MỘT SỐ CÂU HỎI VẬN DỤNG VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hỏi vận dụng về giải phương trình.

Bài 1. Giải phương trình: \( |x-1| = 2x+3 \)

Hướng dẫn.

Điều kiện: \( x \ge -\dfrac{3}{2} \)

TH 1: Nếu \( x \ge 1 \), phương trình có dạng \( x-1 = 2x+3 \) \( \Rightarrow x=-4 \) (loại)

TH 2: Nếu \( -\dfrac{3}{2} \le x < 1 \), phương trình có dạng \( 1-x = 2x+3 \) \( \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3} \) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \( x=-\dfrac{2}{3} \).

---

Bài 2. Giải phương trình: \( \frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x^2-5x+6}+...+\frac{1}{x^2-39x+380}=\frac{5}{24} \)

Hướng dẫn.

Điều kiện \( x \notin \{0;1;2;...;19;20\} \)

\( \frac{1}{x^2-x}+\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x^2-5x+6}+...+\frac{1}{x^2-39x+380}=\frac{5}{24} \)

\( \frac{1}{x(x-1)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{1}{(x-2)(x-3)}+...+\frac{1}{(x-19)(x-20)}=\frac{5}{24} \)

\( \left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}\right) + \left(-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}\right) + \left(-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\right) +...+ \left(-\frac{1}{x-19}+\frac{1}{x-20}\right) =\frac{5}{24} \)

\( \frac{1}{x-20}-\frac{1}{x}=\frac{5}{24} \)

\( \frac{20}{x(x-20)}=\frac{5}{24} \)

\( \dfrac{4}{x^2-20x}=\dfrac{1}{24} \)

\( x^2-20x-96=0 \)

\( x^2-24x+4x-96=0 \)

\( (x+4)(x-24)=0 \)

TH 1: \( x+4=0 \Rightarrow x=-4 \) (thỏa mãn)

TH 2: \( x-24=0 \Rightarrow x=24 \) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm \( x \in \{-4;24\} \)

---

Bài 3. Giải phương trình \( \dfrac{210-x}{90}+\dfrac{284-x}{82}+\dfrac{315-x}{65}+\dfrac{168-x}{12}=10 \)

Hướng dẫn.

\( \dfrac{210-x}{90}+\dfrac{284-x}{82}+\dfrac{315-x}{65}+\dfrac{168-x}{12}=10 \)

\( \left(\dfrac{210-x}{90}-1\right) + \left(\dfrac{284-x}{82}-2\right) + \left(\dfrac{315-x}{65}-3\right) + \left(\dfrac{168-x}{12}-4\right) =0 \)

\( \dfrac{120-x}{90}+\dfrac{120-x}{82}+\dfrac{120-x}{65}+\dfrac{120-x}{12}=0 \)

\( (120-x)\left(\dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{82}+\dfrac{1}{65}+\dfrac{1}{12}\right)=0 \)

\( 120-x=0 \quad (\text{Do } \dfrac{1}{90}+\dfrac{1}{82}+\dfrac{1}{65}+\dfrac{1}{12}\ne0) \)

\( x=120 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x=120 \)

---

Bài 4. Giải phương trình \( \dfrac{x-1}{2025}+\dfrac{x-2}{2024}+\dfrac{x-3}{2023}+...+\dfrac{x-2025}{1}=2025 \)

Hướng dẫn.

\( \dfrac{x-1}{2025}+\dfrac{x-2}{2024}+\dfrac{x-3}{2023}+...+\dfrac{x-2025}{1}=2025 \)

\( \left(\dfrac{x-1}{2025}-1\right) + \left(\dfrac{x-2}{2024}-1\right) + \left(\dfrac{x-3}{2023}-1\right) +...+ \left(\dfrac{x-2025}{1}-1\right) =0 \)

\( \dfrac{x-2026}{2025} + \dfrac{x-2026}{2024} + \dfrac{x-2026}{2023} +...+ \dfrac{x-2026}{1} =0 \)

\( (x-2026)\left(\dfrac{1}{2025}+\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{2023}+...+\dfrac{1}{2}+1\right)=0 \)

\( x-2026=0 \quad (\text{Do } \dfrac{1}{2025}+\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{2023}+...+\dfrac{1}{2}+1\ne0) \)

\( x=2026 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x=2026 \)

---

Bài 5. Giải phương trình: \( \dfrac{6}{x^2+2}+\dfrac{12}{x^2+8}=3-\dfrac{7}{x^2+3} \)

Hướng dẫn.

Điều kiện: \( x\in\mathbb{R} \)

\( \dfrac{6}{x^2+2}+\dfrac{12}{x^2+8}=3-\dfrac{7}{x^2+3} \)

\( \dfrac{6}{x^2+2}+\dfrac{12}{x^2+8}+\dfrac{7}{x^2+3}=3 \)

\( \left(\dfrac{6}{x^2+2}-1\right) + \left(\dfrac{12}{x^2+8}-1\right) + \left(\dfrac{7}{x^2+3}-1\right) =0 \)

\( \dfrac{4-x^2}{x^2+2} + \dfrac{4-x^2}{x^2+8} + \dfrac{4-x^2}{x^2+3} =0 \)

\( (4-x^2)\left(\dfrac{1}{x^2+2}+\dfrac{1}{x^2+8}+\dfrac{1}{x^2+3}\right)=0 \)

Mà \( \dfrac{1}{x^2+2}+\dfrac{1}{x^2+8}+\dfrac{1}{x^2+3}\ne0 \) nên \( 4-x^2=0 \)

\( x^2=4 \)

\( \Rightarrow x\in\{-2;2\} \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x\in\{-2;2\} \)

---

Bài 6. Giải phương trình \( x^2(x+6)^2+19(x+3)^2-81=0 \)

Hướng dẫn.

\( x^2(x+6)^2+19(x+3)^2-81=0 \)

\( (x^2+6x)^2+19(x+3)^2-81=0 \)

\( \left[(x+3)^2-9\right]^2+19(x+3)^2-81=0 \)

\( (x+3)^4-18(x+3)^2+81+19(x+3)^2-81=0 \)

\( (x+3)^4+(x+3)^2=0 \)

Có \( (x+3)^4;(x+3)^2 \ge 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \)

\( \Rightarrow (x+3)^4+(x+3)^2 \ge 0 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( x+3=0 \) hay \( x=-3 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x=-3 \)

---

Bài 7. Giải phương trình: \( (2x-5)^3+(2-x)^3=(x-3)^3+(x-3)(7x^2-2052x+2054) \) 

Hướng dẫn.

\( (2x-5)^3+(2-x)^3-(x-3)^3=(x-3)(7x^2-2052x+2054) \)

Đặt \( a=2x-5 \), \( b=2-x \)

Có \( a+b=(2x-5)+(2-x)=x-3 \)

\( (2x-5)^3+(2-x)^3-(x-3)^3 \)

\( =a^3+b^3-(a+b)^3 \)

\( =-3ab(a+b) \)

\( =-3(2x-5)(2-x)(x-3) \)

\( =(x-3)(2x-5)(3x-6) \)

\( =(x-3)(6x^2-27x+30) \)

Khi đó \( (x-3)(6x^2-27x+30)=(x-3)(7x^2-2052x+2054) \)

\( (x-3)(7x^2-2052x+2054-6x^2+27x-30)=0 \)

\( (x-3)(x^2-2025x+2024)=0 \)

\( (x-3)(x-1)(x-2024)=0 \)

TH1: \( x-3=0 \Rightarrow x=3 \)

TH2: \( x-1=0 \Rightarrow x=1 \)

TH3: \( x-2024=0 \Rightarrow x=2024 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x\in\{1;3;2024\} \)

---

Bài 8. Giải phương trình: \( \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2+\dfrac{x+1}{x-4}-3\left(\dfrac{2x-4}{x-4}\right)^2=0 \)

Hướng dẫn.

Điều kiện: \(x\notin\{2;4\}\)

\( \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2+\dfrac{x+1}{x-4}-3\left(\dfrac{2x-4}{x-4}\right)^2=0 \)

\( \left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2+\dfrac{x+1}{x-4}-12\left(\dfrac{x-2}{x-4}\right)^2=0 \)

Đặt \( a=\dfrac{x+1}{x-2} \), \( b=\dfrac{x-2}{x-4} \) \( \Rightarrow ab=\dfrac{x+1}{x-4} \)

Phương trình có dạng \( a^2+ab-12b^2=0 \)

\( a^2+4ab-3ab-12b^2=0 \)

\( a(a+4b)-3b(a+4b)=0 \)

\( (a-3b)(a+4b)=0 \)

TH1: \( a-3b=0 \Rightarrow a=3b \Rightarrow \dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{3x-6}{x-4} \)

\( (x+1)(x-4)=(3x-6)(x-2) \)

\( x^2-3x-4=3x^2-12x+12 \)

\( 2x^2-9x+16=0 \)

\(2\left(x^2-\dfrac{9}{2}x\right)+16=0\) \(2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2+\dfrac{47}{8}=0\)

Có \(\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2\ge0\) với mọi \(x\notin\{2;4\}\)

\(\Rightarrow 2\left(x-\dfrac{9}{4}\right)^2+\dfrac{47}{8}>0\)

Không có \(x\) thỏa mãn TH 1.

TH 2: \(a+4b=0\) \(\Rightarrow \dfrac{x+1}{x-2}+\dfrac{4x-8}{x-4}=0\)

\(\dfrac{(x+1)(x-4)+(4x-8)(x-2)}{(x-2)(x-4)}=0\)

\(x^2-3x-4+4x^2-16x+16=0\)

\(5x^2-19x+12=0\)

\(5x^2-15x-4x+12=0\)

\((x-3)(5x-4)=0\)

* ) \(x-3=0\) ⇒ \(x=3\) (thỏa mãn điều kiện) * ) \(5x-4=0\) ⇒ \(x=\dfrac{4}{5}\) (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm \(x\in\left\{3;\dfrac{4}{5}\right\}\)

---

Bài 9. Giải phương trình: \((x+2)(x+3)^2(x+4)=12\)

Hướng dẫn.

\((x+2)(x+3)^2(x+4)=12\)

\((x+2)(x+4)(x+3)^2=12\)

\((x^2+6x+8)(x^2+6x+9)=12\)

Đặt \(x^2+6x+8=t\), phương trình trở thành \(t(t+1)=12\)

\(t^2+t=12\)

\(t^2+4t-3t-12=0\)

\((t+4)(t-3)=0\)

TH1: \(t+4=0\) ⇒ \(t=-4\) ⇒ \(x^2+6x+8=-4\) ⇒ \((x+3)^2+3=0\)

Có \((x+3)^2+3>0\) với mọi \(x\in\mathbb{R}\) nên không có \(x\) thỏa mãn.

TH2: \(t-3=0\) ⇒ \(t=3\) ⇒ \(x^2+6x+8=3\)

\(x^2+6x+5=0\)

\(x^2+5x+x+5=0\)

\((x+1)(x+5)=0\)

⇒ \(x\in\{-1;-5\}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x\in\{-1;-5\}\)

---

Bài 10. Giải phương trình: \(x(x+1)(x+7)(x+8)=144\)

Hướng dẫn.

\(x(x+8)(x+1)(x+7)=144\)

\((x^2+8x)(x^2+8x+7)=144\)

Đặt \(x^2+8x=t\), phương trình trở thành: \(t(t+7)=144\)

\(t^2+7t-144=0\)

\(t^2+16t-9t-144=0\)

\((t+16)(t-9)=0\)

TH1: \(t+16=0\) ⇒ \(t=-16\) ⇒ \(x^2+8x=-16\) ⇒ \((x+4)^2=0\) ⇒ \(x=-4\)

TH2: \(t-9=0\) ⇒ \(t=9\) ⇒ \(x^2+8x=9\)

\(x^2+8x-9=0\)

\(x^2+9x-x-9=0\)

\((x+9)(x-1)=0\)

⇒ \(x\in\{-9;1\}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x\in\{1;-4;-9\}\)