Bài toán xoá số trên bảng trong đề kiểm tra Toán 6 Trường Hà Nội – Amsterdam 2018 – 2019

Bài toán dưới đây trích từ đề kiểm tra chất lượng học kỳ I môn Toán 6 của Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, năm học 2018 – 2019. Đây là một bài toán "trò chơi trên bảng" rất vui, giúp các em làm quen với tư duy tìm đại lượng không đổi (bất biến).

Đề bài

Phân tích – tìm tòi hướng giải

• Mỗi lần An làm, trên bảng bớt đi đúng một số (xoá 2 số, viết thêm 1 số). Từ \(100\) số, sau \(99\) lần sẽ còn lại một số. Nhưng An được chọn bất kỳ hai số, nên không thể tính trực tiếp từng bước. Đề bài hỏi "số đó là số nào" nghĩa là kết quả luôn như nhau dù An chọn thế nào.
• Khi kết quả không phụ thuộc cách làm, ta nên tìm một điều gì đó không thay đổi sau mỗi lần thực hiện.
• Thử với vài số nhỏ: bảng có \(1, 2, 3\). Nếu xoá \(3, 2\) ta được \(2^3 = 8\), bảng còn \(1, 8\); xoá tiếp \(8, 1\) ta được \(1^8 = 1\). Nếu xoá \(2, 1\) ta được \(1^2 = 1\), bảng còn \(1, 3\); xoá tiếp \(3, 1\) lại được \(1^3 = 1\). Cả hai cách đều ra \(1\)!
• Vì sao vậy? Số \(1\) có tính chất đặc biệt: \(1\) mũ bao nhiêu cũng bằng \(1\). Hơn nữa \(1\) là số nhỏ nhất trên bảng, nên khi bị xoá cùng một số khác, \(1\) luôn đóng vai trò \(b\) (số nhỏ hơn). Do đó ta dự đoán: số \(1\) luôn có mặt trên bảng.

Lời giải

Nhận xét: Số \(1\) luôn có mặt trên bảng.

Thật vậy, ban đầu trên bảng có số \(1\). Xét một lần An xoá hai số \(a, b\) \((a > b)\):

• Nếu An không xoá số \(1\) thì số \(1\) vẫn còn trên bảng.
• Nếu An xoá số \(1\) cùng một số \(a\) nào đó thì \(a > 1\), nên \(b = 1\). Khi đó An viết lên bảng số
  \[b^a = 1^a = 1\]
  nên số \(1\) lại xuất hiện trên bảng.

Vậy sau mỗi lần thực hiện, trên bảng luôn có số \(1\). Do đó khi trên bảng chỉ còn lại một số thì số đó là số 1.

Nhận xét – mở rộng

• Ý tưởng then chốt của bài là tìm một tính chất được giữ nguyên qua mỗi bước (ở đây: "trên bảng có số \(1\)"). Đây là phương pháp bất biến, rất hay gặp trong các bài toán trò chơi, xoá số, đổi số.
• Khi gặp bài toán hỏi "kết quả cuối cùng là gì" mà cách thực hiện lại tuỳ ý, các em hãy thử với vài số nhỏ để dự đoán, rồi tìm tính chất không đổi để chứng minh.

(Bài này rất vui tính ☺)

Thầy Hiếu – MATHX.vn