GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI VÀO 10 NĂM 2025 - 2026

Gọi số trận thắng của đội bóng là \( x \ (x \in \mathbb{N}^*, x < 34) \)

Số trận hòa của đội bóng là \( 34 - x \) (trận)

Vì mỗi trận thắng được 3 điểm nên điểm của đội bóng giành được với \( x \) trận thắng là \( 3x \) (điểm)

Vì mỗi trận hòa được 1 điểm nên điểm của đội bóng giành được với \( 34 - x \) trận hòa là \( 34 - x \) (điểm)

Vì tổng số điểm mà đội bóng giành được là 90 điểm nên ta có phương trình

\( 3x + 34 - x = 90 \)

\( 2x = 56 \)

\( x = 28 \) (tmdk)

Vậy Bayer Leverkusen giành được 28 trận thắng, 6 trận hòa

Bài 3. (Đề thi vào 10 Sở Hải Dương)

Một đội xe ban đầu dự định dùng một số xe để vận chuyển hết 360 tấn hàng. Tuy nhiên khi thực hiện, có 5 xe được điều đi nơi khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 6 tấn hàng so với ban đầu. Hỏi ban đầu đội dự định dùng bao nhiêu xe để vận chuyển? Biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau.

Hướng dẫn

Gọi số xe ban đầu đội dự định dùng để vận chuyển là \( x \ (x \in \mathbb{N}^*) \)

Ban đầu mỗi xe cần chở: \( \dfrac{360}{x} \) tấn hàng

Thực tế, có 5 xe được điều đi nơi khác nên mỗi xe phải chở: \( \dfrac{360}{x-5} \) tấn hàng

Thực tế mỗi xe phải chở thêm 6 tấn hàng so với dự định nên ta có phương trình:

\( \dfrac{360}{x-5} - \dfrac{360}{x} = 6 \)

Giải phương trình trên ta tìm được: \( x = 20 \) (thỏa mãn) hoặc \( x = -15 \) (loại)

Vậy ban đầu đội dự định dùng 20 xe để vận chuyển.

Bài 4. (Đề thi vào 10 tỉnh Quảng Ngãi)

Một xe ô tô và một xe máy khởi hành cùng một lúc từ A để đi đến B với quãng đường AB dài 160 km. Do vận tốc của xe ô tô lớn hơn vận tốc của xe máy là 10 km/h nên xe ô tô đến B trước xe máy 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc của ô tô là \( x \) (km/h), \( x > 10 \)

Khi đó vận tốc của xe máy là \( x - 10 \) (km/h)

Thời gian ô tô đi hết quãng đường là \( \dfrac{160}{x} \) (giờ)

Thời gian xe máy đi hết quãng đường là \( \dfrac{160}{x - 10} \) (giờ)

Xe ô tô đến trước xe máy 48 phút = \( \dfrac{4}{5} \) giờ.

Ta có phương trình: \( \dfrac{160}{x - 10} - \dfrac{160}{x} = \dfrac{4}{5} \)

\( 160.5x - 160.5(x - 10) = 4x(x - 10) \)

\( 4x^2 - 40x - 8000 = 0 \)

Giải phương trình \( 4x^2 - 40x - 8000 = 0 \) ta được \( x = 50 \) (tmdk) và \( x = -40 \) (loại).

Vậy vận tốc của ô tô là 50 km/h và vận tốc của xe máy là 40 km/h.

Bài 5. (Đề thi vào 10 Sở Hà Tĩnh)

Một đội xe dự định chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì hai xe phải điều đi làm công việc khác nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định ban đầu. Hỏi thực tế có bao nhiêu xe đã tham gia chở hàng? (biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng bằng nhau).

Hướng dẫn

Gọi số xe dự định chở hàng ban đầu là \( x \ (x > 2, x \in \mathbb{N}) \)

Số xe thực tế tham gia chở hàng là \( x - 2 \) (xe)

Theo dự định số hàng mỗi xe phải chở là \( \dfrac{30}{x} \) (tấn hàng)

Trong thực tế số hàng mỗi xe phải chở là \( \dfrac{30}{x - 2} \) (tấn hàng)

Vì trong thực tế mỗi xe giảm đi hai xe nên mỗi xe phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng nên ta có phương trình

\( \dfrac{30}{x - 2} - \dfrac{30}{x} = 0,5 \)

\( \dfrac{60x}{x(x - 2)} - \dfrac{60(x - 2)}{x(x - 2)} = \dfrac{x(x - 2)}{x(x - 2)} \)

\( \dfrac{60x - 60(x - 2)}{x(x - 2)} = \dfrac{x(x - 2)}{x(x - 2)} \)

\( 60x - 60(x - 2) = x(x - 2) \)

\( 60x - 60x + 120 = x^2 - 2x \)

\( x^2 - 2x - 120 = 0 \)

\( (x - 12)(x + 10) = 0 \)

\( x - 12 = 0 \)

\( x = 12 \) (t/m)

\( x = -10 \) (ktm)

Vậy thực tế số xe tham gia chở hàng là \( 12 - 2 = 10 \) xe

Bài 6. (Đề thi vào 10 Sở Nghệ An)

Tháng 1 năm 2025, tập đoàn ô tô X sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường tăng lên, tháng 2 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên x% so với tháng 1. Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên 2x% so với tháng 2. Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe. Tính x.

Hướng dẫn

Tháng 2 tập đoàn tăng số lượng sản xuất lên x% so với tháng 1 nên số lượng xe tháng 2 sản xuất được là \( 100 + 100 \cdot \dfrac{x}{100} = 100 + x \) (xe)

Tháng 3 tập đoàn tăng số lượng sản xuất lên 2x% so với tháng 2 nên số lượng xe tháng 3 sản xuất được là ...

\( 100 + x + (100 + x)\cdot \dfrac{2x}{100} \)

\( = 100 + x + 2x + \dfrac{1}{50}x^2 \)

\( = \dfrac{1}{50}x^2 + 3x + 100 \) (xe)

Vì số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe nên ta có phương trình

\( \dfrac{1}{50}x^2 + 3x + 100 = 132 \)

\( \dfrac{1}{50}x^2 + 3x - 32 = 0 \)

\( x^2 + 150x - 1600 = 0 \)

\( (x - 10)(x + 160) = 0 \)

\( x - 10 = 0 \)
\( x + 160 = 0 \)

\( x = 10 \) (TM)
\( x = -160 \) (KTM)

Vậy \( x = 10 \)

Bài 7. (Đề thi vào 10 Sở Bình Phước)

Hai xe ô tô xuất phát cùng một lúc từ thành phố Đồng Xoài đến thành phố Hồ Chí Minh dài 90 km. Biết vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 15 km/h nên xe thứ hai đến thành phố Hồ Chí Minh sớm hơn xe thứ nhất 30 phút. Tính vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn

Gọi vận tốc của xe thứ nhất và xe thứ hai lần lượt là \( x \) và \( y \), điều kiện \( x > 0; y > 0 \), đơn vị km/h.

Đổi 30 phút bằng \( \dfrac{1}{2} \) giờ.

Vận tốc xe thứ hai lớn hơn vận tốc xe thứ nhất 15 km/h nên ta có phương trình: \( y - x = 15 \) (*)

Thời gian xe thứ nhất đi từ thành phố Đồng Xoài đến thành phố Hồ Chí Minh là: \( \dfrac{90}{x} \) giờ.

Thời gian xe thứ hai đi từ thành phố Đồng Xoài đến thành phố Hồ Chí Minh là: \( \dfrac{90}{y} \) giờ.

Vì xe thứ hai đến thành phố Hồ Chí Minh sớm hơn xe thứ nhất 30 phút nên ta có phương trình:

\( \dfrac{90}{x} - \dfrac{90}{y} = \dfrac{1}{2} \) (**)

Từ (*) và (**) ta có hệ phương trình: \(\begin{cases} y - x = 15 & (*) \\ \dfrac{90}{x} - \dfrac{90}{y} = \dfrac{1}{2} & (**) \end{cases}\)

Từ (*) ta có \( y = x + 15 \), thay vào (**) ta có:

\( \dfrac{90}{x} - \dfrac{90}{x+15} = \dfrac{1}{2} \)

\( \dfrac{180(x+15) - 180x}{2x(x+15)} = \dfrac{x(x+15)}{2x(x+15)} \)

\( 180(x+15) - 180x = x(x+15) \)

\( 180x + 2700 - 180x = x^2 + 15x \)

\( 180x + 2700 - 180x - x^2 - 15x = 0 \)

\( -x^2 - 15x + 2700 = 0 \)

Giải phương trình bậc hai ẩn x ta được hai nghiệm là \( x = 45 \) (thỏa mãn) và \( x = -60 \) (không thỏa mãn).

Với \( x = 45 \) ta có \( y = 45 + 15 = 60 \) (thỏa mãn).

Vậy xe thứ nhất đi với vận tốc 45 km/h và xe thứ hai đi với vận tốc 60 km/h.

Hướng dẫn

Gọi số cuốn sách ban đầu ở ngăn I là: \( x \) (cuốn) ĐK: \( x > 100 \) và \( x \in \mathbb{N}^* \) .

Số cuốn sách ban đầu ở ngăn II là: \( y \) (cuốn) ĐK: \( y \in \mathbb{N}^* \) .

Có \( y = x - 100 \) .

Chuyển 25% số sách ngăn I sang ngăn II, khi đó số cuốn sách còn lại ở ngăn I là: \( x - 0,25x = 0,75x \) (cuốn).

Số cuốn sách ở ngăn II là: \( y + 0,25x \) (cuốn).

Sau khi chuyển, số cuốn sách ở ngăn I bằng 75% số cuốn sách ở ngăn II, ta có phương trình:

\( 0,75x = 0,75 \cdot (x - 100 + 0,25x) \) (1)

Thay \( y = x - 100 \) vào (1) ta có:

\( 0,75x = 0,75 \cdot (x - 100 + 0,25x) \)
\( 0,75x = 0,75 \cdot (1,25x - 100) \)
\( 0,75x = 0,9375x - 75 \)
\( 0,1875x = 75 \)

\( x = 400 \) (TMĐK).
Suy ra: \( y = 400 - 100 = 300 \) (TMĐK).

Vậy số sách ban đầu ở ngăn I là 400 cuốn, số sách ban đầu ở ngăn II là 300 cuốn.

Bài 12. (Đề thi vào 10 Sở Hà Giang)

Bạn Lan đi xe đạp từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc không đổi. Biết quãng đường AB dài 20 km. Khi đi từ B trở về A, bạn Lan tăng vận tốc thêm 2 km/h, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 20 phút. Tính vận tốc của Lan khi đi xe đạp từ A đến B.

Hướng dẫn