MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ HẰNG ĐẰNG THỨC ĐÁNG NHỚ LỚP 8

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số bài toán nâng cao về hằng đẳng thức lớp 8 kèm đáp án chi tiết.

Bài 1. Tính giá trị của biểu thức:

\( A = (x + y - 7)^2 - 2(x + y - 7)(y - 6) + (y - 6)^2 \) tại \( x = 10^{10} + 1 \).

Hướng dẫn

Ta có:

\( A = (x + y - 7)^2 - 2(x + y - 7)(y - 6) + (y - 6)^2 \)
\( A = (x + y - 7 - y + 6)^2 = (x - 1)^2 \)

Thay \( x = 10^{10} + 1 \) vào biểu thức A, ta được:

\( A = (10^{10} + 1 - 1)^2 = 10^{20} \)

Vậy giá trị của biểu thức A là \( 10^{20} \) tại \( x = 10^{10} + 1 \).

Bài 2. Cho 3 số a, b, c thỏa mãn đồng thời: \( a + b + c = 6 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 12 \). Tính giá trị của biểu thức:

\( P = (a - 3)^{2025} + (b - 3)^{2025} + (c - 3)^{2025} \).

Hướng dẫn

Ta có: \( a^2 + b^2 + c^2 = 12 \) suy ra \( a^2 + b^2 + c^2 - 12 = 0 \)

\( a^2 + b^2 + c^2 - 24 + 12 = 0 \)
\( a^2 + b^2 + c^2 - 4(a + b + c) + 12 = 0 \)
\( a^2 - 4a + 4 + b^2 - 4b + 4 + c^2 - 4c + 4 = 0 \)
\( (a - 2)^2 + (b - 2)^2 + (c - 2)^2 = 0 \)

Do đó: \( a - 2 = 0 \)
\( b - 2 = 0 \) hay \( a = b = c = 2 \)
\( c - 2 = 0 \)

Thay \( a = b = c = 2 \) vào P, ta được:

\( P = (2 - 3)^{2025} + (2 - 3)^{2025} + (2 - 3)^{2025} \)
\( = (-1)^{2025} + (-1)^{2025} + (-1)^{2025} \)
\( = -3 \)

Vậy \( P = -3 \) khi \( a, b, c \) thỏa mãn đề bài.

Bài 3. Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn \( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 = 3x^2 + 6xy \).

Hướng dẫn

Ta có

\( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 - 3x^2 - 6xy = 0 \)

\( ((x^2 + xy)^2 - 4(x^2 + xy) + 4) + (x^2 - 2xy + y^2) = 0 \)

\( (x^2 + xy - 2)^2 + (x - y)^2 = 0 \)

Suy ra

\( \begin{cases} x^2 + xy - 2 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases} \)

\( x = y \)

\( x^2 + xy = 2 \)

\( x = y \)

\( x^2 = 1 \)

\( x = y = \pm 1 \)

Vậy \((x; y) = (1; 1); (-1; -1)\).

Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = x^3 + y^3 + xy \) khi \( x + y = 1 \).

Hướng dẫn

Ta có:

\( P = x^3 + y^3 + xy \)

\( = (x + y)(x^2 - xy + y^2) + xy \)

\( = 2(x^2 - x) + 1 \)

\( = 2 \left( x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} \)

Chỉ ra \( P \ge \frac{1}{2} \). Đẳng thức xảy ra khi \( x = \frac{1}{2} \).

Kết luận: \( \min P = \frac{1}{2} \) khi \( x = y = \frac{1}{2} \).

Bài 5. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn \( a + b + c = 6 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = ab + 2bc + 3ca \).

Hướng dẫn

Vì \( a + b + c = 6 \) ⇒ \( a = 6 - c - b \)

\( P = ab + 2bc + 3ca \)

\( = (6 - b - c)b + 2bc + 3c(6 - b - c) \)

\( = 6b - b^2 - bc + 2bc + 18c - 3bc - 3c^2 \)

\( = 6b - b^2 - 2bc + 18c - 3c^2 \)

\( = 27 - (b + c - 3)^2 - 2(c - 3)^2 \)

\( P \le 27 \) ⇒ MaxP = 27 khi \( \begin{cases} a = 3 \\ b = 0 \\ c = 3 \end{cases} \)

Bài 6. Cho x, y là các số thực thỏa mãn \( x + y = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\( B = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy \)

Hướng dẫn

Ta có

\( B = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy \)

\( = x^2y^2 + 4x^3 + 4y^3 + 16xy + 8xy \)

\( = x^2y^2 + 4(x^3 + y^3) + 24xy \)

Lại có \( x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y) = 1^3 - 3xy \cdot 1 = 1 - 3xy \) (vì \( x + y = 1 \))

Do đó

\( B = x^2y^2 + 4(1 - 3xy) + 24xy \)

\( = x^2y^2 + 12xy + 4 \)

\( = (xy + 6)^2 - 32 \)

Có \( (xy + 6)^2 \ge 0 \) với mọi x, y ⇒ \( (xy + 6)^2 - 32 \ge -32 \) với mọi x, y

Dấu “=” xảy ra khi \( xy = -6 \). Vì \( x + y = 1 \) ⇒ \( x = 3, y = -2 \) hoặc \( x = -2, y = 3 \)

Vậy GTNN của B là \( -32 \) tại \( x = 3, y = -2 \) hoặc ngược lại.