Trường Toán Online MATHX
Dưới đây, thầy/cô mathx.vn gửi đến các em học sinh một số bài toán hay về tính nhanh phân số kèm theo mẹo và cách giải chi tiết. Các em đọc kĩ, nếu có gì không hiểu hãy nhắn tin cho Fanpage Facebook Mathx để được các thầy cô giải đáp kĩ càng hơn
Giải
Ta có:
\(\dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{10} = \dfrac {10}{9 \times 10} - \dfrac {9}{9 \times 10} \\ = \dfrac {10-9}{9 \times 10} = \dfrac {1}{9 \times 10}\)
Đáp số: \(\dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{10} = \dfrac {1}{9 \times 10}\)
Tương tự ta thử tính một phép tính khác:
\(\dfrac {1}{6} - \dfrac {1}{7} = \dfrac {7}{6 \times 7} - \dfrac {6}{6 \times 7} \\ = \dfrac {7-6}{6 \times 7} = \dfrac {1}{6 \times 7}\)
Từ bài toán trên, ta có công thức nhanh như sau (các em viết lại công thức vào vở và ghi nhớ vì chúng ta sẽ cần dùng đến nó tương đối nhiều trong các bài toán về phân số)
\(\dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n + 1} = \dfrac {1}{n \times (n+1)}\)
Giải
Áp dụng công thức vừa học, ta có:
\(\dfrac {1}{1 \times 2} = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2}\)
\(\dfrac {1}{2 \times 3} = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3}\)
\(\dfrac {1}{3 \times 4} = \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4}\)
....
\(\dfrac {1}{2023 \times 2024} = \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2024}\)
\(\Rightarrow A = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \ ... \ + \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2024} \\ A = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2024} = \dfrac {2024 - 1}{1 \times 2024} \\ A = \dfrac {2023}{2024}\) (các cặp số âm dương tự triệt tiêu nhau)
Đáp số: \(A = \dfrac {2023}{2024}\)
Giải
Tương tự bài 2, ta có:
\(B = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{6} + \dfrac {1}{12} + \dfrac {1}{20} + \ ... \ + \dfrac {1}{9900} \)
\(B = \dfrac {1}{1 \times 2} + \dfrac {1}{2 \times 3} + \dfrac {1}{3 \times 4} + \dfrac {1}{4 \times 5} + \ ... \ + \dfrac {1}{99 \times 100} \)
\(\Rightarrow B = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{5} + \ ... \ + \dfrac {1}{99} - \dfrac {1}{100} \\ B = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{100} = \dfrac {100 - 1}{1 \times 100} \\ B = \dfrac {99}{100}\)
Đáp số: \(B = \dfrac {99}{100}\)
Giải
Nháp:
3 - 1 = 2
5 - 3 = 2
7 - 5 = 2
\(\dfrac {2}{1 \times 3} = \dfrac {3 - 1}{1 \times 3} = \dfrac {3}{1 \times 3} - \dfrac {1}{1 \times 3} = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{3}\)
\(\dfrac {2}{3 \times 5} = \dfrac {5 - 3}{3 \times 5} = \dfrac {5}{3 \times 5} - \dfrac {3}{3 \times 5} = \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{5}\)
...
\(\dfrac {2}{2023 \times 2025} = \dfrac {2025 - 2023}{2023 \times 2025} = \dfrac {2025}{2023 \times 2025} - \dfrac {2023}{2023 \times 2025} = \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2025}\)
\(\Rightarrow C = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{5} + \ ... \ + \dfrac {1}{2023} - \dfrac {1}{2025} \\ C = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2025} = \dfrac {2025 - 1}{1 \times 2025} \\ C = \dfrac {2024}{2025}\)
Đáp số: \(C = \dfrac {2024}{2025}\)
Qua bài toán trên, ta có công thức như sau (Công thức này cũng quan trọng như công thức trên, các em cần ghi ra vở nhớ và học thuộc lòng để giải quyết nhuần nhuyễn các dạng toán tương tự)
\( \dfrac {b - a}{a \times b} = \dfrac {1}{a} - \dfrac {1}{b}\)
Giải
Tương tự các bài trên, ta có:
\(D = \dfrac {4-1}{1 \times 4} + \dfrac {7-4}{4 \times 7} + \dfrac {10-7}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {103-100}{100 \times 103} \)
\(D = ( \dfrac {4}{1 \times 4} - \dfrac {1}{1 \times 4} ) + ( \dfrac {7}{4 \times 7} - \dfrac {4}{4 \times 7} ) + ( \dfrac {10}{7 \times 10} - \dfrac {7}{7 \times 10} ) + \ ... \ + ( \dfrac {103}{100 \times 103} - \dfrac {100}{100 \times 103} ) \)
\(D = ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{4} ) + ( \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{7} ) + ( \dfrac {1}{7} - \dfrac {1}{10} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{100} - \dfrac {1}{103} )\)
\(D = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{7} + \dfrac {1}{7} - \dfrac {1}{10} + \ ... \ + \dfrac {1}{100} - \dfrac {1}{103} \)
\(D = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{103} \)
\(D = \dfrac {102}{103}\)
Đáp số: \(D = \dfrac {102}{103}\)
Giải
Với bài toán này ta thấy có vẻ giống với bài 5 nhưng phần tử số lại bằng 1 chứ không bằng hiệu của mẫu số.
Ta giải bài toán này như sau:
Ta có:
5 - 1 = 9 - 5 = 13 - 9 = ... = 4
=> Ta cần làm xuất hiện số 4 ở tử số để bài toán trở về dạng tính nhanh
=> Ta cần nhân E lên 4 lần
Ta có:
\(E \times 4 = \dfrac {4}{1 \times 5} + \dfrac {4}{5 \times 9} + \dfrac {4}{9 \times 13} + \ ... \ + \dfrac {4}{101 \times 105} \)
\(E \times 4 = \dfrac {5-1}{1 \times 5} + \dfrac {9-5}{5 \times 9} + \dfrac {13-9}{9 \times 13} + \ ... \ + \dfrac {105-101}{101 \times 105} \)
\(E \times 4 = ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{5} ) + ( \dfrac {1}{5} - \dfrac {1}{9} ) + ( \dfrac {1}{9} - \dfrac {1}{13} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{101} - \dfrac {1}{105} )\)
\(E \times 4 = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{105} = \dfrac {104}{105}\)
\(E = \dfrac {104}{105} : 4 = \dfrac {26}{105}\)
Đáp số: \(E = \dfrac {26}{105}\)
Giải
Với bài này ta giải tương tự như bài 6
Ta có:
4 - 1 = 7 - 4 = 10 - 7 = ... = 103 - 100 = 3
=> Ta cần làm xuất hiện số 3 ở tử số để bài toán trở về dạng tính nhanh
=> Ta cần nhân F lên 3 lần
Tương tự bài 6 ta tính được:
\(F \times 3 = \dfrac {3}{1 \times 4} + \dfrac {3}{4 \times 7} + \dfrac {3}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {3}{100 \times 103} \)
\(F \times 3 = \dfrac {4-1}{1 \times 4} + \dfrac {7-4}{4 \times 7} + \dfrac {10-7}{7 \times 10} + \ ... \ + \dfrac {103-100}{100 \times 103} \)
\(F \times 3 = ( \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{4} ) + ( \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{7} ) + ( \dfrac {1}{7} - \dfrac {1}{10} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{100} - \dfrac {1}{103} )\)
\(F \times 3 = \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{103} = \dfrac {102}{103}\)
\(F = \dfrac {102}{103} : 3 = \dfrac {34}{103}\)
Đáp số: \(F = \dfrac {34}{103}\)
Giải
Cách 1 (Quy đồng - cách giải cồng kềnh nhất)
\(G = \dfrac {512}{1024} + \dfrac {256}{1024} + \dfrac {128}{1024} + \dfrac {64}{1024} + \dfrac {32}{1024} + \dfrac {16}{1024} + \dfrac {8}{1024} + \dfrac {4}{1024} + \dfrac {2}{1024} + \dfrac {1}{1024} \)
\(G = \dfrac {512 + 256 + 128 + ... + 4 + 2 + 1}{1024} = \dfrac {1023}{1024} \)
Cách 2: Nhận xét
Ta có:
2 x 2 = 4
4 x 2 = 8
8 x 2 = 16
....
\(\dfrac {1}{4} \times 2 = \dfrac {1}{2}\)
\(\dfrac {1}{8} \times 2 = \dfrac {1}{4}\)
....
Ta sẽ nhân G lên 2 lần
Ta có:
\(G \times 2 = ( \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} ) \times 2\)
\(G \times 2 = 1 + \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \ ... \ + \dfrac {1}{512} \)
Mà \(G = \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} \)
\(\Rightarrow G \times 2 - G = ( 1 + \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \ ... \ + \dfrac {1}{512} ) - ( \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \ ... \ + \dfrac {1}{1024} )\) (phá ngoặc triệt tiêu các phần tử giống nhau)
\(\Rightarrow G = 1 - \dfrac {1}{1024} = \dfrac {1023}{1024}\)
Cách 3:
Ta có:
\(\dfrac {1}{2} = 1 - \dfrac {1}{2}\)
\(\dfrac {1}{4} = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4}\)
\(\dfrac {1}{8} = \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8}\)
....
\(\dfrac {1}{1024} = \dfrac {1}{512} - \dfrac {1}{1024}\)
\(\Rightarrow G = ( 1 - \dfrac {1}{2} ) + ( \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4} ) + ( \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8} ) + \ ... \ + ( \dfrac {1}{512} - \dfrac {1}{1024} ) \)
\(\Rightarrow G = 1 - \dfrac {1}{1024} = \dfrac {1023}{1024}\)
Đáp số: \(G = \dfrac {1023}{1024}\)
Giải
Tương tự bài 8
Xét mẫu số, ta có
3 x 3 = 9
9 x 3 = 27
27 x 3 = 81
...
=> ta sẽ gấp tử số lên 3 lần
Ta có:
\(H \times 3 = ( \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \dfrac {1}{81} + \dfrac {1}{243} + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187} ) \times 3\)
\(H \times 3 = 1 + \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \ ... \ + \dfrac {1}{729} \)
Mà \(H = \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \dfrac {1}{81} + \dfrac {1}{243} + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187}\)
\(\Rightarrow H \times 3 - H = ( 1 + \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \ ... \ + \dfrac {1}{729} ) - ( \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{9} + \dfrac {1}{27} + \ ... \ + \dfrac {1}{729} + \dfrac {1}{2187} )\) (phá ngoặc triệt tiêu các phần tử giống nhau)
\(\Rightarrow H \times 2 = 1 - \dfrac {1}{2187} = \dfrac {2186}{2187}\)
\(\Rightarrow H = \dfrac {2186}{2187} : 2 = \dfrac {1093}{2187} \)
Đáp số: \(H = \dfrac {1093}{2187} \)
Giải
\(I = \dfrac {5}{3} \times \dfrac {6}{4} \times \dfrac {7}{5} \times \ ... \ \times \dfrac {100}{98} \times \dfrac {101}{99}\) (triệt tiêu các phần tử giống nhau ở tử và mẫu)
\(\Rightarrow I = \dfrac {100 \times 101}{3 \times 4} = \dfrac {25 \times 101}{3} = \dfrac {2525}{3}\)
Đáp số: \(I = \dfrac {2525}{3}\)
Giải
Phép tính trên trở thành
\(\dfrac {2}{1} \times \dfrac {3}{2} \times \dfrac {4}{3} \times \ ... \ \times \dfrac {n+1}{n} = 2070\)
\(\Rightarrow n + 1 = 2070 \\ \Rightarrow n = 2069\)
Đáp số: \(n = 2069\)
Giải
Ta có phép tính trên trở thành:
\(\dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \ ... \ + \dfrac {1}{n} - \dfrac {1}{n+1} = \dfrac {2023}{2024}\)
\(\Rightarrow \dfrac {1}{1} - \dfrac {1}{n+1} = \dfrac {2023}{2024}\)
\(\Rightarrow \dfrac {1}{n+1} = \dfrac {1}{1} - \dfrac {2023}{2024} = \dfrac {1}{2024} \)
\(\Rightarrow n + 1 = 2024 \\ \Rightarrow n = 2023 \)
Đáp số: \( n = 2023\)
Trên đây là một số bài toán hay về tính nhanh phân số kèm theo mẹo và cách giải chi tiết mà Hiếu đã tổng hợp lại trong quá trình giảng dạy. Các em học sinh hãy tiếp tục theo dõi Mathx để củng cố thêm vốn kiến thức toán học của bản thân nhé. Chúc các em học tốt!!
Quý phụ huynh và các em học sinh xem thêm một số bài viết về kiến thức toán nâng cao lớp 4 tại đây:
TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 2, 3, 5, 9
TOÁN NÂNG CAO LỚP 4 - MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHIA TỈ LỆ