MỘT SỐ CÂU HỎI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI GIỮA KỲ II CỦA CÁC TRƯỜNG

Bài 1. Trường THCS Nguyễn Huệ – Bà Rịa Vũng Tàu (Năm 2024 – 2025)

Giữa hai điểm B và C có một hồ nước (xem hình bên). Biết \( DE = 45\,m \). Tính khoảng cách giữa hai điểm B và C.

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle ABC \) có \( D \) là trung điểm của \( AB \), \( E \) là trung điểm của \( AC \).

\( \Rightarrow DE \) là đường trung bình của \( \triangle ABC \) (Định nghĩa)

\( \Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}BC \) mà \( DE = 45\,m \) \( \Rightarrow 45 = \dfrac{1}{2}BC \) \( \Rightarrow BC = 90\,m \)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm B và C là \( 90\,m \).

---

Bài 2. Trường THCS Lý Sơn – Hà Nội (Năm 2024 – 2025)

Hình vẽ bên mô tả cách đo chiều cao của cây phi lao. Biết cọc \( BK \) vuông góc với mặt đất. Các thông số đo được như sau: \( BC = 1\,m \), \( AB = 6{,}5\,m \), \( BK = 1{,}2\,m \).

Tính chiều cao của cây phi lao?

Hướng dẫn.

Có \( AC = CB + BA = 1 + 6{,}5 = 7{,}5 \, (m) \)

Xét \( \triangle ACH \) có \( AH \parallel BK \)

\( \Rightarrow \dfrac{KB}{AH} = \dfrac{BC}{CA} \) (Định lý Thales)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{BK \cdot CA}{BC} = \dfrac{1{,}2 \cdot 7{,}5}{1} = 9 \, (m) \)

Vậy chiều cao cây phi lao là \( 9 \, m \).

---

Bài 3. Trường THCS Lê Quý Đôn – TP HCM (Năm 2024 – 2025)

Khi thiết kế một cái thang gấp, để đảm bảo an toàn người thợ đã làm thêm một thanh ngang để giữ cố định ở chính giữa hai bên thang (như hình vẽ bên) sao cho hai chân thang (đoạn \( BC \)) rộng một khoảng là \( 80 \, cm \). Hỏi người thợ đã làm thanh ngang đó có độ dài bao nhiêu cm?

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle ABC \) có \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( AC \).

\( \Rightarrow MN \) là đường trung bình của \( \triangle ABC \) (Định nghĩa)

\( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}BC \) mà \( BC = 80 \, cm \) \( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2} \cdot 80 = 40 \, (cm) \)

Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó có độ dài \( 40 \, cm \).

---

Bài 4. Trường THCS Hoài Thanh – Bình Định (Năm 2024 – 2025)

Cho tứ giác \( ABCD \) có \( M, N, P, Q \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CD, DA \). Hỏi tứ giác \( MNPQ \) là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn.

Xét \( \triangle BCD \) có \( N \) là trung điểm của \( BC \), \( P \) là trung điểm của \( CD \).

\( \Rightarrow NP \) là đường trung bình của \( \triangle BCD \) (Định nghĩa)

\( \Rightarrow NP \parallel BD \) và \( NP = \dfrac{1}{2}BD \)

Xét \( \triangle ABD \) có \( M \) là trung điểm của \( BA \), \( Q \) là trung điểm của \( AD \).

\( \Rightarrow MQ \) là đường trung bình của \( \triangle BAD \) (Định nghĩa)

\( \Rightarrow MQ \parallel BD \) và \( MQ = \dfrac{1}{2}BD \)

Có \( NP = \dfrac{1}{2}BD \), \( MQ = \dfrac{1}{2}BD \) \( \Rightarrow NP = MQ = \dfrac{1}{2}BD \)

Có \( NP \parallel BD \), \( MQ \parallel BD \) \( \Rightarrow NP \parallel MQ \)

Xét tứ giác \( MNPQ \) có \( NP = MQ \), \( NP \parallel MQ \)

\( \Rightarrow MNPQ \) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

---

Bài 5. Trường THCS Phúc Lợi – Hà Nội (năm 2024 – 2025)

Cho tam giác \( ABC \). Trên cạnh \( AB \) lấy điểm \( M \) sao cho \( \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{1}{3} \). Qua \( M \) kẻ một đường thẳng \( d \) song song với \( BC \) và cắt cạnh \( AC \) của tam giác đó tại \( N \).

a) Chứng minh rằng \( AC = 3AN \)

b) Biết \( AN + AC = 16 \, cm \). Tính \( AN \)

c) Kẻ \( MK \perp BC \), lấy \( F \) là trung điểm của \( NC \). Chứng minh rằng \( \widehat{NMF} = \widehat{CKF} \)

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle ABC \) có \( MN \parallel BC \) \( \Rightarrow \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} \) (Định lý Thales)

\( \Rightarrow \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow AC = 3AN \)

b) Có \( \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{AN}{1} = \dfrac{AC}{3} \)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\( \dfrac{AN}{1} = \dfrac{AC}{3} = \dfrac{AN + AC}{1 + 3} = \dfrac{16}{4} = 4 \)

\( \Rightarrow AN = 4 \, (cm) \)

c) Lấy \( I \) là trung điểm của \( KN \), \( H \) là trung điểm của \( MK \).

Xét \( \triangle KNC \) có \( I \) là trung điểm của \( NK \), \( F \) là trung điểm của \( NC \)

\( \Rightarrow IF \) là đường trung bình của \( \triangle KNC \) (Định nghĩa)

\( \Rightarrow IF \parallel KC \)

Xét \( \triangle KMN \) có \( I \) là trung điểm của \( NK \), \( H \) là trung điểm của \( MK \)

\( \Rightarrow IH \) là đường trung bình của \( \triangle KMN \) (Định nghĩa)

\( \Rightarrow IH \parallel MN \) mà \( MN \parallel KC \) \( \Rightarrow IH \parallel KC \) mà \( IF \parallel KC \)

\( \Rightarrow H, I, F \) thẳng hàng (Tiên đề Euclid)

Có \( BC \perp MK \), \( HF \parallel BC \) \( \Rightarrow HF \perp MK \)

Có \( BC \perp MK \), \( MN \parallel BC \) \( \Rightarrow MN \perp MK \) \( \Rightarrow \widehat{NMK} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat{NMK} = \widehat{MKC} = 90^\circ \)

Xét \( \triangle MKF \) có \( HF \) là đường cao, \( HF \) là đường trung tuyến

\( \Rightarrow \triangle MKF \) cân tại \( F \) \( \Rightarrow \widehat{MKF} = \widehat{KMF} \) (tính chất tam giác cân)

\( \Rightarrow \widehat{NMK} - \widehat{KMF} = \widehat{MKC} - \widehat{MKF} \Rightarrow \widehat{NMF} = \widehat{CKF} \)

---

Bài 6. Trường THCS Quế Thuận – Quảng Nam (Năm 2024 – 2025)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) (\( AB < AC \)). Kẻ đường cao \( AH \) (\( H \in BC \)).

a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \)

b) Biết \( AB = 6\,cm \), \( AC = 8\,cm \). Tính độ dài đoạn thẳng \( BC \)

c) Tính độ dài đoạn thẳng \( BH \)

d) Gọi \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( AH \) và \( BH \). Chứng minh \( \widehat{BAN} = \widehat{ACM} \)

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle HBA \) có:

\( \widehat{B} \) chung

\( \widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ \) (do \( AH \perp BC \))

⇒ \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) (g.g)

b) Xét \( \triangle ABC \) có \( \widehat{BAC} = 90^\circ \) (gt)

⇒ \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) (Định lý Pythagore)

⇒ \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \) (cm)

Vậy \( BC = 10 \) cm

c) Có \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) (cmt) ⇒ \( \dfrac{BH}{BA} = \dfrac{BA}{BC} \) (hai cạnh tương ứng)

⇒ \( BA^2 = BH \cdot BC \)

⇒ \( BH = \dfrac{BA^2}{BC} = \dfrac{6^2}{10} = 3{,}6 \) (cm)

d) Có \( \widehat{BAH} + \widehat{HAC} = \widehat{BAC} = 90^\circ \) ⇒ \( \widehat{HAC} = 90^\circ - \widehat{BAH} \)

Xét \( \triangle ABH \) có \( \widehat{BHA} = 90^\circ \) ⇒ \( \widehat{B} + \widehat{BAH} = 90^\circ \) ⇒ \( \widehat{B} = 90^\circ - \widehat{BAH} \)

⇒ \( \widehat{HAC} = \widehat{B} \)

Xét \( \triangle ABH \) và \( \triangle CAH \) có:

\( \widehat{HAC} = \widehat{B} \)

​\( \widehat{CHA} = \widehat{BHA} = 90^\circ \) (do \( AH \perp BC \))

⇒ \( \triangle ABH \sim \triangle CAH \) (g.g) ⇒ \( \dfrac{AH}{BA} = \dfrac{BA}{AC} \) (hai cạnh tương ứng)

⇒ \( \dfrac{2BN}{BA} = \dfrac{2AM}{AC} \) ⇒ \( \dfrac{BN}{BA} = \dfrac{AM}{AC} \)

Xét \( \triangle ABN \) và \( \triangle CAM \) có:

\( \widehat{MAC} = \widehat{B} \)

\( \dfrac{BN}{BA} = \dfrac{AM}{AC} \)

⇒ \( \triangle ABN \sim \triangle CAM \) (c.g.c) ⇒ \( \widehat{BAN} = \widehat{ACM} \) (hai góc tương ứng)

---

Bài 7. Trường THCS Quảng Hải – Thanh Hóa (năm 2024 – 2025)

Cho tam giác \( ABC \) và các điểm \( M, N \) lần lượt nằm trên các cạnh \( AB, AC \) sao cho \( \widehat{AMN} = \widehat{ACB} \).

a) Chứng minh rằng \( \triangle AMN \sim \triangle ACB \)

b) Chứng minh rằng \( \triangle ABN \sim \triangle ACM \)

c) Gọi \( O \) là giao điểm của \( BN \) và \( CM \). Chứng minh rằng \( \triangle OMN \sim \triangle OBC \).

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle AMN \) và \( \triangle ACB \) có:

\( \widehat{A} \) chung

\( \widehat{AMN} = \widehat{ACB} \) (gt)

⇒ \( \triangle AMN \sim \triangle ACB \) (g.g)

b) Có \( \triangle AMN \sim \triangle ACB \) ⇒ \( \dfrac{AM}{AN} = \dfrac{AC}{AB} \) (hai cạnh tương ứng)

⇒ \( \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB} \)

Xét \( \triangle ABN \) và \( \triangle ACM \) có:

\( \widehat{A} \) chung

\( \dfrac{AM}{AC} = \dfrac{AN}{AB} \) (cmt)

⇒ \( \triangle ABN \sim \triangle ACM \) (c.g.c)

c) Có \( \triangle ABN \sim \triangle ACM \) ⇒ \( \widehat{ABN} = \widehat{ACM} \) (hai góc tương ứng)

Xét \( \triangle BMO \) và \( \triangle CNO \) có:

\( \widehat{MOB} = \widehat{NOC} \) (hai góc đối đỉnh)

\( \widehat{ABN} = \widehat{ACM} \) (cmt)

⇒ \( \triangle BMO \sim \triangle CNO \) (g.g) ⇒ \( \dfrac{OM}{BO} = \dfrac{ON}{OC} \) (hai cạnh tương ứng)

⇒ \( \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{OB}{OC} \)

Xét \( \triangle OMN \) và \( \triangle OBC \) có:

\( \widehat{MON} = \widehat{BOC} \) (hai góc đối đỉnh)

\( \dfrac{OM}{ON} = \dfrac{OB}{OC} \) (cmt)

⇒ \( \triangle OMN \sim \triangle OBC \) (c.g.c)

---

Bài 8. Trường TH & THCS Quất Lưu – Vĩnh Phúc (Năm 2024 – 2025)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB = 6 \) cm, \( AC = 8 \) cm.

a) Tính độ dài cạnh \( BC \)

b) Vẽ đường cao \( AH \). Chứng minh rằng \( \triangle ABC \sim \triangle HAC \)

c) Tia phân giác của \( \widehat{ABC} \) cắt \( AC \) tại \( E \). Chứng minh rằng \( AE \cdot AB = EC \cdot BH \).

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle ABC \) có \( \widehat{BAC} = 90^\circ \) (gt)

⇒ \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) (Định lý Pythagore)

⇒ \( BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10 \) (cm)

Vậy \( BC = 10 \) cm

b) Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle HAC \) có:

\( \widehat{C} \) chung

\( \widehat{BAC} = \widehat{CHA} = 90^\circ \) (do \( AH \perp BC \))

⇒ \( \triangle ABC \sim \triangle HAC \) (g.g)

c) Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle HBA \) có:

\( \widehat{B} \) chung

\( \widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ \) (do \( AH \perp BC \))

⇒ \( \triangle ABC \sim \triangle HBA \) (g.g)

⇒ \( \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{AB}{BC} \) (hai cạnh tương ứng)

Xét \( \triangle ABC \) có \( BE \) là đường phân giác trong tam giác:

⇒ \( \dfrac{AE}{CE} = \dfrac{AB}{BC} \) mà \( \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{AB}{BC} \)

⇒ \( \dfrac{AE}{CE} = \dfrac{BH}{AB} \)

⇒ \( AE \cdot AB = BH \cdot CE \)

---

Bài 9. Trường THCS Chu Văn An – Bình Dương (Năm 2024 – 2025)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) có \( AB = 12 \) cm, \( BC = 20 \) cm.

a) Tính độ dài \( AC \).

b) Trên cạnh \( BC \) lấy điểm \( M \) sao cho \( CM < BM \). Qua \( M \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( BC \), cắt \( AC \) tại \( N \). Chứng minh \( \triangle MNC \sim \triangle ABC \).

c) Kẻ đường cao \( AH \) của \( \triangle ABC \) (\( H \in BC \)). Chứng minh \( MN \cdot AC = AH \cdot CN \).

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle ABC \) có \( \widehat{BAC} = 90^\circ \) (gt)

⇒ \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \) (Định lý Pythagore)

⇒ \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{256} = 16 \) (cm)

Vậy \( AC = 16 \) cm

b) Xét \( \triangle ABC \) và \( \triangle MNC \) có:

\( \widehat{C} \) chung

\( \widehat{BAC} = \widehat{NMC} = 90^\circ \) (do \( MN \perp BC \))

⇒ \( \triangle ABC \sim \triangle MNC \) (g.g)

c) Có \( MN \perp BC \), \( AH \perp BC \) ⇒ \( MN \parallel AH \)

Xét \( \triangle AHC \) có \( MN \parallel AH \)

⇒ \( \dfrac{MN}{AH} = \dfrac{NC}{AC} \) (Định lý Thales)

⇒ \( MN \cdot AC = AH \cdot CN \)

---

Bài 10. Trường THCS Lý Sơn – Hà Nội (Năm 2024 – 2025)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \) (\( AB < AC \)), lấy \( M, N \) lần lượt là trung điểm của \( AB, AC \).

a) Cho biết \( BC = 20 \) cm. Tính \( MN \).

b) Gọi \( K \) là điểm đối xứng của \( M \) qua \( B \), nối \( KN \) cắt \( BC \) tại \( F \). Chứng minh \( F \) là trung điểm của \( KN \).

c) Chứng minh \( FC = 3FB \).

Hướng dẫn.

a) Xét \( \triangle ABC \) có \( M \) là trung điểm của \( AB \), \( N \) là trung điểm của \( AC \)

⇒ \( MN \) là đường trung bình của \( \triangle ABC \) (Định nghĩa)

⇒ \( MN \parallel BC \), \( MN = \dfrac{1}{2}BC \) mà \( BC = 20 \) cm

⇒ \( MN = \dfrac{1}{2} \cdot 20 = 10 \) cm

Vậy \( MN = 10 \) cm

b) Xét \( \triangle MKN \) có \( B \) là trung điểm của \( KM \), \( BF \parallel MN \)

⇒ \( BF \) là đường trung bình của \( \triangle KMN \)

⇒ \( F \) là trung điểm của \( KN \)

c) Có \( BF \) là đường trung bình của \( \triangle KMN \) ⇒ \( BF = \dfrac{1}{2}MN \)

Có \( MN \) là đường trung bình của \( \triangle ABC \) ⇒ \( MN = \dfrac{1}{2}BC \)

⇒ \( BF = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{4}BC \)

⇒ \( BC - BF = BC - \dfrac{1}{4}BC = \dfrac{3}{4}BC \)

⇒ \( FC = \dfrac{3}{4}BC \)

Có \( BF = \dfrac{1}{4}BC \), \( FC = \dfrac{3}{4}BC \)

⇒ \( \dfrac{BF}{FC} = \dfrac{\frac{1}{4}BC}{\frac{3}{4}BC} = \dfrac{1}{3} \)

⇒ \( FC = 3BF \)