MỘT SỐ CÂU HÌNH HỌC PHẲNG TRONG ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ 1 LỚP 9 NĂM 2024 - 2025 (PHẦN 2)

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số câu hình học phẳng trong đề thi cuối học kì 1 lớp 9 năm học 2024 - 2025 (Phần 2) của các trường kèm đáp án chi tiết.

Bài 11. (Trích đề trường THCS Mỹ Tiến – Nam Định)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là tiếp điểm). Gọi giao điểm của AO và BC là H.

a) Chứng minh \( AO \perp BC \) và \( 4 \cdot OH \cdot AH = BC^2 \).

b) Kẻ đường kính BD của (O). Gọi I là trung điểm AH; BI cắt (O) tại E và cắt DC kéo dài tại K. Chứng minh tứ giác BHKA là hình bình hành và D, H, E thẳng hàng.

Bài 12. (Trích đề phòng GD&ĐT Kim Thành – Hải Dương)

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OM và AB. Kẻ đường kính BC của (O).

a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với MC tại E và cắt đường thẳng BA tại F. Chứng minh \( OI \cdot OM = OA^2 \) và FC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 13. (Trích đề trường THCS Phan Đình Giót – Hà Nội)

Cho đường tròn (O; R) và điểm M thỏa mãn \( OM > R \). Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là các tiếp điểm). Nối OM cắt đoạn thẳng AB tại H.

a) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OM ⟂ AB và \( OH \cdot OM = R^2 \).

c) Vẽ đường kính AC của đường tròn (O). Đường thẳng vuông góc với AC tại O lần lượt cắt các đường thẳng BC và MB theo thứ tự tại K và N. Hai đường thẳng MK và OB cắt nhau tại Q. Chứng minh QN ⟂ MO.

Bài 14. (Trích đề phòng GD&ĐT TP Hải Dương)

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B và C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh AO ⟂ BC.

b) Kẻ đường kính BE, CH vuông góc với BE tại H. Gọi M là giao điểm của AE và CH. Chứng minh \( \dfrac{CH}{AB} = \dfrac{EH}{OB} \) và M là trung điểm của CH.

Bài 15. (Trích đề phòng GD&ĐT Quốc Oai – Hà Nội)

Cho nửa đường tròn (O, R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm C, kẻ tiếp tuyến thứ hai CM tới nửa đường tròn.

a) Chứng minh 4 điểm A, O, M, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt tiếp tuyến tại B của (O) ở D. Chứng minh ba điểm C, M, D thẳng hàng và \( MC \cdot MD = R^2 \).

c) Gọi K là giao điểm của OD và BM. Xác định vị trí của C trên tia Ax để chu vi tam giác OMK lớn nhất.

Bài 16. (Trích đề trường THCS Hiệp Phú – TP HCM)

Cho điểm A nằm ngoài (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B, C là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AO và BC.

a) Chứng minh bốn điểm O, B, A, C cùng thuộc đường tròn, xác định tâm I của đường tròn này.

b) Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh AO // CD.

c) Kẻ AD cắt (O) tại E. Tiếp tuyến tại E của (O) cắt OA tại K và OE cắt BC tại P. Chứng minh KP // AD.

Bài 17. (Trích đề trường TH&THCS Ngôi Sao Hà Nội)

Cho hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). AO cắt BC tại H. Vẽ đường kính BD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh OA vuông góc với BC và ΔDBC \(\backsim\) ΔBAH.

c) Gọi M là trung điểm của AH. BM cắt (O) tại N. Chứng minh D, H, N thẳng hàng.

Bài 18. (Trích đề trường M.V. Lômônôxốp – Hà Nội)

Cho đường tròn (O), đường kính MN. Trên đường tròn (O) lấy điểm I. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M và I cắt nhau ở K.

a) Chứng minh bốn điểm M, K, I, O cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh khi KO là đường trung trực của đoạn thẳng MI. Từ đó suy ra KO // NI.

c) Kẻ IH ⟂ MN (H ∈ MN). Chứng minh KN đi qua trung điểm của đoạn thẳng IH.

Bài 19. (Trích đề trường THCS Chu Văn An – Hà Nội)

Cho đường tròn (O; R). Dây AB bất kì \( (AB < 2R) \). Gọi I là trung điểm của AB. Tia OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại D.

a) Cho OA = 3 cm, \( \widehat{AOD} = 40^\circ \). Giải tam giác vuông OAD. (Độ dài đoạn thẳng làm tròn đến hàng phần mười)

b) Chứng minh DB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c) Vẽ tia Dx nằm trong góc BDO. Tia Dx cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, E (C nằm giữa D và E). Gọi M là trung điểm của CE. Hai đường thẳng OM và AB cắt nhau tại K. Chứng minh bốn điểm D, B, O, M cùng thuộc một đường tròn và KE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 20. (Trích đề trường THCS Trần Quốc Toản – TP HCM)

Cho đường tròn (O; R). Từ điểm S nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến SM, SN với đường tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của SO và MN. Kẻ đường kính NE của đường tròn (O), SE cắt đường tròn (O) tại điểm F (E khác F).

a) Chứng minh SO ⟂ MN tại H.

b) Chứng minh \( SM^2 = SF \cdot SE\) và \( SF \cdot SE = SH \cdot SO \).

c) Gọi K là trung điểm của EF và I là giao điểm của MN với EF. Chứng minh \( SF \cdot SE = SK \cdot SI \). Từ đó suy ra \( \dfrac{1}{SE} + \dfrac{1}{SF} = \dfrac{2}{SI} \).