ĐỀ KHẢO SÁT VÒNG 2 (THÁNG 11) TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU - HOÀN KIẾM NĂM 2025 - 2026

MATHX gửi quý phụ huynh và các bạn học sinh đề Khảo sát vòng 2 (Tháng 11) trường THCS Nguyễn Du - Hoàn Kiếm - Hà Nội năm 2025 - 2026 kèm đáp án tham khảo Câu 5.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO CÂU 5

Bài 5. (0,5 điểm). Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\( \dfrac{ab}{a + b + 2c} + \dfrac{bc}{b + c + 2a} + \dfrac{ca}{c + a + 2b} \le \dfrac{1}{4} \)

Hướng dẫn

Áp dụng bất đẳng thức \( \dfrac{1}{x+y} \le \dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right) \) ta có:

\( \dfrac{ab}{a + b + 2c} = \dfrac{ab}{(a + c) + (b + c)} \le \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{ab}{a + c} + \dfrac{ab}{b + c} \right) \)

Chứng minh tương tự ta có:

\( \dfrac{bc}{b + c + 2a} \le \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{bc}{a + b} + \dfrac{bc}{a + c} \right) \)

\( \dfrac{ca}{c + a + 2b} \le \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{ca}{b + c} + \dfrac{ca}{a + b} \right) \)

Suy ra

\( \dfrac{ab}{a + b + 2c} + \dfrac{bc}{b + c + 2a} + \dfrac{ca}{c + a + 2b} \\ \le \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{ab}{a + c} + \dfrac{ab}{b + c} + \dfrac{bc}{a + b} + \dfrac{bc}{a + c} + \dfrac{ca}{b + c} + \dfrac{ca}{a + b} \right) \)

\( = \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{ab + bc}{a + c} + \dfrac{ab + ca}{b + c} + \dfrac{bc + ca}{a + b} \right) \)

\( = \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{b(a + c)}{a + c} + \dfrac{a(b + c)}{b + c} + \dfrac{c(a + b)}{a + b} \right) \)

\( = \dfrac{1}{4}(a + b + c) \)

\( = \dfrac{1}{4} \) (do a + b + c = 1)

Dấu “=” xảy ra khi \( a + c = b + c = a + b \) hay \( a = b = c = \dfrac{1}{3} \).

Vậy bất đẳng thức được chứng minh.