MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

Dạng 1. Sử dụng các tính chất của phép chia số nguyên

i) Trong \(n\) số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho \(n\).

ii) Mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng \(4n \pm 1\).

iii) Mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng \(6n \pm 1\).

Bài 1.

Cho \(p\) là số nguyên tố và một trong các số \(8p+1\) và \(8p-1\) cũng là số nguyên tố. Hỏi số thứ ba là số nguyên tố hay hợp số?

Bài 2.

Hai số \(2^n-1\) và \(2^n+1\) (\(n\in\mathbb{N},\,n>2\)) có thể đồng thời là số nguyên tố được không? Tại sao?

Bài 3.

Chứng minh rằng nếu \(p\) và \(p+2\) là hai số nguyên tố lớn hơn 3 thì tổng của chúng chia hết cho 12.

Bài 4.

Tìm các số tự nhiên \(k\) để dãy số \(k+1,k+2,k+3,\ldots,k+10\) chứa nhiều số nguyên tố nhất.

Bài 5.

Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) để \(2^p + p^2\) là số nguyên tố.

Dạng 2. Áp dụng định lí Fermat

Định lí Fermat. Nếu \(a\) là một số nguyên dương và \(p\) là một số nguyên tố thì \(a^p \equiv a \pmod p\).

Có thể phát biểu như sau: Cho \(p\) là số nguyên tố và \(a\) là số nguyên sao cho \((a,p)=1\) thì \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\).

Bài 6.

Tìm số nguyên tố \(p\) sao cho \(2^p +1\) chia hết cho \(p\).

Bài 7.

Tìm bảy số nguyên tố sao cho tích của các số đó bằng tổng các lũy thừa bậc sáu của bảy số đó.

Dạng 3. Phương pháp phân tích

Chú ý. Nếu \(a > b > 0\) và \(ab\) là số nguyên tố thì \(b=1\) và \(a\) là số nguyên tố.

Bài 8.

Tìm \(n \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(n^4 + 4\) là số nguyên tố.

Bài 9.

Tìm các số nguyên tố \(p\) để \(13p + 1\) là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 10.

Tìm tất cả các số có hai chữ số \(ab\) sao cho \(\dfrac{ab}{|a-b|}\) là số nguyên tố.

Bài 11.

Cho các số \(p = b^2 + a\), \(q = a^2 + c\), \(r = c^2 + b\) là các số nguyên tố (\(a, b, c \in \mathbb{N}^\ast\)). Chứng minh rằng trong ba số \(p, q, r\) có ít nhất hai số bằng nhau.

Bài 12.

Tìm ba số nguyên tố biết rằng một trong ba số đó bằng hiệu các lập phương của hai số kia.

Bài 13.

Tìm một số có ba chữ số, biết rằng nếu tăng chữ số hàng trăm lên \(n\) đơn vị, giảm các chữ số hàng chục và hàng đơn vị đi \(n\) đơn vị thì được một số có ba chữ số gấp \(n\) lần số ban đầu. Tìm số đó và \(n\).

Dạng 4. Các bài toán chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau

Vận dụng tính chất: Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng 1. Nói cách khác, chúng chỉ có ước chung duy nhất bằng 1.

Bài 14.

Chứng minh rằng:

a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.

b) Hai số nguyên lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) \(2n+1\) và \(3n+1\) (\(n\in\mathbb{N}\)) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 15.

Cho \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng hai số sau đây cũng là hai số nguyên tố cùng nhau:

a) \(a\) và \(a+b\).

b) \(a^{2015}\) và \(a+b\).

c) \(ab^2\) và \(a+b\).

Bài 16.

Tìm số tự nhiên \(n\) để các số \(9n+24\) và \(3n+4\) là các số nguyên tố cùng nhau.