh \( IE.KC = IF.KB \)

Hướng dẫn.

a) Có \( BE \perp AC; AB \perp CF \Rightarrow \widehat{AEB} = \widehat{AFC} = 90^\circ \)

Xét \( \Delta AEB \) và \( \Delta AFC \) có:

\( \widehat{BAC} \) chung

\( \widehat{AFC} = \widehat{AEB} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \Delta AEB \sim \Delta AFC \) (g.g)

b) Có \( \Delta AEB \sim \Delta AFC \Rightarrow \dfrac{AF}{AC} = \dfrac{AE}{AB} \Rightarrow \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB} \)

Xét \( \Delta AEF \) và \( \Delta ABC \) có

\( \widehat{BAC} \) chung

\( \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB} \)

\( \Rightarrow \Delta AEF \sim \Delta ABC \) (c.g.c)

c) Có AI là phân giác của \( \triangle AEF \) \( \Rightarrow \dfrac{IF}{IE} = \dfrac{AF}{AE} \)

Có AK là phân giác của \( \triangle ABC \) \( \Rightarrow \dfrac{KC}{KB} = \dfrac{AC}{AB} \) mà \( \dfrac{AF}{AE} = \dfrac{AC}{AB} \)

\( \Rightarrow \dfrac{IF}{IE} = \dfrac{KC}{KB} \Rightarrow IF \cdot KB = IE \cdot KC \)

---

Bài 9. Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) (\( AB < AC \)), đường cao \( AH \).

a) Chứng minh \( \triangle BHA \sim \triangle BAC \)

b) Chứng minh \( AH^2 = HB \cdot HC \)

c) Gọi \( M \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \), \( P \) là trung điểm của \( AB \), \( CP \) cắt \( HM \) tại \( Q \) và cắt \( AH \) tại \( I \). Chứng minh \( \dfrac{QH}{PB} = \dfrac{QM}{PA} \) và \( B, I, M \) thẳng hàng.

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle BHA \) và \( \triangle ABC \) có:

\( \widehat{BHA} = \widehat{BAC} = 90^\circ \)

\( \widehat{ABC} \) chung

\( \Rightarrow \triangle BHA \sim \triangle BAC \) (g.g)

b) Xét \( \triangle ABH \) và \( \triangle CAH \) có:

\( \widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ \)

\( \widehat{BAH} = \widehat{ACB} \) (cùng phụ với \( \widehat{HAC} \))

\( \Rightarrow \triangle ABH \sim \triangle CAH \) (g.g)

\( \Rightarrow \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{AH}{HC} \Rightarrow AH^2 = HB \cdot HC \)

c) Xét \( \triangle BPC \) có \( HQ \parallel BP \) \( \Rightarrow \dfrac{HQ}{BP} = \dfrac{CQ}{CP} \)

Xét \( \triangle APC \) có \( MQ \parallel AP \) \( \Rightarrow \dfrac{CQ}{CP} = \dfrac{QM}{AP} \Rightarrow \dfrac{HQ}{BP} = \dfrac{QM}{AP} \) (vì \( \dfrac{CQ}{CP} \))

Mà \( BP = AP \Rightarrow HQ = QM \)

Có \( HM \parallel AB \Rightarrow \widehat{BPI} = \widehat{IQM} \)

Xét \( \triangle API \) có \( HQ \parallel AP \Rightarrow \dfrac{HQ}{AP} = \dfrac{IQ}{IP} \) mà \( HQ = QM; AP = BP \Rightarrow \dfrac{QM}{BP} = \dfrac{IQ}{IP} \)

Xét \( \triangle BPI \) và \( \triangle MQI \) có

\( \widehat{BPI} = \widehat{IQM} \)

\( \dfrac{QM}{IQ} = \dfrac{BP}{IP} \)

\( \Rightarrow \triangle BPI \sim \triangle MQI \) (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat{PIB} = \widehat{QIM} \Rightarrow \widehat{PIB} + \widehat{BIQ} = \widehat{QIM} + \widehat{BIQ} \)

\( \Rightarrow \widehat{QIM} + \widehat{BIQ} = 180^\circ \Rightarrow B, I, M \) thẳng hàng

---

Bài 10. Cho tam giác \( ABC \) (\( AB < AC \)), đường cao \( AH \) (\( H \in BC \)). Đường phân giác của \( \widehat{BAC} \) cắt \( BC \) tại \( D \). Gọi \( E, F \) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \( D \) tới \( AB, AC \).

a) Chứng minh \( \triangle CHA \sim \triangle CFD \)

b) Tia \( FE \) cắt \( AD \) tại \( K \). Chứng minh \( \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AH} \) và \( \widehat{KFD} = \widehat{EAD} \)

c) Đường thẳng đi qua \( D \) vuông góc với \( BC \), cắt \( EF \) tại \( J \). Chứng minh \( JF \cdot DC = JE \cdot BD \)

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle CHA \) và \( \triangle CFD \) có:

\( \widehat{CHA} = \widehat{DFC} = 90^\circ \) (Do \( AH \perp BC; DF \perp AC \))

\( \widehat{C} \) chung

⇒ \( \triangle CHA \sim \triangle CFD \) (g.g)

b) Có AD là phân giác của \( \triangle ABC \) ⇒ \( \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{BD}{BA} \)

Xét \( \triangle ABH \) và \( \triangle DBE \) có:

\( \widehat{B} \) chung

\( \widehat{BED} = \widehat{AHB} = 90^\circ \) (Do \( AH \perp BC; \ DE \perp AB \))

⇒ \( \triangle ABH \sim \triangle DBE \) (g.g) ⇒ \( \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{DE}{DB} \) ⇒ \( \dfrac{BD}{BA} = \dfrac{DE}{AH} \) mà \( \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{BD}{BA} \) ⇒ \( \dfrac{CD}{CA} = \dfrac{DE}{AH} \)

Xét \( \triangle AED \) và \( \triangle AFD \) có:

\( \widehat{AED} = \widehat{AFG} = 90^\circ \)

\( \widehat{EAD} = \widehat{DAF} \)

AD chung

⇒ \( \triangle AED = \triangle AFD \) (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ \( AE = AF; \ DE = DF \) ⇒ AD là trung trực của EF

⇒ \( AD \perp EF \) ⇒ \( \widehat{AKF} = 90^\circ \)

Có \( \widehat{KFD} = \widehat{DAF} \) (cùng phụ \( \widehat{KFA} \)) mà \( \widehat{DAF} = \widehat{DAE} \) \( \Rightarrow \widehat{KFD} = \widehat{DAE} \)

c) Xét \( \triangle DJF \) và \( \triangle CDA \) có:

\( \widehat{JDF} = \widehat{C} \) (cùng phụ với \( \widehat{FDC} \))

\( \widehat{JFD} = \widehat{DAC} \)

\( \Rightarrow \triangle DJF \sim \triangle CDA \) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{DJ}{FJ} = \dfrac{DC}{DA} \) \( \Rightarrow JF \cdot DC = DJ \cdot DA \)

Xét \( \triangle ABD \) và \( \triangle EDJ \) có:

\( \widehat{EDJ} = \widehat{B} \) (cùng phụ với \( \widehat{AEJ} \))

\( \widehat{JED} = \widehat{EAD} \)

\( \Rightarrow \triangle ABD \sim \triangle EDJ \) (g.g) \( \Rightarrow \dfrac{EJ}{JD} = \dfrac{AD}{BD} \) \( \Rightarrow EJ \cdot BD = DJ \cdot DA \)

Mà \( JF \cdot DC = DJ \cdot DA \) \( \Rightarrow JF \cdot DC = EJ \cdot BD \)