ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 NĂM 2025 - 2026 TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM LỚP 9

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh đề khảo sát chất lượng lần 1 năm 2025 - 2026, trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam kèm hướng dẫn bài 5.

Đề khảo sát chất lượng lần 1 năm 2025 - 2026, trường THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam.

Lời giải chi tiết bài 5.

Bài 5. Cho đoạn thẳng AE = \(4\) cm. C, B và D theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng AE, AC và CE. Gọi M, N thay đổi trên đoạn thẳng AE sao cho M nằm giữa A và N, thỏa mãn tổng độ dài AM và EN bằng \(0,5\) cm. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AE, cắt các đường tròn đường kính MD và đường kính NB theo thứ tự tại P và Q (P và Q nằm khác phía so với AE). Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng PQ.

Hướng dẫn.

Gọi J, F lần lượt là tâm của đường tròn đường kính MD và BN.

Đặt \(x = AM \ (0 \le x \le 0,5)\) (cm) \(\Rightarrow NE = 0,5 - x\) (cm).

Có \(JP = \dfrac{MD}{2} = \dfrac{3 - x}{2}\) (cm);

\(JC = JD - CD = \dfrac{3 - x}{2} - 1 = \dfrac{1 - x}{2}\) (cm).

Xét tam giác vuông tại C: \(\widehat{JCP} = 90^\circ\) \(\Rightarrow JP^2 = PC^2 + JC^2\) \(\Rightarrow PC = \sqrt{JP^2 - JC^2}\).

\(PC = \sqrt{\left(\dfrac{3 - x}{2}\right)^2 - \left(\dfrac{1 - x}{2}\right)^2} = \sqrt{2 - x}\) (cm).

Có \(FQ = \dfrac{BN}{2} = \dfrac{3 - (0,5 - x)}{2} = \dfrac{5 + 2x}{4}\) (cm);

\(CF = BF - BC = \dfrac{5 + 2x}{4} - 1 = \dfrac{1 + 2x}{4}\) (cm).

Xét tam giác vuông tại C: \(\widehat{QCF} = 90^\circ\) \(\Rightarrow FQ^2 = CF^2 + CQ^2\) \(\Rightarrow CQ = \sqrt{FQ^2 - CF^2}\).

\(CQ = \sqrt{\left(\dfrac{5 + 2x}{4}\right)^2 - \left(\dfrac{1 + 2x}{4}\right)^2} = \sqrt{x + \dfrac{3}{2}}\) (cm).

Có \(PQ = CP + CQ = \sqrt{2 - x} + \sqrt{x + \dfrac{3}{2}}\) (cm).

Có \(PQ^2 = \dfrac{7}{2} + 2\sqrt{-x^2 + \dfrac{x}{2} + 3}\)

\(= \dfrac{7}{2} + 2\sqrt{\dfrac{49}{16} - \left(x - \dfrac{1}{4}\right)^2}\)

Vì \(0 \le x \le \dfrac{1}{2}\) nên \(-\dfrac{1}{4} \le x - \dfrac{1}{4} \le \dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow \left(x - \dfrac{1}{4}\right)^2 \le \dfrac{1}{16}\)

Suy ra \(PQ^2 \ge \dfrac{7}{2} + 2\sqrt{\dfrac{49}{16} - \dfrac{1}{16}} = \dfrac{7}{2} + 2\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow PQ \ge \sqrt{\dfrac{7}{2} + 2\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{3}{2}} + \sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x \in \left\{0;\dfrac{1}{2}\right\}\), tức là M trùng A hoặc \(AM = \dfrac{1}{2}\) (cm).

Vậy giá trị nhỏ nhất của PQ là \(\sqrt{\dfrac{3}{2}} + \sqrt{2}\) cm.