CÁC Ý CUỐI TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ II CỦA CÁC TRƯỜNG (TIẾP THEO)

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh các ý cuối trong đề thi cuối kỳ II của các trường.

Câu 1. Đề học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Tiền Hải – Thái Bình

Cho các số \( x, y, z \) thỏa mãn \( \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right)^2 = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2} \)

Chứng minh \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \)

Hướng dẫn.

\( \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}\right)^2 = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2} + 2\left(\dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx}\right) \)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx} = 0 \Rightarrow \dfrac{x+y+z}{xyz} = 0 \Rightarrow x+y+z=0 \)

\( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y)^3 - 3xy(x+y) + z^3 - 3xyz \)

\( = (x+y+z)^3 - 3(x+y)z(x+y+z) - 3xy(x+y+z) \)

\( = (x+y+z)\left[(x+y+z)^2 - 3xz - 3yz - 3xy \right] \)

\( = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) =0\)

Vậy \( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \)

---

Câu 2. Đề học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 trường THCS Tam Dương – Vĩnh Phúc.

Cho hai số thực phân biệt \( a, b \neq 0 \) thỏa mãn \( \dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3} + \dfrac{3}{ab} = 1 \). Tính giá trị của biểu thức \( T = (a-1)^{2024}(b-1)^{2024} \)

Hướng dẫn.

\( x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \)

Áp dụng với \( x=\dfrac{1}{a},\ y=\dfrac{1}{b},\ z=-1 \)

\( \dfrac{1}{a^3} + \dfrac{1}{b^3} -1 + \dfrac{3}{ab} = \left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} -1\right)\left(\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} +1 - \dfrac{1}{ab} - \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}\right) = 0 \)

TH1: \( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} -1 =0 \Rightarrow ab - a - b +1 =1 \)

\( \Rightarrow (a-1)(b-1)=1 \Rightarrow T = 1^{2024} = 1 \)

TH2: \( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} +1 - \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 0 \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} +1 - \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{1}{a}+1\right)^2 + \left(\dfrac{1}{b}+1\right)^2 + \left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)^2\right] > 0 \)

(mâu thuẫn)

Vậy \( T = 1 \)

---

Câu 3. Đề học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 trường THCS Chương Dương – Hà Nội

Cho \( \dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{x+y} = 1 \) với \( x,y,z \) thỏa mãn điều kiện phân thức có nghĩa.

Tính \( S = \dfrac{x^2}{y+z} + \dfrac{y^2}{z+x} + \dfrac{z^2}{x+y} \)

Hướng dẫn.

\( S + (x+y+z) = \left(\dfrac{x^2}{y+z} + x\right) + \left(\dfrac{y^2}{z+x} + y\right) + \left(\dfrac{z^2}{x+y} + z\right) \)

\( = \dfrac{x^2 + xy + xz}{y+z} + \dfrac{y^2 + yz + yx}{z+x} + \dfrac{z^2 + zx + zy}{x+y} \)

\( = \dfrac{x(x + y + z)}{y+z} + \dfrac{y(y + z + x)}{z+x} + \dfrac{z(z + x + y)}{x+y} \)

\(=(x+y+z) \left( \dfrac{x}{y+z} + \dfrac{y}{z+x} + \dfrac{z}{x+y} \right)= x+y+z \)

\(\Rightarrow S=(x+y+z)-(x+y+z)=0\)

Vậy \( S=0\)

Mà \( x+y+z=0 \Rightarrow x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \)

---

Câu 4. Đề học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Hưng Hà – Thái Bình

Giải phương trình:

\( (2023-x)^3 + (2025-x)^3 + (2x-4048)^3 = 0 \)

Hướng dẫn.

Đặt \( a=2023-x; \ b=2025-x \Rightarrow -a-b=2x-4048 \)

Khi đó, phương trình có dạng:

\( a^3 + b^3 - (a+b)^3 = 0 \)

\( (a+b)^3 - 3ab(a+b) - (a+b)^3 = 0 \)

\( ab(a+b)=0 \)

TH 1: \( a=0 \Rightarrow 2023-x=0 \Rightarrow x=2023 \)

TH 2: \( b=0 \Rightarrow 2025-x=0 \Rightarrow x=2025 \)

TH 3: \( a+b=0 \Rightarrow 4048-2x=0 \Rightarrow x=2024 \)

Vậy phương trình có nghiệm là \( x \in \{2023;2024;2025\} \)

---

Câu 5. Đề học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Châu Đức – BR VT

Giải phương trình sau:

\( \dfrac{x-1014}{1010} + \dfrac{x-2}{1011} + \dfrac{x+1012}{1012} = 6 \)

Hướng dẫn.

\( \dfrac{x-1014}{1010} + \dfrac{x-2}{1011} + \dfrac{x+1012}{1012} = 6 \)

\( \left(\dfrac{x-1014}{1010}-1\right) + \left(\dfrac{x-2}{1011}-2\right) + \left(\dfrac{x+1012}{1012}-3\right)=0 \)

\( \dfrac{x-2024}{1010} + \dfrac{x-2024}{1011} + \dfrac{x-2024}{1012} = 0 \)

\( (x - 2024)\left(\dfrac{1}{1010} + \dfrac{1}{1011} + \dfrac{1}{1012}\right) = 0 \)

\( x - 2024 = 0 \)

\( x = 2024 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x = 2024 \)

---

Câu 6. Giải phương trình

\( \dfrac{x + 24}{1996} + \dfrac{x + 25}{1995} + \dfrac{x + 26}{1994} + \dfrac{x + 27}{1993} + \dfrac{x + 2036}{4} = 0 \)

Hướng dẫn.

\( \left(\dfrac{x + 24}{1996} + 1\right) + \left(\dfrac{x + 25}{1995} + 1\right) + \left(\dfrac{x + 26}{1994} + 1\right) + \left(\dfrac{x + 27}{1993} + 1\right) + \left(\dfrac{x + 2036}{4} - 4\right) = 0 \)

\( \dfrac{x + 2020}{1996} + \dfrac{x + 2020}{1995} + \dfrac{x + 2020}{1994} + \dfrac{x + 2020}{1993} + \dfrac{x + 2020}{4} = 0 \)

\( (x + 2020)\left(\dfrac{1}{1996} + \dfrac{1}{1995} + \dfrac{1}{1994} + \dfrac{1}{1993} + \dfrac{1}{4}\right) = 0 \)

\( x + 2020 = 0 \)

\( x = -2020 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x = -2020 \)

---

Câu 7. Giải phương trình \( (x - 7)(x - 5)(x - 4)(x - 2) = 72 \)

Hướng dẫn.

\( (x - 7)(x - 5)(x - 4)(x - 2) = 72 \)

\( [(x - 7)(x - 2)][(x - 5)(x - 4)] = 72 \)

\( (x^2 - 9x + 14)(x^2 - 9x + 20) = 72 \)

Đặt \( t = x^2 - 9x + 17 \). Khi đó, phương trình có dạng:

\( (t - 3)(t + 3) = 72 \)

\( t^2 - 9 = 72 \)

\( t^2 = 81 \)

\( t \in \{-9; 9\} \)

TH 1: \( t = -9 \Rightarrow x^2 - 9x + 17 = -9 \)

\( x^2 - 9x + 26 = 0 \)

\( \left(x - \dfrac{9}{2}\right)^2 + \dfrac{23}{4} = 0 \) (vô lý)

TH 2: \( t = 9 \Rightarrow x^2 - 9x + 17 = 9 \)

\( x^2 - 9x + 8 = 0 \)

\( (x - 1)(x - 8) = 0 \)

\( x \in \{1; 8\} \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x \in \{1; 8\} \)

---

Câu 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = (x - 2)^4 + (x - 4)^4 \)

Hướng dẫn.

Đặt \( t = x - 3 \), khi đó:

\( M = (t + 1)^4 + (t - 1)^4 \)

= \( \left[(t+1)^2 + (t-1)^2 \right]^2 - 2(t-1)^2(t+1)^2 \)

= \( (2t^2 + 2)^2 - 2(t^2 - 1)^2 \)

= \( 4t^4 + 8t^2 + 4 - 2t^4 + 4t^2 - 2 \)

= \( 2t^4 + 12t^2 + 2 \ge 2 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( t = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \( 2 \) xảy ra khi \( x = 3 \)

---

Câu 9. Đề học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Thái Hòa – Nghệ An

Cho \( x, y > 0 \) và \( x + y \ge 3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A = 3x + 2y + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{y} \)

Hướng dẫn.

Có \( A = 3x + 2y + \dfrac{2}{x} + \dfrac{4}{y} = (x + y) + \left(2x + \dfrac{2}{x}\right) + \left(y + \dfrac{4}{y}\right) \)

= \( (x+y-3) + \left(2x + \dfrac{2}{x} - 4 \right) + \left(y + \dfrac{4}{y} - 4 \right) + 11 \)

= \( (x+y-3) + \dfrac{2(x-1)^2}{x} + \dfrac{(y-2)^2}{y} + 11 \ge (3-3) + 0 + 0 + 11 \ge 11 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( x = 1; \, y = 2 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \( 11 \) xảy ra khi \( x = 1; \, y = 2 \)

---

Câu 10. Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Bắc Giang

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \dfrac{1}{x^2 - 2x + 1} + \dfrac{3x - 5}{x - 1} \) với \( x \ne 1 \)

Hướng dẫn.

Có \( A = \dfrac{1}{x^2 - 2x + 1} + \dfrac{3x - 5}{x - 1} = \dfrac{3x^2 - 8x + 6}{(x - 1)^2} \)

= \( \dfrac{2(x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 4x + 4)}{(x - 1)^2} \)

= \( \dfrac{2(x-1)^2 + (x-2)^2}{(x-1)^2} = 2 + \dfrac{(x-2)^2}{(x-1)^2} \ge 2 \, \text{ với mọi } x \ne 1 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( x = 2 \)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là \( 2 \) xảy ra khi \( x = 2 \)