ÔN TẬP VỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG - TOÁN NÂNG CAO LỚP 6

 

Để giải quyết bài toán thuộc dạng dãy số viết theo quy luật ta có thể sử dụng 04 phương pháp sau: Phương pháp dự đoán và quy nạp; Phương pháp khử liên tiếp; Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính; Phương pháp tính qua các tổng đã biết. Đây là nội dung chính mà MATHX muốn giới thiệu đến quý phụ huynh và các em học sinh trong bài viêt này, vì là nội dung nâng cao nên các em cần đọc kĩ, nếu có phần nào chưa hiểu các em hãy nhắn tin ngay đến Fanpage để được các thầy cô giáo giải thích tận tình nhé

 

 

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp

 

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

S_n = a₁ + a₂ + .... a_n  (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

 

 Ví dụ 1: Tính tổng    S_n =1+3+5 +... + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S₁ = 1                 

                                   S₂ = 1 + 3 =2²

                                   S₃ = 1+ 3+ 5 = 9 = 3²

                                    ...      ...             ...

Ta dự đoán S_n = n²

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k \(\ge\) 1) ta có   S_k = k ²    (2)

Ta cần phải chứng minh S_k + 1 = ( k +1 ) ² (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1  ta có

1+3+5 +... + (2k – 1) + (2k +1) = k² + (2k +1)

Vì k² + (2k +1) = (k +1) ² nên ta có (3) tức là S_k+1  = ( k +1) ²

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + ... + ( 2n -1) = n²

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

 

1, 1 + 2+3 + .... + n = \(\dfrac{n(n+1)}{2}\)

 

2, 1² + 2 ² + ..... + n ² = \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

 

3, 1³+2³ + ..... + n³ = \({{\left[ \dfrac{n(n+1)}{2} \right]}^{2}}\)

 

4, 1⁵  + 2⁵ + .... + n⁵  = \(\dfrac{1}{12}\).n² (n + 1) ²  (2n² + 2n – 1)

 

 

 

 

 

 

 II. Phương pháp khử liên tiếp 

 

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn a_i , i = 1,2,3...,n  , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác, chính xác hơn , giả sử :

a₁ =  b₁  -  b₂

a₂ =  b₂   - b₃

.... .... .... .....

a_n  = b_n – b_{n+ 1}

 

Khi đó ta có ngay:

S_n   = ( b₁ – b₂ ) + ( b₂ – b₃ ) + ......  + ( b_n – b_{n + 1} )

      =  b₁ – b_{n + 1}

 

Ví dụ 2: Tính tổng:

    \(S = \dfrac{1}{10.11}+\dfrac{1}{11.12}+\dfrac{1}{12.13}+.......+\dfrac{1}{99.100}\)

 

Ta có :  \(\dfrac{1}{10.11}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}, \dfrac{1}{11.12}=\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}; . ..; \dfrac{1}{99.100}=\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

 

Do đó :

\(S = \dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}-\dfrac{1}{12}+.......+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{9}{100}\)

 

Dạng tổng quát

                \(S_n = \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+......+\dfrac{1}{n(n+1)} \ \ \  (n > 1)                    \\ = 1- \dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1} \)

 

Ví dụ 3: Tính tổng

         \(Sn = \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+\dfrac{1}{3.4.5}+......+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\)

 

Ta có

S_n  = \(\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3} \right)+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4} \right)+........+\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\)

 

S_n =   \(\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+......+\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)\)

 

S_n = \(\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{(n+1)(n+2)} \right)=\dfrac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}\)

 

Ví dụ 4: Tính tổng

  S_n  = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n!  ( n! = 1.2.3 ....n )

 

Ta có : 1! = 2! -1!

           2.2! = 3 ! -2!

           3.3! = 4! -3!

           ..... ..... .....

           n.n! = (n + 1) –n!

 

Vậy S_n = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n!

           = (n+1) ! - 1! = (n+ 1) ! - 1

 

Ví dụ 5 : tính tổng

S_n = \(\dfrac{3}{{{(1.2)}^{2}}}+\dfrac{5}{{{(2.3)}^{2}}}+.......+\dfrac{2n+1}{{{\left[ n(n+1) \right]}^{2}}}\)

 

Ta có :

\(\dfrac{2i+1}{{{\left[ i(i+1) \right]}^{2}}}=\dfrac{1}{{{i}^{2}}}-\dfrac{1}{{{(i+1)}^{2}}}\);          i = 1 ; 2 ; 3; ....; n

 

Do đó      S_n = \(( 1- \dfrac{1}{{{2}^{2}}})+\left( \dfrac{1}{{{2}^{2}}}-\dfrac{1}{{{3}^{2}}} \right)+.....+\left( \dfrac{1}{{{n}^{2}}}-\dfrac{1}{{{(n+1)}^{2}}} \right)\)

 

                   = \(1- \dfrac{1}{{{(n+1)}^{2}}}=\dfrac{n(n+2)}{{{(n+1)}^{2}}}\)

 

III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính

 

Ví dụ 6 : Tính tổng

          S = 1+2+2² +....... + 2¹⁰⁰   ( 4)

 

Ta viết lại S như sau :

          S = 1+2 (1+2+2² +....... + 2⁹⁹ )

         S  = 1+2 ( 1 +2+2²+ ...... + 2⁹⁹  + 2 ¹⁰⁰  - 2¹⁰⁰  )

  => S= 1+2 ( S -2 ¹⁰⁰  )     ( 5)

 

Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2¹⁰¹

S = 2¹⁰¹-1

 

 

Ví dụ 7: tính tổng

         S_n  = 1+ p + p ² + p³ + ..... + pⁿ  ( p\(\ne \)1)

 

Ta viết lại S_n dưới dạng sau :

S_n = 1+p ( 1+p+p² +.... + p^n-1 )

S_n = 1 + p ( 1+p +p² +..... + p ^n-1 + p ⁿ –p ⁿ )

S_n = 1+p ( S_n –pⁿ )

S_n = 1 +p.S_n –p ⁿ⁺¹

S_n ( p -1 ) = pⁿ⁺¹ -1

S_n = \(\dfrac{{{P}^{n+1}}-1}{p-1}\)

 

Ví dụ 8 : Tính tổng

S_n = 1+ 2p +3p ² + .... + ( n+1 ) pⁿ , ( p \(\ne\)1)

 

Ta có :   p.S_n  = p + 2p ²  + 3p³ + ..... + ( n+ 1) p ^{n +1}

       = 2p –p +3p ² –p² + 4p³–p³ + ...... + (n+1) pⁿ  - pⁿ + (n+1)pⁿ –pⁿ + ( n+1) pⁿ⁺¹

= ( 2p + 3p² +4p³ + ...... +(n+1) pⁿ ) – ( p +p + p + .... pⁿ ) + ( n+1) pⁿ⁺¹

= ( 1+ 2p+ 3p²+4p³+ ....... + ( n+1) pⁿ  ) – ( 1 + p+ p² + .... + p ⁿ) + ( n +1 ) pⁿ⁺¹

 

\(p.S_n=S_{n- \dfrac{{{P}^{n+1}}-1}{P-1}+(n+1){{P}^{n+1}}}\)    ( theo VD 7 )

 

 Lại có (p-1)S_n = (n+1)pⁿ⁺¹  - \(\dfrac{{{p}^{n+1}}-1}{P-1}\)

 

S_n = \(\dfrac{(n+1){{P}^{n+1}}}{p-1}-\dfrac{{{p}^{n+1}}-1}{{{(P-1)}^{2}}}\)

 

 

IV. Phương pháp tính qua các tổng đã biết

 

• Các kí hiệu : \(\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+......+{{a}_{n}}\)

 

• Các tính chất :

     1, \(\sum\limits_{i=1}^{n}{({{a}_{i}}+{{b}_{i}})=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{b}_{i}}}}}\)

 

     2,  \(\sum\limits_{i=1}^{n}{a.{{a}_{i}}}=a\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\)

 

Ví dụ 9 : Tính tổng :

S_n= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1)

 

Ta có :  S_n = \(\sum\limits_{i=1}^{n}{i(i+1)}=\sum\limits_{i=1}^{n}{({{i}^{2}}+i)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{i}^{2}}}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{i}\)

 

Vì :      \(\begin{align}   & \sum\limits_{i=1}^{n}{i=1+2+3+....+n=\frac{n(n+1)}{2}} \\  & \sum\limits_{i=1}^{n}{{{i}^{2}}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \end{align}\)(Theo I )

 

cho nên : S_n = \(\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\)

 

Ví dụ 10 : Tính tổng :

S_n =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)

 

ta có : S_n = \(\sum\limits_{i=1}^{n}{i(3i-1)=\sum\limits_{i=1}^{n}{(3{{i}^{2}}-i)}}\)

               = \(3\sum\limits_{i=1}^{n}{{{i}^{2}}}-\sum\limits_{i==1}^{n}{i}\)

Theo (I) ta có :

S_n = \(\dfrac{3n(n+1)(2n+1)}{6}-\dfrac{n(n+1)}{2}={{n}^{2}}(n+1)\)

 

Ví dụ 11 . Tính tổng

S_n = 1³⁺ +2³ +5³ +... + (2n +1 )³

 

 ta có :

S_n = [( 1³ +2 ³ +3³ +4³ +....+(2n+1)³ ] –[2³+4³ +6³ +....+(2n)³]

    = [1³+2³ +3³ +4³ + ..... + (2n +1 )³] -8 (1³ +2³ +3³ +4³ +......+ n³ )

 

S_n = \(\dfrac{{{(2n+1)}^{2}}{{(2n+2)}^{2}}}{4}-\dfrac{8{{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}}{4}\)    ( theo (I) – 3 )

=( n+1) ²(2n+1) ² – 2n² (n+1)²

= (n +1 )² (2n² +4n +1)

 

V. Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

 

 

 

 

Ví dụ 12 :

Tính tổng A = 19 +20 +21 +.... + 132

 

Số số hạng của A là : ( 132 – 19 ) : 1 +1 = 114 ( số hạng )m

                         A = 114 ( 132 +19 ) : 2 = 8607

 

Ví dụ 13 : Tính tổng

 B = 1 +5 +9 +.......+ 2005 +2009

 

 số số hạng của B là ( 2009 – 1 ) : 4 + 1 = 503

                          B = ( 2009 +1 ) .503 :2 = 505515

 

Ví dụ  14 : Chứng minh rằng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 )

Từ đó tính tổng S = 1..2+2.3 + 3.4 +...... + n (n + 1)

 

Chứng minh :

Cách 1 : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1)

                           = k( k+1) \(\left[ (k+2)-(k-1) \right]\)  = k (k+1) .3   = 3k(k+1)

 

Cách 2 : Ta có k ( k +1) = k(k+1).\(\dfrac{(k+2)-(k-1)}{3}\)

 

  = \(\dfrac{k(k+1)(k+2)}{3}-\dfrac{k(k+1)(k-1)}{3}\)     *

 

3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 

 

=> \(1.2 = \dfrac{1.2.3}{3}-\dfrac{0.1.2}{3}          \)

 

\(\begin{align}   & 2.3=\frac{2.3.4}{3}-\frac{1.2.3}{3} \\  & ................................... \\  & n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{(n-1)n(n+1)}{3} \\ \end{align}\)

\(S = \dfrac{-1.2.0}{3}+\dfrac{(n+2)n(n+1)}{3}=\dfrac{(n+1)n(n+2)}{3} \)

 

Ví dụ 15: Chứng minh rằng:

                 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)

 từ đó  tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 +.... + n(n+1) (n+2)

 

Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2) \(\left[ (k+3)-(k-1) \right]\)

                             = k( k+1) ( k +2 ) .4

Rút ra: k(k+1) (k+2) = \(\dfrac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{4}-\dfrac{(k-1)k(k+1)(k+2)}{4}\)

 

Áp dụng: 1.2.3 = \(\dfrac{1.2.3.4}{4}-\dfrac{0.1.2.3}{4}\)

 

                2.3.4 = \(\dfrac{2.3.4.5}{4}-\dfrac{1.2.3.4}{4}\)

 

                ..........................................................

 

                n(n+1) (n+2) = \(\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}-\dfrac{(n-1)n(n+1)(n+2)}{4}\)

 

Cộng vế với vế ta được \(S =\dfrac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}\)

 

 

 

 

 

II. Bài Tập Vận Dụng về dãy số viết theo quy luật

 

Tính các tổng sau

 

1, B = 2+ 6 +10 + 14 + ..... + 202

 

2, a, A = 1+2 +2² +2³ +.....+ 2^6.2  + 2 ^{6 3}   

    b, S = 5 + 5² + 5³  + ..... + 5 ⁹⁹   + 5¹⁰⁰

     c, C = 7 + 10 + 13 + .... + 76

 

3, D = 49 +64 + 81+ .... + 169

 

4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 +.... + n( n +3 ) ,       n = 1,2,3 ,....

 

5, S = \(\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+........+\dfrac{1}{99.100}\)

 

6, S = \(\dfrac{4}{5.7}+\dfrac{4}{7.9}+....+\dfrac{4}{59.61}\)

 

7, A = \(\dfrac{5}{11.16}+\dfrac{5}{16.21}+\dfrac{5}{21.26}+......+\dfrac{5}{61.66}\)

 

8, M = \(\dfrac{1}{{{3}^{0}}}+\dfrac{1}{{{3}^{1}}}+\dfrac{1}{{{3}^{2}}}+.....+\dfrac{1}{{{3}^{2005}}}\)

 

9, S_n = \(\dfrac{1}{1.2.3.}+\dfrac{1}{2.3.4}+.....+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)}\)

 

10, S_n = \(\dfrac{2}{1.2.3}+\dfrac{2}{2.3.4}+.....+\dfrac{2}{98.99.100}\)

 

11, S_n = \(\dfrac{1}{1.2.3.4}+\dfrac{1}{2.3.4.5}+......+\dfrac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}\)

 

12, M = 9 + 99 + 999  +...... + 99..... .....9

                                             50 chữ số 9                  

           

13, Cho:    S₁ = 1+2                          S₃ = 6+7+8+9

                  S₂ = 3+4+5                     S₄ = 10 +11 +12 +13 + 14

    Tính S₁₀₀  =?

    Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :

 

14, 

a, (x+1) + (x+2) + (x+3) +...... + ( x+100 ) = 5070

b, 1 + 2 + 3 + 4 +.............+ x =  820

c, \(1 + \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{10}+......+\dfrac{2}{x(x+1)}=1\dfrac{2013}{2015}\)

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

 

15, Chứng minh :

a,   A = 4+ 2² +2³ +2⁴  +..... + 2²⁰ là luỹ thừa của 2

b,   B =2 + 2² + 2 ³ + ...... + 2 ⁶⁰  \(\vdots\) 3 ; 7; 15

c,  C = 3 + 3³ +3⁵ + ....+ 3²⁰¹⁵  \(\vdots\) 13 ;  41

d,  D = 11⁹ + 11⁸ +11⁷ +......+ 11 + 1  \(\vdots\)  5

 

 

Phụ huynh và các em học sinh xem thêm chủ đề toán lớp 6 tại đây:

 

TẬP HỢP CÁC SỐ TỰ NHIÊN VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN - TOÁN LỚP 6 (PHẦN 1)

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ TỰ NHIÊN - TOÁN LỚP 6 (PHẦN 2)

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI - TOÁN LỚP 6