MỘT SỐ CÂU HỎI CUỐI TRONG ĐỀ THI GIỮA KÌ I LỚP 8

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hỏi cuối trong đề thi giữa kì I lớp 8 kèm đáp án chi tiết.

Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\( M = 9x^2 + 6y^2 + 18x - 12xy - 12y - 27 \)

Hướng dẫn:

\( M = 9x^2 + 6y^2 + 18x - 12xy - 12y - 27 \)

\( = (9x^2 - 12xy + 4y^2) + (18x - 12y) + 2y^2 - 27 \)

\( = (3x - 2y)^2 + 6(3x - 2y) + 9 + 2y^2 - 36 \)

\( = (3x - 2y + 3)^2 + 2y^2 - 36 \)

Có \( (3x - 2y + 3)^2 \ge 0 \); \( 2y^2 \ge 0 \) với mọi \( x, y \)

\( \Rightarrow (3x - 2y + 3)^2 + 2y^2 - 36 \ge -36 \Rightarrow M \ge -36 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( 3x - 2y + 3 = 0 \) và \( 2y = 0 \)

Khi đó: \( x = -1 \) và \( y = 0 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức M là \( -36 \) khi \( x = -1 \) và \( y = 0 \).

---

Câu 2: Tìm các số thực \( x, y \) thỏa mãn: \( 2x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 4y + 13 = 0 \)

Hướng dẫn:

\( 2x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 4y + 13 = 0 \)

\( (x^2 - 2xy + y^2) + 4(x - y) + 4 + (x^2 - 6x + 9) = 0 \)

\( (x - y + 2)^2 + (x - 3)^2 = 0 \)

Có \( (x - y + 2)^2 \ge 0 \); \( (x - 3)^2 \ge 0 \) với mọi \( x, y \in\mathbb{R}\)

\( \Rightarrow (x - y + 2)^2 + (x - 3)^2 \ge 0 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( x - y + 2 = 0 \) và \( x - 3 = 0 \)

Khi đó: \( x = 3 \); \( y = 5 \)

Vậy \( x = 3 \); \( y = 5 \).

---

Câu 3: Cho các số thực \( x, y \) thỏa mãn: \( 5x^2 + 20y^2 - 4xy - 4x - 8y + 2024 = 2022 \)

Chứng minh rằng: \( A = (4x + 1)^{2023} + (4y + 2)^{2024} : 3 \)

Hướng dẫn:

\( (4x^2 - 4x + 1) + (x^2 - 4xy + 4y^2) + (16y^2 - 8y + 1) = 0 \)

\( (2x - 1)^2 + (x - 2y)^2 + (4y - 1)^2 = 0 \)

Có \( (2x - 1)^2 \ge 0 \); \( (x - 2y)^2 \ge 0 \); \( (4y - 1)^2 \ge 0 \) với mọi \( x, y \)

\( \Rightarrow (2x - 1)^2 + (x - 2y)^2 + (4y - 1)^2 = 0 \) với mọi \( x, y \)

Dấu “=” xảy ra khi \( \begin{cases} 2x - 1 = 0 \\ x - 2y = 0 \\ 4y - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \\ y = \dfrac{1}{4} \end{cases} \)

Khi đó \( A = \left(4 \cdot \dfrac{1}{2} + 1\right)^{2023} + \left(4 \cdot \dfrac{1}{4} + 2\right)^{2024} : 3 = 3^{2023} + 3^{2024} : 3 \)

Vậy \( A = 3 \).

---

Câu 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = 4(x^2 + y^2) \) biết \( x^2 + y^2 = 2xy + 4 \)

Hướng dẫn:

\( x^2 + y^2 = 2xy + 4 \Rightarrow 8xy = 2(x + y)^2 - 8 \)

\( A = 4(x^2 + y^2) = 4(x + y)^2 - 8xy = 4(x + y)^2 - 2(x + y)^2 + 8 = 2(x + y)^2 + 8 \)

Có \( (x + y)^2 \ge 0 \) với mọi \( x, y \) nên \( A = 2(x + y)^2 + 8 \ge 8 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( \begin{cases} x + y = 0 \\ x^2 + y^2 = 2xy + 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -y \\ x^2 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases} \text{ hoặc } \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases} \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \( 8 \) khi \( (x; y) = (1; -1) \) hoặc \( (x; y) = (-1; 1) \).

---

Câu 5: Cho \( a + b = 1 \). Tính giá trị biểu thức M biết

\( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b) \)

Hướng dẫn:

\( a + b = 1 \Rightarrow (a + b)^2 = 1 \Rightarrow a^2 + b^2 = 1 - 2ab \)

\( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2b^2(a + b) \)

\( = (a + b)(a^2 - ab + b^2) + 3ab(1 - 2ab) + 6a^2b^2 \)

\( = 1 - 2ab - ab + 3ab - 6a^2b^2 + 6a^2b^2 = 1 \)

Vậy \( M = 1 \).

---

Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: \( A = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) \)

Hướng dẫn:

\( A = (x + 1)(x - 2)(x - 3)(x - 6) \)

\( = [(x + 1)(x - 6)][(x - 2)(x - 3)] \)

\( = (x^2 - 5x - 6)(x^2 - 5x + 6) \)

\( = (x^2 - 5x)^2 - 36 \)

Có \( (x^2 - 5x)^2 \ge 0 \) với mọi \( x \) ⇒ \( A = (x^2 - 5x)^2 - 36 \ge -36 \).

Dấu “=” xảy ra khi \( x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x - 5) = 0 \Rightarrow \begin{cases} x = 0 \\ x = 5 \end{cases} \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \( -36 \) khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 5 \).

---

Câu 7. Cho \( x, y, a, b \) là các số thực thỏa mãn \( x + y = a + b \) và \( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \).

Chứng minh \( x^3 + y^3 = a^3 + b^3 \).

Hướng dẫn:

\( x + y = a + b \Rightarrow (x + y)^2 = (a + b)^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2xy = a^2 + b^2 + 2ab \)

Mà \( x^2 + y^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow xy = ab \Rightarrow 3xy(x^2 + y^2) = 3ab(a^2 + b^2) \)

\( x + y = a + b \Rightarrow (x + y)^3 = (a + b)^3 \Rightarrow x^3 + y^3 + 3xy(x + y) = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) \)

\( \Rightarrow x^3 + y^3 = a^3 + b^3 \)

Câu 8: Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.

Hướng dẫn:

Ta gọi bốn số tự nhiên liên tiếp lần lượt là \( x - 2; \, x - 1; \, x; \, x + 1 \quad (x \in \mathbb{N}^*, x \ge 2) \)

\( A = (x - 2)(x - 1)x(x + 1) + 1 = [(x - 2)(x + 1)][(x - 1)x] + 1 = (x^2 - x - 2)(x^2 - x) + 1 \)

Đặt \( t = x^2 - x - 1 \Rightarrow A = (t - 1)(t + 1) + 1 = t^2 - 1 + 1 = t^2 \)

\( \Rightarrow A = (x^2 - x - 1)^2 \)

Vậy tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 là một số chính phương.

---

Câu 9: Thu gọn biểu thức sau: \( B = (3 + 1)(3^2 + 1)\cdots(3^{64} + 1) + 1 \)

Hướng dẫn:

\( B = (3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\cdots(3^{64} + 1) + 1 \)

\( = \dfrac{1}{2}(3 - 1)(3 + 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\cdots(3^{64} + 1) + 1 \)

\( = \dfrac{1}{2}(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\cdots(3^{64} + 1) + 1 \)

\( = \dfrac{1}{2}(3^4 - 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)\cdots(3^{64} + 1) + 1 \)

\( = \dfrac{1}{2}(3^8 - 1)(3^8 + 1)\cdots(3^{64} + 1) + 1 \)

\( = \dfrac{1}{2}(3^{128} - 1) + 1 = \dfrac{3^{128} + 1}{2} \)

---

Câu 10: Phân tích đa thức thành nhân tử \( A = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \)

Hướng dẫn:

\( A = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3 - 3abc \)

\( A = [(a + b)^3 + c^3] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)^3 - 3(a + b)c(a + b + c) - 3ab(a + b + c) \)

\( A = (a + b + c)\big[(a + b + c)^2 - 3(a + b)c - 3ab\big] = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) \)

---

Câu 11: Cho \( a > b > 0 \), biết \( 3a^2 + 3b^2 = 10ab \). Không tìm \( a, b \), tính \( P = \dfrac{a - b}{a + b} \).

Hướng dẫn:

Dễ thấy \( P > 0 \)

Có \( P^2 = \left(\dfrac{a - b}{a + b}\right)^2 = \dfrac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 + 2ab + b^2} = \dfrac{3a^2 - 6ab + 3b^2}{3a^2 + 6ab + 3b^2} = \dfrac{10ab - 6ab}{10ab + 6ab} = \dfrac{1}{4} \)

Mà \( P > 0 \) nên \( P = \dfrac{1}{2} \)

Vậy \( P = \dfrac{1}{2} \)

---

Câu 12: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn \( a + b + c = 0 \); \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Tính \( a^4 + b^4 + c^4 \).

Hướng dẫn:

\( a + b + c = 0 \Rightarrow (a + b + c)^2 = 0 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0 \)

\( \Rightarrow ab + bc + ca = -\dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{2} = -\dfrac{1}{2} \)

\( (ab + bc + ca)^2 = \dfrac{1}{4} = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2a^2bc + 2ab^2c + 2abc^2 \)

\( \Rightarrow a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = \dfrac{1}{4} - 2abc(a + b + c) = \dfrac{1}{4} \)

\( (a^2 + b^2 + c^2)^2 = a^4 + b^4 + c^4 + 2(a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2) \)

\( 1 = a^4 + b^4 + c^4 + 2 \cdot \dfrac{1}{4} \Rightarrow a^4 + b^4 + c^4 = \dfrac{1}{4} \)

Vậy \( a^4 + b^4 + c^4 = \dfrac{1}{4} \).

---

Câu 13: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \) và \( a + b + c = 33 \). Tìm a, b, c.

Hướng dẫn:

Có \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0 \) với mọi a, b, c

\( \Rightarrow 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0 \Rightarrow a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca \)

Dấu “=” xảy ra khi \( a = b = c \).

Ta có \( a + b + c = 33 \Rightarrow 3a = 33 \Rightarrow a = 11 \Rightarrow b = 11, c = 11 \)

Vậy \( a = b = c = 11 \).

---

Câu 14: Cho x, y là hai số nguyên dương thỏa mãn: \( 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 3 \)

Hướng dẫn:

Tính giá trị biểu thức \( M = x^{2023} + (y - 3)^{2023} \)

\( 3x^2 - 4xy + 2y^2 = 3 \Rightarrow 2(x - y)^2 + x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 3 - 2(x - y)^2 \)

Có \( x^2 \geq 0; (x - y)^2 \geq 0 \) với mọi x, y

\( \Rightarrow 3 - 2(x - y)^2 \leq 3 \Rightarrow 0 \leq x^2 \leq 3 \Rightarrow x = 1 \)

Thay \( x = 1 \) vào biểu thức, ta có:

\( 3.1^2 - 4.1.y + 2y^2 = 3 \)

\( \Rightarrow 2y^2 - 4y = 0 \Rightarrow \begin{cases} y = 0 & \text{(loại)} \\ y = 2 & \text{(thỏa mãn)} \end{cases} \)

\( M = 1^{2023} + (2 - 3)^{2023} = 1 + (-1)^{2023} = 0 \)

Vậy M = 0

---

Câu 15: Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x – 3 thì dư 7; P(x) chia cho x – 2 thì dư 5; P(x) chia \( (x - 3)(x - 2) \) có thương là 3x và còn dư.

Hướng dẫn:

P(x) chia cho x – 3 thì dư 7 nên \( P(x) = (x - 3)H(x) + 7 \Rightarrow P(3) = 7 \)

P(x) chia cho x – 2 thì dư 5 nên \( P(x) = (x - 2)H(x) + 5 \Rightarrow P(2) = 5 \)

P(x) chia \( (x - 3)(x - 2) \) có thương là 3x và còn dư nên

\( P(x) = (x - 3)(x - 2)3x + ax + b \tag{1} \)

(Với ax + b là đa thức dư, đa thức dư có bậc nhỏ hơn đa thức chia)

Thay lần lượt \( x = 3, x = 2 \) vào (1), ta có:

\( 3a + b = 7 \Rightarrow b = 7 - 3a \)

\( 2a + b = 5 \Rightarrow 2a + 7 - 3a = 5 \Rightarrow a = 2 \Rightarrow b = 1 \)

Vậy đa thức \( P(x) = (x - 3)(x - 2)3x + 2x + 1 = 3x^3 - 15x^2 + 20x + 1 \)