ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC

Bài 1: Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu chia số đó cho tổng các chữ số của nó ta được thương là 6 và dư 2, nếu chia số đó cho tích các chữ số của nó ta được thương là 5 và dư là 2.

Hướng dẫn

Đặt số phải tìm là \(\overline{ab}\) (\(a \ne 0\), \(a, b < 10\)).

Theo đề bài ta có: \(\overline{ab} = (a + b) \times 6 + 2\)

                              \(\overline{ab} = (a \times b) \times 5 + 2\)

hay \(\overline{ab} - 2 = (a + b) \times 6\) (tìm số hạng trong một tổng).
\(\overline{ab} - 2 = (a \times b) \times 5\) (tìm số hạng trong một tổng).

Như vậy \(\overline{ab} - 2\) vừa chia hết cho 6 vừa chia hết cho 5 mà \(\overline{ab}\) là số có hai chữ số, nên có thể là: 30, 60, 90.

+ Nếu \(\overline{ab} - 2 = 30\) thì \(\overline{ab} = 32\); \(32 : (3 + 2) = 6\) (dư 2)
                        \(32 : (3 \times 2) = 5\) (dư 2) (thoả mãn yêu cầu đề bài).

• Nếu \(\overline{ab} - 2 = 60\) thì \(\overline{ab} = 62\), 62 không bằng \((9 + 2) \times 6 + 2\) (không được).
• Nếu \(\overline{ab} - 2 = 90\) thì \(\overline{ab} = 92\), 92 không bằng \((9 + 2) \times 6 + 2\) (không được).

Vậy số đó là 32.

Bài 2: Mẹ mua về một số táo, mẹ bảo Bé chia cho cả nhà. Bé chia cho mỗi người 5 quả thì cuối cùng phần Bé chỉ còn 3 quả. Mẹ bảo Bé chia lại, Bé chia cho mỗi người 4 quả thì cuối cùng Bé nhận được \(\dfrac{1}{3}\) số táo ban đầu. Hỏi mẹ mua về bao nhiêu quả táo?

Hướng dẫn

Với cách chia lần sau ta thấy Bé được \( \dfrac{1}{3} \) số táo, và còn lại \( \dfrac{2}{3} \) số táo.

Với \( \dfrac{2}{3} \) số táo này đem chia cho số người còn lại thì mỗi người được 4 quả. Vậy nếu lấy cả số táo chia cho số người còn lại thì mỗi người sẽ được:

\( 4 : 2 \times 3 = 6 \) (quả), khi đó số táo vừa hết và Bé không có quả nào.

+ Với cách chia lần đầu ta thấy nếu chia cả số táo cho số người còn lại, mỗi người 5 quả thì còn thừa 3 quả (là phần của Bé).

+ Như vậy cứ mỗi người giảm 1 quả (từ 6 quả xuống 5 quả) thì thừa ra 3 quả, do đó số người còn lại trong gia đình (trừ Bé) sẽ là: \( 3 : 1 = 3 \) (người).

+ Số táo mẹ mua về là: \( 5 \times 3 + 3 = 18 \) (quả).

Hoặc: \( 6 \times 3 = 18 \) (quả).

Bài 3: Cho a là số có bốn chữ số. Tổng các chữ số của a là b, tổng các chữ số của b là c. Tìm số a, biết: a + b + c = 189

Hướng dẫn

Đặt số \( a = \overline{mnxy} \), ta thấy:

\( b = m + n + x + y \le 9 \times 4 = 36 \).

b là số có 1 chữ số hoặc có 2 chữ số nhỏ hơn 36 nên tổng các chữ số của b phải bé hơn \( 9 \times 2 = 18 \), hay \( c \le 18 \).

Ta có: \( a + b + c = 1989 \) hay \( a = 1989 - b - c \).

Suy ra: \( 1989 - 36 - 18 \le \overline{mnxy} \le 1989 \)
              \( 1935 \le \overline{mnxy} \le 1989 \).

Vậy \( a = \overline{mnxy} = \overline{19xy} \), \( b = 1 + 9 + x + y = 10 + (x + y) \).

1) Nếu \( x + y < 10 \) thì \( b = \overline{1m} \) (với \( m = x + y \)).
Khi đó \( c = 1 + m = 1 + x + y \) và:

\(\overline{19xy} + (1+9 + x + y) + (1 + x + y) = 1989\)

\( 1900 + x \times 10 + y + x \times 2 + y \times 2 + 11 = 1989 \) (phân tích số)

\( x \times 12 + y \times 3 + 1911 = 1989 \) (nhân một số với một tổng)

\( x \times 12 + y \times 3 = 78 \)

\( x \times 4 + y = 26 \) (cùng giảm đi 3 lần)

\( x \times 4 = 26 - y \) (tìm số hạng trong một tổng)

\( \text{Vì } 0 \le y \le 9 \text{ nên } 26 - 9 \le x \times 4 \le 26 \text{ do đó } x = 5 \text{ hoặc } x = 6. \)

+ \( \text{Với } x = 5 \text{ thì } 5 \times 4 + y = 26, y = 6. \)

Không được vì \( 5 + 6 > 10 \).

+ Với \( x = 6 \) thì \( 6 \times 4 + y = 26 \), \( y = 2 \).

Ta được số \( a = 1962 \), thử lại: \( 1 + 9 + 6 + 2 = 18 \), \( 1 + 8 = 9 \)
                                              \(1962+18+9=1989\)
Vậy số a là \( 1962 \).

2) Nếu \( x + y > 10 \) thì đặt được \( x + y = 10 + n \)
                                                 \((n = x+y-10)\) 

Khi đó \( b = 10 + (x + y) = 20 + n = \overline{2n} \) và \( c = 2 + n \).
Hay \( c = 2 + (x + y - 10) = x + y - 8 \).

Ta có \( a + b + c = 1989 \).
\(\overline{19xy} + (1 + 9 + x + y) + (x + y - 8) = 1989\)

Rút gọn tương tự như trên được: \( x \times 4 + y = 29 \).
\( 29 - 9 \le x \times 4 \le 29 \) vì \( 0 \le y \le 9 \) nên suy ra: \( x = 5, 6, 7 \).

+ Với \( x = 5 \) thì \( 4 \times 5 + y = 29 \) ; \( y = 9 \).
Ta được \( a = 1959 \), \( b = 1 + 9 + 5 + 9 = 24 \), \( c = 2 + 4 = 6 \).
\( a + b + c = 1959 + 24 + 6 = 1989 \) (đúng).

Vậy \( a = 1959 \).

+ Với \( x = 6 \) thì \( 4 \times 6 + y = 29 \), \( y = 5 \).

Ta được \( a = 1965 \), \( b = 1 + 9 + 6 + 5 = 21 \), \( c = 2 + 1 = 3 \).

\( a + b + c = 1965 + 21 + 3 = 1989 \) (đúng).

Vậy \( a = 1965 \).

+ Với \( x = 7 \) thì \( 4 \times 7 + y = 29 \), \( y = 1 \).

\( x + y = 7 + 1 = 8 < 10 \) (không được).

Kết luận: Ta tìm được ba số là: \( 1962 \), \( 1959 \) và \( 1965 \) thoả mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4: Cho hình 10, trong đó: \( CE = \dfrac{2}{3}CA, \ CD = \dfrac{1}{3}CB \).

a) So sánh đoạn BO với đoạn OE.

b) Tính diện tích tam giác AOE, biết diện tích tam giác BOD là 800 cm\(^2\).

Hướng dẫn

a) Ta có: \( S_{ABD} = S_{ACD} \times 2 \).

(Hai tam giác \( ABD \) và \( ACD \) có chung đường cao hạ từ \( A \) và có đáy \( BD = CD \times 2 \).)

+ Do đó đường cao \( BH = CK \times 2 \).

(Hai tam giác ABD và ACD có chung đáy AD và diện tích gấp đôi nhau).

+ Từ đó: \( S_{ABO} = S_{ACO} \times 2 \) (1)

(hai tam giác ABO và ACO chung đáy AD và có đường cao gấp đôi nhau).

+ Mặt khác: \( S_{AOC} = S_{AOE} \times 3 \) (2) (hai tam giác AOC và AOE có chung đường cao hạ từ O và đáy \( AC = AE \times 3 \)).

+ Từ (1) và (2) ta có: \( S_{ABO} = S_{AOE} \times 6 \) (\( 3 \times 2 = 6 \)).

Hai tam giác ABO và AOE có chung đường cao hạ từ A mà \( S_{ABO} = S_{AOE} \times 6 \) nên đáy \( BO = OE \times 6 \).

b) Hai tam giác BOC và BOD có chung chiều cao hạ từ O và \( BD = \dfrac{2}{3}BC \) nên:

\( S_{BOD} = \dfrac{2}{3}S_{BOC} \), suy ra \( S_{BOC} = 800 : 2 \times 3 = 1200\ (cm^2) \).

Tương tự: do EC gấp hai lần AE nên \( S_{BEC} = S_{BAE} \times 2 \) và \( S_{OEC} = S_{AOE} \times 2 \).

Từ đó: \( S_{BEC} - S_{OEC} = (S_{BAE} - S_{AOE}) \times 2 \)

hay \( S_{BOC} = S_{AOB} \times 2 \).

Suy ra: \( S_{AOB} = 1200 : 2 = 600\ (cm^2) \).

– Cũng lập luận như trên: do \( BO = OE \times 6 \) nên \( S_{ABO} = S_{AOE} \times 6 \).

Vậy: \( S_{AOE} = 600 : 6 = 100\ (cm^2) \).