CÁC Ý CUỐI TRONG ĐỀ THI GIỮA KÌ II CỦA CÁC TRƯỜNG

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh các ý cuối trong đề thi giữa kì II của các trường kèm đáp án chi tiết.

Bài 1. (Trường THCS Ngọc Lâm – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Tủ sách của lớp 8A có 43 cuốn sách, trong đó có một số cuốn sách tham khảo môn toán. Cô giáo đã bổ sung thêm 7 cuốn sách tham khảo môn toán. Chọn ngẫu nhiên một cuốn thì xác suất lấy được cuốn sách tham khảo môn toán là 40%. Tính số sách tham khảo môn toán có trong tủ trước khi cô giáo bổ sung thêm 7 cuốn sách tham khảo môn Toán.

Hướng dẫn.

Gọi số sách tham khảo môn toán lúc đầu là \(x\) (cuốn), \(x \in \mathbb{N}, \; x \le 43\).

Số sách tham khảo môn toán sau khi cô giáo bổ sung thêm sách là \(x + 7\) cuốn.

Tủ sách của lớp 8A sau khi cô giáo bổ sung thêm sách là \(50\) cuốn.

Xác suất lấy ra được cuốn sách tham khảo môn toán là \(\dfrac{x + 7}{50}\).

Vì xác suất lấy ra được cuốn sách tham khảo môn toán là 40% nên:

\(\dfrac{x + 7}{50} = 40\% \Rightarrow x + 7 = 20 \Rightarrow x = 13\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy ban đầu trong tủ sách của lớp 8A có \(13\) cuốn sách tham khảo môn toán.

---

Bài 2. (Trường THCS Chương Dương – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ở góc phần tư thứ nhất ta vẽ 2 điểm phân biệt; cụ thể ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ). Trong các điểm đã vẽ ta lấy 2 điểm bất kỳ. Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt cả hai trục tọa độ.

Hướng dẫn.

Trên mặt phẳng có \(14\) điểm phân biệt.

Có \(n(\Omega)=\dfrac{14\cdot13}{2!}=91\).

Để đoạn thẳng nối hai điểm cắt cả hai trục tọa độ thì đoạn thẳng nối hai điểm đó phải lần lượt nằm ở góc phần tư thứ \((I)\) – \((III)\) hoặc thứ \((II)\) – \((IV)\).

TH 1: Góc phần tư thứ \((I)\) – \((III)\), có \(2\cdot4=8\) cách.

TH 2: Góc phần tư thứ \((II)\) – \((IV)\), có \(3\cdot5=15\) cách.

Số phần tử của biến cố là \(8+15=23\).

Xác suất của biến cố là \(\dfrac{23}{91}\).

---

Bài 3. (Phòng GD & ĐT thành phố Bắc Ninh, năm 2024 – 2025)

Một bể chứa nước có hai vòi thoát. Khi bể chứa đầy nước, người ta thấy rằng thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ nhất là \(x\) (giờ, \(x>4\)), thời gian cần thiết để xả hết nước trong bể mà chỉ dùng vòi thứ hai là \(y\) (giờ, \(y>4\)). Viết biểu thức biểu thị lượng nước xả ra khi mở đồng thời cả hai vòi trong 2 giờ.

Hướng dẫn.

Trong một giờ, vòi thứ nhất xả được \(\dfrac{1}{x}\) bể.

Trong một giờ, vòi thứ hai xả được \(\dfrac{1}{y}\) bể.

Trong một giờ, cả hai vòi xả được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) bể.

Trong hai giờ, cả hai vòi xả được \(\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}\) bể.

---

Bài 4. (Trường THCS Phúc Lợi – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Trong một trò chơi, \(8\) người chơi đứng ở vị trí \(8\) đỉnh của một hình bát giác đều như hình vẽ. Quản trò chọn ngẫu nhiên \(3\) người trong số \(8\) người chơi. Tính xác suất của biến cố “\(3\) người được chọn đứng ở vị trí \(3\) đỉnh của một tam giác vuông”.

Hướng dẫn.

Có \(n(\Omega)=\dfrac{8\cdot7\cdot6}{3!}=56\).

Ta chọn ra đường kính của bát giác đều, có \(4\) cách chọn.

Từ mỗi đường kính của bát giác đều, ta chọn một đỉnh của bát giác không trùng với điểm trên đường kính, có \(6\) cách chọn.

Số tam giác vuông được chọn ra (hay số \(3\) người chọn ra đứng ở vị trí \(3\) đỉnh của một tam giác vuông) là: \(6\cdot4=24\) cách chọn.

Xác suất của biến cố là \(\dfrac{24}{56}=\dfrac{3}{7}\).

---

Bài 5. (Trường THCS Lê Quý Đôn – TP HCM, năm 2024 – 2025)

Nhân ngày quốc tế phụ nữ \(8/3\), một cửa hàng bán quà lưu niệm áp dụng chương trình ưu đãi đặc biệt như sau: tất cả các mặt hàng đồng giá \(50\,000\) đồng một món; giảm \(15\%\) cho một món bất kỳ. Nếu khách hàng mua từ \(5\) món trở lên thì món thứ \(5\) trở đi khách hàng chỉ phải trả \(70\%\) giá sau khi giảm. Đặc biệt, nếu khách hàng mua trên \(10\) món thì khách tiếp tục được giảm theo quy định trên và chỉ phải trả \(80\%\) tổng số tiền hóa đơn.

a. Cô Đào đến cửa hàng mua tổng cộng \(10\) món hàng. Em hãy tính xem cô Đào phải trả bao nhiêu tiền?

b. Cùng thời điểm đó, chị Lan cũng đến mua hàng. Khi thanh toán tại quầy, tổng số tiền chị Lan phải trả là \(397\,800\) đồng. Em hãy tính xem chị Lan đã mua bao nhiêu món hàng?

Hướng dẫn.

a) Giá tiền của một món hàng khi mua \(4\) món hàng đầu là: \(50\,000 \cdot 85\% = 42\,500\) (đồng)

Giá tiền phải trả để mua \(4\) món hàng đầu tiên là: \(4 \cdot 42\,500 = 170\,000\) (đồng)

Giá tiền của một món hàng khi mua món thứ \(5\) trở đi là: \(42\,500 \cdot 70\% = 29\,750\) (đồng)

Giá tiền phải trả để mua \(6\) món hàng tiếp theo là: \(6 \cdot 29\,750 = 178\,500\) (đồng)

Cô Đào phải trả số tiền là: \(170\,000 + 178\,500 = 348\,500\) (đồng)

b) Gọi \(x\) là số món hàng mà chị Lan mua \((x \in \mathbb{N}^*)\)

Giả sử chị Lan mua ít hơn \(11\) món hàng thì chị Lan chỉ trả ít hơn \(348\,500\) đồng (mâu thuẫn với đề bài).

Vậy chị Lan mua nhiều hơn \(10\) món hàng hay \(x > 10\).

Giá tiền theo hóa đơn mà chị Lan mua hàng là:

\(170\,000 + (x - 4)\cdot 29\,750\) (đồng)

Chị Lan phải trả để mua hàng là: \(80\%\big(170\,000 + (x - 4)\cdot 29\,750\big)\) (đồng)

Ta có phương trình:

\(80\%\big(170\,000 + (x - 4)\cdot 29\,750\big) = 397\,800\)

\(29\,750x + 51\,000 = 497\,250\)

\(x = 15\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy chị Lan đã mua \(15\) món hàng.

---

Bài 6. (Trường THCS Uy Nỗ – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(2(y^2 + yz + z^2) + 3x^2 = 36\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \(A = x + y + z\).

Hướng dẫn.

\(2(y^2 + yz + z^2) + 3x^2 = 36\) \(\Rightarrow \dfrac{3}{2}(y+z)^2 + \dfrac{1}{2}(y-z)^2 + 3x^2 = 36\)

\(\Rightarrow \dfrac{3}{2}(y+z)^2 + 3x^2 \le 36\)

Đặt \(a = y+z\), \(b = x\) thì \(\dfrac{3}{2}a^2 + 3b^2 \le 36\)

Ta có: \(A = x + y + z = a + b\)

Xét: \((a^2 + 2ab + b^2) - \left(\dfrac{3}{2}a^2 + 3b^2\right)\)

\(= -\dfrac{a^2}{2} + 2ab - 2b^2 = -\dfrac{1}{2}(a - 2b)^2 \le 0\)

\(\Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 \le \dfrac{3}{2}a^2 + 3b^2\)

Suy ra: \(A^2 = (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \le \dfrac{3}{2}a^2 + 3b^2 \le 36\)

\(\Rightarrow -6 \le A \le 6\)

Dấu \(=\) xảy ra khi: \(\begin{cases} a = 2b \\ y = z\\2(y^2 + yz + z^2) + 3x^2 = 36 \end{cases}\)

\(\Rightarrow x = y = z = 2 \) hoặc \(x = y = z = -2 \)

Vậy giá trị lớn nhất của A là 6 xảy ra khi \(x = y = z = 2 \), giá trị nhỏ nhất của A là -6 xảy ra khi \(x = y = z = -2 \)

---

Bài 7. (Trường THCS Ái Mộ – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(A = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 2}\)

Hướng dẫn.

\(A = \dfrac{2x + 1}{x^2 + 2} = \dfrac{-x^2 + 2x - 1 + x^2 + 2}{x^2 + 2}\)

\(= \dfrac{-(x-1)^2}{x^2 + 2} + 1\)

Vì \(\dfrac{-(x-1)^2}{x^2 + 2} \le 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

nên \(\dfrac{-(x-1)^2}{x^2 + 2} + 1 \le 1\) \(\Rightarrow A \le 1\)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(\dfrac{-(x-1)^2}{x^2 + 2} = 0\)

\(\Rightarrow x = 1\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(A\) là 1

---

Bài 8. (Trường THPT chuyên Hà Nội – Amsterdam, năm 2024 – 2025)

Với các số thực \(x, y \ne 0\), chứng minh rằng \(x^2 + y^2 + \left|\dfrac{x^2 - 1}{y^2}\right| + \left|\dfrac{y^2 - 1}{x^2}\right| \ge 2\)

Hướng dẫn.

Đặt \(M = x^2 + y^2 + \left|\dfrac{x^2 - 1}{y^2}\right| + \left|\dfrac{y^2 - 1}{x^2}\right|\)

TH 1: \(x^2 - 1 \ge 0;\; y^2 - 1 \ge 0\)

\( \Rightarrow M = x^2 + y^2 + \dfrac{x^2 - 1}{y^2} + \dfrac{y^2 - 1}{x^2} \)

\(= (x^2 + y^2) + \left(\dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2}\right) - \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2}\right)\)

Có \(x^2 + y^2 \ge 1 + 1 = 2\),

\(\dfrac{x^2}{y^2} + \dfrac{y^2}{x^2} \ge 2\sqrt{\dfrac{x^2}{y^2}\cdot\dfrac{y^2}{x^2}} = 2\),

\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} \le 1 + 1 = 2\)

\(\Rightarrow M \ge 2 + 2 - 2 = 2\)

TH 2: \(x^2 - 1 \ge 0;\; y^2 - 1 \le 0\)

(Không mất tính tổng quát với trường hợp \(x^2 - 1 \le 0;\; y^2 - 1 \ge 0\))

\( \Rightarrow M = x^2 + y^2 + \dfrac{x^2 - 1}{y^2} + \dfrac{1 - y^2}{x^2} \)

\(= \left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) + \left(y^2 - \dfrac{y^2}{x^2}\right) + \left(\dfrac{x^2}{y^2} - \dfrac{1}{y^2}\right)\)

Có \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} \ge 2\),

\(y^2 - \dfrac{y^2}{x^2} = y^2\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right) \ge \dfrac{y^2(x^2 - 1)}{x^2} \ge 0\),

\(\dfrac{x^2}{y^2} - \dfrac{1}{y^2} = \dfrac{x^2 - 1}{y^2} \ge 0\)

\(\Rightarrow M \ge 2 + 0 + 0 = 2\)

Vậy \(x^2 + y^2 + \left|\dfrac{x^2 - 1}{y^2}\right| + \left|\dfrac{y^2 - 1}{x^2}\right| \ge 2\).

TH 3: \(x^2 - 1 \le 0;\; y^2 - 1 \le 0\)

\(\Rightarrow M = x^2 + y^2 + \dfrac{1 - x^2}{y^2} + \dfrac{1 - y^2}{x^2}\)

\(= \left(x^2 - \dfrac{x^2}{y^2}\right) + \left(y^2 - \dfrac{y^2}{x^2}\right) + \left(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2}\right)\)

Có \(\dfrac{x^2 - x^2}{y^2} = \dfrac{x^2(1 - y^2)}{y^2} \ge 0\);

\(\dfrac{y^2 - y^2}{x^2} = \dfrac{y^2(1 - x^2)}{x^2} \ge 0\);

\(\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} \ge 1 + 1 = 2\)

\(\Rightarrow M \ge 0 + 0 + 2 = 2\)

Vậy \(x^2 + y^2 + \left|\dfrac{x^2 - 1}{y^2}\right| + \left|\dfrac{y^2 - 1}{x^2}\right| \ge 2\) với mọi \(x, y \in \mathbb{R}\).

---

Bài 9. (Trường Lương Thế Vinh – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \((1 + x)(1 + y)(1 + z) = (x - 1)(y - 1)(z - 1) \ne 0\). Tính giá trị biểu thức

\(T = \dfrac{(x - y)(x^2 + y^2)}{(1 + z)(1 - z)} + \dfrac{(y - z)(y^2 + z^2)}{(1 + x)(1 - x)} + \dfrac{(z - x)(z^2 + x^2)}{(1 + y)(1 - y)}\)

Hướng dẫn.

\((1+x)(1+y)(1+z) = (x-1)(y-1)(z-1)\)

\((xy + x + y + 1)(z + 1) = (xy - x - y + 1)(z - 1)\)

\(xyz + xy + yz + xz + x + y + z + 1 = xyz - xy - yz - xz + x + y + z - 1\)

\(\Rightarrow xy + yz + xz = -1\)

\(\dfrac{(x-y)(x^2+y^2)}{(1+z)(1-z)} = \dfrac{(x-y)(x^2+y^2)}{1-z^2} = \dfrac{(x-y)(x^2+y^2)}{-xy-yz-zx-z^2} = \dfrac{(y-x)(x^2+y^2)}{(x+z)(y+z)}\)

Tương tự, ta có:

\(\dfrac{(y-z)(y^2+z^2)}{(1+x)(1-x)} = \dfrac{(z-y)(y^2+z^2)}{(x+z)(x+y)}\);

\(\dfrac{(z-x)(z^2+x^2)}{(1+y)(1-y)} = \dfrac{(x-z)(z^2+x^2)}{(x+y)(z+y)}\)

\(T = \dfrac{(x-y)(x^2+y^2)}{(1+z)(1-z)} + \dfrac{(y-z)(y^2+z^2)}{(1+x)(1-x)} + \dfrac{(z-x)(z^2+x^2)}{(1+y)(1-y)}\)

\(= \dfrac{(y-x)(x^2+y^2)}{(x+z)(y+z)} + \dfrac{(z-y)(y^2+z^2)}{(x+z)(x+y)} + \dfrac{(x-z)(z^2+x^2)}{(x+y)(z+y)}\)

\(= \dfrac{(y-x)(x+y)(x^2+y^2) + (z-y)(y+z)(y^2+z^2) + (x-z)(x+z)(z^2+x^2)} {(x+y)(y+z)(z+x)}\)

\(= \dfrac{(y^2-x^2)(x^2+y^2) + (z^2-y^2)(y^2+z^2) + (x^2-z^2)(z^2+x^2)} {(x+y)(y+z)(z+x)}\)

\(= \dfrac{y^4 - x^4 + z^4 - y^4 + x^4 - z^4} {(x+y)(y+z)(z+x)} = 0\)

Vậy \(T = 0\).

---

Bài 10. (Trường THCS Quảng Hải – Thanh Hóa, năm 2024 – 2025)

Với điều kiện phân thức có nghĩa, rút gọn phân thức sau: \(A = \dfrac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx}\)

Hướng dẫn.

\(x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz\)

\(= (x+y)^3 - 3xy(x+y) + z^3 - 3xyz\)

\(= (x+y)^3 + z^3 - 3xy(x+y+z)\)

\(= (x+y+z)^3 - 3(x+y)z(x+y+z) - 3xy(x+y+z)\)

\(= (x+y+z)\big[(x+y+z)^2 - 3(x+y)z - 3xy\big]\)

\(= (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)\)

\(A = \dfrac{x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz}{x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx} = \dfrac{(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)} {x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx} = x + y + z\)

---

Bài 11. (Trường TH & THCS Quất Lưu – Vĩnh Phúc, năm 2024 – 2025)

Cho số thực \(x \ne 0\) thỏa mãn \(\dfrac{x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{1}{2024}\). Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1}\)

Hướng dẫn.

\(\dfrac{x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{1}{2024} \Rightarrow x^2 - x + 1 = 2024x\)

\(\Rightarrow x^2 + x + 1 = 2026x\)

\(\Rightarrow \dfrac{x}{x^2 + x + 1} = \dfrac{1}{2026}\)

\(M = \dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2 - x^2}\)

\(= \dfrac{x^2}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)}\)

\(= \dfrac{x}{x^2 - x + 1} \cdot \dfrac{x}{x^2 + x + 1} = \dfrac{1}{2024} \cdot \dfrac{1}{2026}\)

\(\Rightarrow M = \dfrac{1}{2024 \cdot 2026}\)

---

Bài 12. (Trường THCS Cầu Giấy – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho các số \(a,b,c\) thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2 = 2\) và \(a + b + c = 2\).

Chứng minh \(M = (a^2 + 1)(b^2 + 1)(c^2 + 1)\) viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức.

Hướng dẫn.

\((a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)\)

\(\Rightarrow 2^2 = 2 + 2(ab+bc+ca)\)

\(\Rightarrow ab + bc + ca = 1\)

\(M = (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)\)

\(= (a^2 + ab + bc + ca)(b^2 + ab + bc + ca)(c^2 + ab + bc + ca)\)

\(= (a+b)(a+c)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)\)

\(= \big[(a+b)(b+c)(c+a)\big]^2\)

Vậy M là số chính phương.

---

Bài 13. (Trường THCS Thanh Mỹ – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Giải phương trình: \(\dfrac{x-1}{2024} + \dfrac{x-2}{2023} + \dfrac{x-3}{2022} = 3\)

Hướng dẫn.

\(\dfrac{x-1}{2024} + \dfrac{x-2}{2023} + \dfrac{x-3}{2022} = 3\)

\(\Leftrightarrow \left(\dfrac{x-1}{2024}-1\right) + \left(\dfrac{x-2}{2023}-1\right) + \left(\dfrac{x-3}{2022}-1\right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{x-2025}{2024} + \dfrac{x-2025}{2023} + \dfrac{x-2025}{2022} = 0\)

\(\Leftrightarrow (x-2025) \left(\dfrac{1}{2024}+\dfrac{1}{2023}+\dfrac{1}{2022}\right)=0\)

\(\Rightarrow x-2025=0\)

\(\Rightarrow x = 2025\)

Vậy phương trình có nghiệm \( x = 2025.\)