Bài 1. (Trích đề trường THCS Ngọc Thụy – Hà Nội)

Cửa hàng nhà bác Dũng chuyên kinh doanh máy tính tại Hà Nội. Một loại máy tính có giá nhập vào một chiếc là 18 triệu đồng và bán ra với giá 22 triệu đồng. Với giá bán như trên thì một năm số lượng máy tính bán được dự kiến là 500 chiếc. Để tăng thêm lượng tiêu thụ dòng máy tính này, bác Dũng dự định giảm giá bán và ước lượng cứ giảm 200 nghìn đồng một chiếc thì số lượng máy tính bán ra trong một năm sẽ tăng 50 chiếc. Vậy bác Dũng phải bán với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá lợi nhuận thu được sẽ cao nhất?

Bài 2. (Trích đề trường THCS Chúc Sơn – Hà Nội)

Một rạp chiếu phim có 160 ghế, giá vé hiện tại là 120 nghìn đồng mỗi vé. Với giá vé này, tất cả các ghế đều được bán hết cho mỗi suất chiếu. Ban quản lý rạp phim đang xem xét việc tăng giá vé để tối ưu hóa doanh thu. Sau khi thử nghiệm, rạp phim nhận thấy cứ mỗi lần tăng giá thêm 6 nghìn đồng, số ghế bị bỏ trống sẽ tăng thêm 5 ghế. Hỏi mức giá vé mới là bao nhiêu để rạp phim đạt doanh thu lớn nhất?

Bài 3. (Trích đề THCS Tam Hiệp – Hà Nội)

Một sân bay có dịch vụ gửi hành lí với 150 tủ chứa đồ cho thuê với giá mỗi tủ là 200 nghìn đồng một ngày. Với giá hiện tại, tất cả các ngăn đều được thuê kín chỗ. Do chi phí vận hành tăng nên giá cho thuê đang được xem xét điều chỉnh. Theo quy định, mức tăng giá là bội số của 10 nghìn đồng và sẽ được thí điểm lần lượt các mức trong một thời gian nhất định. Sau một thời gian thí điểm, nhà quản lý nhận thấy với mỗi 10 nghìn đồng tăng thêm, có 5 tủ bị bỏ trống không có người thuê trong ngày tương ứng. Hỏi mức giá chính thức mới cần được tăng lên bao nhiêu để doanh thu một ngày là lớn nhất?

Bài 4. (Trích đề THCS Ái Mộ - Hà Nội)

Một mảnh đất hình vuông ABCD cạnh \(30\,\text{m}\). Người ta xây dựng một vườn hoa dạng hình vuông EFGH có các đỉnh E, F, G, H thuộc các cạnh của hình vuông ABCD (hình vẽ). Xác định vị trí điểm E trên cạnh AB để diện tích vườn hoa nhỏ nhất.

Bài 5. (Trích đề THCS Ngô Gia Tự - Hà Nội)

Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi \(60\,\text{m}\) để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng của khu đất là \(x\,(\text{m})\), tìm \(x\) để diện tích vườn hoa xây được lớn nhất.

Bài 6. (Trích đề trường THCS Dịch Vọng Hậu – Hà Nội)

Trong thiết kế “Tam giác bếp” là ba khu vực đảm nhiệm vụ chính gồm có tủ lạnh, chậu rửa và bếp. Việc sắp xếp chúng một cách hợp lý sẽ giúp cho công việc trong nhà bếp thực hiện một cách hiệu quả.

Một căn bếp PMNQ có dạng hình chữ U như hình vẽ. Chậu rửa A được đặt cố định trên MN sao cho \(MA=4\,\text{m}\); \(AN=1\,\text{m}\). Tìm vị trí đặt bếp nấu C trên NQ và tủ lạnh B trên MP để tam giác ABC vuông tại A và có diện tích nhỏ nhất.

Bài 7. (Trích đề THCS Trưng Vương – Hà Nội)

Một hộ nông dân dự định trồng hai loại hoa màu là đậu và cà trên diện tích \(800\,\text{m}^2\). Biết rằng cứ \(100\,\text{m}^2\) trồng đậu cần 10 công và lãi 7 triệu đồng, còn \(100\,\text{m}^2\) trồng cà cần 15 công và lãi 9 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được tiền lãi cao nhất, biết rằng tổng số công không vượt quá 90 (một công được hiểu là tiền lương trung bình chi trả cho một người lao động làm việc trong một ngày).

Bài 8. (Trích đề THCS Văn Yên – Hà Nội)

Một trường THCS dự định tổ chức cho 645 người gồm giáo viên và học sinh hai khối 8 và 9 tham gia hoạt động trải nghiệm. Nhà trường đã liên hệ với công ty du lịch để thuê 2 loại xe. Loại 35 chỗ ngồi và loại xe 50 chỗ ngồi (không kể lái xe). Biết rằng giá thuê xe loại 35 chỗ ngồi là 3 500 000 đồng/xe; loại xe 50 chỗ ngồi là 5 200 000 đồng/xe. Hỏi nhà trường cần thuê mỗi loại bao nhiêu xe để vừa đủ số chỗ ngồi cho 645 người và chi phí thuê xe là ít nhất?

Bài 9. (Trích đề THCS Nguyễn Du – Hà Nội)

Một công ty bất động sản có 40 căn hộ cho thuê. Ban đầu, công ty cho thuê mỗi căn với giá 5 triệu đồng/1 tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê. Vì muốn tăng doanh thu nên công ty đã tăng giá. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn thêm 500 nghìn đồng/1 tháng thì có 2 căn bị bỏ trống (không có người thuê). Hỏi công ty muốn có doanh thu cao nhất thì phải cho thuê mỗi căn bao nhiêu tiền/1 tháng?

Bài 10. (Trích đề THCS Đền Lừ - Hà Nội)

Người ta cần xây một hồ chứa nước dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(288\,\text{m}^3\). Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 100 000 đồng/\(\text{m}^2\). Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là bao nhiêu?