LŨY THỪA VỚI SỐ TỰ NHIÊN LỚP 6

1. Định nghĩa

Cho \( x \in \mathbb{N} \) và \( n \in \mathbb{N}^* \)

Khi đó \( x^n = x \cdot x \cdot x \ldots x \) (\( n \) thừa số \( x \))

\( x \) gọi là cơ số, \( n \) gọi là số mũ.

Đọc là \( x \) mũ \( n \).

VD: \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81 \); \( 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \)

Quy ước: với \( x \neq 0 \) thì \( x^0 = 1 \); \( 1^n = 1 \); \( x^1 = x \)

2. Các công thức

Nhân, chia 2 lũy thừa cùng cơ số:

\( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)

\( a^m : a^n = a^{m-n} \)

Ví dụ:

\( 2^3 \cdot 2^7 = 2^{10} \)

\( 5^4 : 5 = 5^3 \)

Nhân, chia 2 lũy thừa cùng số mũ:

\( a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m \)

\( a^m : b^m = (a : b)^m \)

Ví dụ:

\( 12^2 : 4^2 = (12 : 4)^2 = 3^2 = 9 \)

\( 6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10} \)

Lũy thừa của lũy thừa:

\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)

Ví dụ: \( (2^3)^2 = 2^6 = 64 \)

Bài 1. Viết kết quả phép tính sau dưới dạng một lũy thừa

• a) \( 2^2 \cdot 2^5 \)
• b) \( x \cdot x^4 \cdot x^5 \)
• c) \( 11^8 : 11^3 : 11^2 \)
• d) \( x^8 : x^7 : x \) (\( x \neq 0 \))
• e) \( (4^2)^5 : 4^6 \)
• f) \( 2^5 \cdot 4^3 \)
• g) \( 8^3 \cdot 2^4 : 4^2 \)
• h) \( 3^3 \cdot 4 + 3^3 \cdot 5 \)

Bài 2. Viết kết quả các phép tính sau dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1:

• a) \( 3^5 \cdot 9 \cdot 243 \);
• b) \( 125^5 : 25^4 \);
• c) \( 2^{10} \cdot 15 + 2^{10} \cdot 17 \);
• d) \( x^1 \cdot x^2 \cdot x^3 \ldots x^{100} \) (với \( x \in \mathbb{N}^* \)).

Bài 3. Tìm số tự nhiên \( x \), biết:

• a) \( x^3 = 216 \);
• b) \( x^2 = 2^3 + 3^2 + 4^3 \);
• c) \( (2x^2 + 4) : 2 = 11 \);
• d) \( 3(x + 1)^3 - 5 = 76 \).

Bài 4. Tìm số tự nhiên \( x \), biết:

• a) \( 2^x \cdot 2^4 = 128 \)
• b) \( 9^{2x+2} = 27^{x+3} \)
• c) \( 2^x + 2^{x+2} = 80 \)
• d) \( 4 \cdot 5^{x+2} - 3 \cdot 5^{x-1} = 12425 \)

Bài 5. Tính giá trị biểu thức:

• a) \( 24^4 : 3^4 - 32^{12} : 16^{12} \)
• b) \( \dfrac{8^7 \cdot 9^{21}}{6^{20} \cdot 27^7} \)
• c) \( \dfrac{2^{13} + 2^5}{2^{10} + 2^2} \)
• d) \( \dfrac{11 \cdot 27^7 \cdot 3^8 - 9^{15}}{\left(2 \cdot 3^{14}\right)^2} \)

Bài 6. So sánh:

• a) \( 125^{17} \) và \( 625^{13} \)
• b) \( 3^{30} \) và \( 8^{10} \)
• c) \( 3^{54} \) và \( 2^{81} \)
• d) \( 21^{15} \) và \( 27^5 \cdot 49^8 \)

Bài 7. Tính hợp lý giá trị biểu thức sau: \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^9 + 2^{10} \)

Bài 8. Cho biết \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + 10^2 = 385 \). Hãy tính:

• a) \( A = 3^2 + 6^2 + 9^2 + \ldots + 30^2 \);
• b) \( S = (10^2 + 12^2 + 14^2 + 16^2 + 18^2 + 20^2) - 4 \cdot (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) \).

Bài 9. Cho \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{99} \).

• a) Chứng minh \( A \) chia hết cho \( 40 \);
• b) Tìm số tự nhiên \( n \) biết \( 2A + 1 = 3^n \).

Bài 10. Chứng minh rằng số \( 3^{50} \) có nhiều hơn \( 20 \) chữ số.