TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI CUỐI TRONG ĐỀ THI GIỮA HỌC KỲ I

Bài 1: (THCS Chúc Sơn – Hà Nội)

Cho \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{1990} + 3^{1991} \). Chứng tỏ rằng \( A \vdots 13 \).

Bài 2: (THCS Chu Văn An – Quảng Ngãi)

Cho \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{11} \). Không tính tổng A, hãy chứng tỏ A chia hết cho 3.

Bài 3: (THCS Tam Hiệp – Hà Nội)

Cho \( A = 7 + 7^2 + 7^3 + 7^4 + 7^5 + 7^6 + \ldots + 7^{21} \). Chứng tỏ rằng A chia hết cho 57.

Bài 4: (THCS Ái Mộ - Hà Nội)

Tìm số tự nhiên x để \( (x + 13) \vdots (x - 3) \).

Bài 5: (THCS Bát Tràng – Hà Nội)

Cho \( A = 6 + 6^2 + 6^3 + 6^4 + \ldots + 6^{2025} \). Chứng tỏ: \( A \vdots 43 \).

Bài 6: (THCS Lim – Bắc Ninh)

Cho tổng: \( S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \ldots + 3^{2024} \). Tìm số tự nhiên x để: \( 2S + 3 = 3^x \).

Bài 7: (TH, THCS & THPT Đa Trí Tuệ - Hà Nội)

Cho p và p + 2 là các số nguyên tố \( (p > 3) \). Chứng minh rằng \( (p + 1) \vdots 6 \).

Bài 8: (THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Hà Nội)

a) Chứng minh rằng tổng 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp chia hết cho 10.

b) Để đánh số trang của một cuốn sách, người ta dùng dãy số tự nhiên bắt đầu từ số 1 và phải dùng tất cả 1998 chữ số. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?

Bài 9: (THCS Trần Quý Cáp – Đà Nẵng)

Tìm tất cả số tự nhiên n sao cho n + 3 chia hết cho n + 1.

Bài 10: (THCS Tống Văn Trân – Ninh Bình)

Cho tổng \( A = 5^{20} + 5^{21} + 5^{22} + \ldots + 5^{158} + 5^{159} + 5^{160} \).

Tìm số tự nhiên n, biết rằng: \( 4A + 5^{20} = 5^n \).