TỔNG HỢP CÁC CÂU CUỐI ĐỀ GIỮA HỌC KÌ 1 TOÁN 7 (PHẦN 1)

MATHX gửi các phụ huynh và các em học sinh các câu cuối đề giữa học kì 1 toán 7 (Phần 1)

Bài 1. (Mỹ Tiến - Nam Định)

a) Chứng minh rằng: \( B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \ldots + \dfrac{1}{3^{2020}} + \dfrac{1}{3^{2021}} < \dfrac{1}{2} \)
b) Rút gọn biểu thức: \( A = \dfrac{2^{12} \cdot 3^5 - 4^6 \cdot 81}{(2^2 \cdot 3)^6 + 8^4 \cdot 3^5} \).

Hướng dẫn:

a) Chứng minh rằng: \( B = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \ldots + \dfrac{1}{3^{2020}} + \dfrac{1}{3^{2021}} < \dfrac{1}{2} \)

Ta có: \( 3B = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \ldots + \dfrac{1}{3^{2019}} + \dfrac{1}{3^{2020}} \)

\( 3B - B = 1 - \dfrac{1}{3^{2021}} \)

\( 2B = 1 - \dfrac{1}{3^{2021}} < 1 \)

Do đó \( B < \dfrac{1}{2} \)

b) Rút gọn biểu thức: \( A = \dfrac{2^{12} \cdot 3^5 - 4^6 \cdot 81}{(2^2 \cdot 3)^6 + 8^4 \cdot 3^5} \)

Ta có: \( A = \dfrac{2^{12} \cdot 3^5 - 2^{12} \cdot 3^4}{2^{12} \cdot 3^6 + 2^{12} \cdot 3^5} = \dfrac{2^{12} \cdot 3^4 (3 - 1)}{2^{12} \cdot 3^5 (3 + 1)} \)

\( A = \dfrac{2^{12} \cdot 3^4 \cdot 2}{2^{12} \cdot 3^5 \cdot 4} = \dfrac{1}{6} \)

Bài 2. (Tân Bình - Hải Dương)

Chứng tỏ rằng: \( S = \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{2}{5^3} + \dfrac{3}{5^4}+\ldots + \dfrac{99}{5^{100}} < \dfrac{1}{16} \)

Hướng dẫn:

\( S = \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{2}{5^3} + \dfrac{3}{5^4} + \ldots + \dfrac{99}{5^{100}} \)
\( 5S = \dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5^2} + \dfrac{3}{5^3} + \ldots + \dfrac{99}{5^{99}} \)
\( \Rightarrow 5S - S = \dfrac{1}{5} + \left( \dfrac{2}{5^2} - \dfrac{1}{5^2} \right) + \left( \dfrac{3}{5^3} - \dfrac{2}{5^3} \right) + \ldots + \left( \dfrac{99}{5^{99}} - \dfrac{98}{5^{99}} \right) - \dfrac{99}{5^{100}} \)
\( 4S = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \ldots + \dfrac{1}{5^{99}} - \dfrac{99}{5^{100}} \)
Đặt \( A = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \ldots + \dfrac{1}{5^{99}} \)
\( A = \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{5^2} + \dfrac{1}{5^3} + \ldots + \dfrac{1}{5^{100}} \)
\( A - \dfrac{A}{5} = \dfrac{1}{5} + \left( \dfrac{1}{5^2} - \dfrac{1}{5^2} \right) + \left( \dfrac{1}{5^3} - \dfrac{1}{5^3} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{5^{99}} - \dfrac{1}{5^{99}} \right) + \dfrac{1}{5^{100}} - \dfrac{1}{5^{100}} \)
\( \dfrac{4}{5} A = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{5^{100}} \Rightarrow A = \dfrac{1}{4} \left( 1 - \dfrac{1}{5^{99}} \right) \)
\( 4S = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4 \cdot 5^{99}} - \dfrac{99}{5^{100}} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4 \cdot 5^{99}} - \dfrac{99}{5^{100}} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{401}{20 \cdot 5^{99}} \)
\( S = \dfrac{1}{16} - \dfrac{401}{80 \cdot 5^{99}} < \dfrac{1}{16} \)
Vậy \( S < \dfrac{1}{16} \)

Bài 3. (Ngô Gia Tự - Hà Nội)

Cho biểu thức \( A = 1 + \dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{17^2} + \dfrac{1}{17^3} + \ldots + \dfrac{1}{17^{20}} \).

Chứng tỏ rằng \(A = \dfrac{17^{21} - 1}{16 \cdot 13^{20}} \)

Hướng dẫn:

\( A = 1 + \dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{17^2} + \dfrac{1}{17^3} + \ldots + \dfrac{1}{17^{20}} \)
\( \dfrac{1}{17} \cdot A = \dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{17^2} + \dfrac{1}{17^3} + \ldots + \dfrac{1}{17^{21}} \)
\( A - \dfrac{1}{17}A = \left( 1 + \dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{17^2} + \dfrac{1}{17^3} + \ldots + \dfrac{1}{17^{20}} \right) - \left( \dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{17^2} + \dfrac{1}{17^3} + \ldots + \dfrac{1}{17^{21}} \right) \)
\( \dfrac{16}{17}A = 1 - \dfrac{1}{17^{21}} = \dfrac{17^{21} - 1}{17^{21}} \)
\( A = \dfrac{17^{21} - 1}{17^{21}} : \dfrac{16}{17} = \dfrac{17^{21} - 1}{16 \cdot 17^{20}} \)
\( \Rightarrow A = \dfrac{17^{21} - 1}{16 \cdot 13^{20}} \)

Bài 4. (Ngô Quyền - Hải Phòng)

So sánh A và B biết: \( A = \dfrac{2022^{2022} + 1}{2022^{2023} + 1} \)và \( B = \dfrac{2022^{2021} + 1}{2022^{2022} + 1} \)

Hướng dẫn:

\( A = \dfrac{2022^{2022} + 1}{2022^{2023} + 1} \)
\( 2022A = \dfrac{2022^{2023} + 2022}{2022^{2023} + 1} \)
\( 2022A = \dfrac{2022^{2023} + 1 + 2021}{2022^{2023} + 1} \)
\( 2022A = 1 + \dfrac{2021}{2022^{2023} + 1} \quad (1) \)

\( B = \dfrac{2022^{2021} + 1}{2022^{2022} + 1} \)
\( 2022B = \dfrac{2022^{2022} + 2022}{2022^{2022} + 1} \)
\( 2022B = \dfrac{2022^{2022} + 1 + 2021}{2022^{2022} + 1} \)
\( 2022B = 1 + \dfrac{2021}{2022^{2022} + 1} \quad (2) \)

Từ \( (1) \) và \( (2) \) ta có \( A < B \).

Bài 5. (Mỹ Hào - Hưng Yên)

Tìm số nguyên x thỏa mãn:\( \dfrac{2024}{x(x+2)} + \dfrac{2024}{(x+2)(x+4)} + \dfrac{2024}{(x+4)(x+6)} - \dfrac{1012}{x} = \dfrac{1}{2} \)

Hướng dẫn:

Ta có: \(\dfrac{b-a}{a\cdot b}=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\)

Áp dụng vào bài ta có:

\( \dfrac{2024}{x(x+2)} + \dfrac{2024}{(x+2)(x+4)} + \dfrac{2024}{(x+4)(x+6)} - \dfrac{1012}{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( 1012 \left( \dfrac{2}{x(x+2)} + \dfrac{2}{(x+2)(x+4)} + \dfrac{2}{(x+4)(x+6)} \right) - \dfrac{1012}{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( 1012 \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+2} + \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{1}{x+4} + \dfrac{1}{x+4} - \dfrac{1}{x+6} \right) - \dfrac{1012}{x} = \dfrac{1}{2} \)
\( -\dfrac{1012}{x+6} = \dfrac{1}{2} \)
\( x + 6 = -2024 \)
\( x = -2030 \)

Bài 6. (Cái Rồng - Quảng Ninh)

Cho \( A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^6} + \ldots + \dfrac{1}{2^{100}} \). Chứng minh rằng \( A < \dfrac{1}{3} \)

Hướng dẫn:

\( A = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \dfrac{1}{2^6} + \ldots + \dfrac{1}{2^{100}} \)

\( 4A = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \ldots + \dfrac{1}{2^{98}} \)

\( 4A - A = \left( 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \ldots + \dfrac{1}{2^{98}} \right) - \left( \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^4} + \ldots + \dfrac{1}{2^{100}} \right) \)

\( 3A = \left( 1 - \dfrac{1}{2^{100}} \right) + \left( \dfrac{1}{2^2} - \dfrac{1}{2^2} \right) + \left( \dfrac{1}{2^4} - \dfrac{1}{2^4} \right) + \ldots + \left( \dfrac{1}{2^{98}} - \dfrac{1}{2^{98}} \right) \)

\( 3A = 1 - \dfrac{1}{2^{100}} \)

Vì \( 1 - \dfrac{1}{2^{100}} < 1 \) nên \( 3A < 1 \) suy ra \( A < \dfrac{1}{3} \).

Bài 7. (Vụ Bản - Nam Định)

a) Tìm x và y sao cho \( (x - 7)^2 + (1 - 2y)^2 = 0 \)

b) Cho \( A = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{7^3} + \ldots + \dfrac{1}{7^{2023}} + \dfrac{1}{7^{2024}} \). Tìm x để \( 6A = 1 - \dfrac{1}{7^{x}} \)

Hướng dẫn: 

Ta có \( (x - 7)^2 \ge 0 \) với mọi \( x \).
Dấu “=” xảy ra khi \( x - 7 = 0 \Rightarrow x = 7 \).

Ta có \( (1 - 2y)^2 \ge 0 \) với mọi \( y \).
Dấu “=” xảy ra khi \( 1 - 2y = 0 \Rightarrow y = \dfrac{1}{2} \).

\( \Rightarrow (x - 7)^2 + (1 - 2y)^2 \ge 0 \) với mọi \( x, y \).
Vậy \( (x - 7)^2 + (1 - 2y)^2 = 0 \) khi \( (x - 7)^2 = 0 \) và \( (1 - 2y)^2 = 0 \).

Khi đó \( x = 7 \) và \( y = \dfrac{1}{2} \).

Ta có \( A = \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{7^3} + \ldots + \dfrac{1}{7^{2023}} + \dfrac{1}{7^{2024}} \).

\( 7A = 7 \left( \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7^2} + \dfrac{1}{7^3} + \ldots + \dfrac{1}{7^{2023}} + \dfrac{1}{7^{2024}} \right) \)
\( 7A - A = 1 - \dfrac{1}{7^{2024}} \)
\( 6A = 1 - \dfrac{1}{7^{2024}} \)
Tìm được \( x = 2024 \).

Bài 8. (Nguyễn Công Trứ - Hà Nội)

Cho \( \dfrac{4^x}{2^{x+y}} = 8 \) và \(\dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}} = 243\) với x;y là các số tự nhiên. Tính x.y?

Hướng dẫn:

\( \dfrac{4^x}{2^{x+y}} = 8 \Rightarrow \dfrac{2^{2x}}{2^{x+y}} = 2^3 \Rightarrow 2x - (x + y) = 3 \Rightarrow x - y = 3 \)

\(\dfrac{9^{x+y}}{3^{5y}} = 243\) ⇒ \(\dfrac{3^{2(x+y)}}{3^{5y}} = 3^5\) ⇒ \(2(x+y) - 5y = 5\) ⇒ \(2(x - y) - y = 5\) ⇒ \(2 \cdot 3 - y = 5\) ⇒ \(y = 1\) ⇒ \(x = 4\) ⇒ \(x \cdot y = 4\)