ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU NĂM 2026 - 2027 TRƯỜNG THCS & THPT LƯƠNG THẾ VINH

Bài 1. (2 điểm) Giải các hệ phương trình sau:

a) \(\begin{cases}x-y=3\\x+3y=1\end{cases}\)

b) \(\begin{cases}(x-2)(y+5)=xy+4\\(2x+1)(y-4)=2xy-33\end{cases}\)

Bài 2. (2 điểm)

1) Cho phương trình \(x-2y=9\). Cặp số \((5;-2)\) có phải là một nghiệm của phương trình này không? Vì sao?

2) Cho tam giác ABC vuông tại A.

a) Viết các tỉ số lượng giác \(\sin B,\cos B\) và chứng minh \(\sin^2B+\cos^2B=1\).

b) Áp dụng kết quả trên hãy tính giá trị của biểu thức:

\(M=\sin^2 10^\circ+\sin^2 20^\circ+\sin^2 30^\circ+\sin^2 40^\circ+\sin^2 50^\circ+\sin^2 60^\circ+\sin^2 70^\circ+\sin^2 80^\circ\).

Bài 3. (2 điểm) Giải toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

1) Một xe tải vận chuyển hàng hóa từ kho A đến kho B với vận tốc 50 km/h. Khi quay trở về kho A, do đường thông thoáng hơn nên xe đi với vận tốc lớn hơn lúc đi 10 km/h. Vì vậy, thời gian quay về ít hơn thời gian đi 24 phút. Tính quãng đường từ kho A đến kho B.

2) Để chuẩn bị cho lễ khai giảng, hai nhóm học sinh cùng nhau trang trí sân trường. Nếu cả hai nhóm cùng làm thì sau 15 ngày sẽ hoàn thành công việc. Tuy nhiên, sau khi cùng làm được 12 ngày thì nhóm một được phân công chuyển sang thực hiện nhiệm vụ khác, nhóm hai tiếp tục làm một mình trong 8 ngày nữa thì hoàn thành công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi nhóm cần bao nhiêu ngày hoàn thành toàn bộ công việc?

Bài 4. (3,5 điểm)

1) Trong một buổi học thực hành trải nghiệm môn Toán ở ngoài trời, bạn Nam được giao nhiệm vụ đo chiều cao của một cây trong khuôn viên nhà trường.

Để thực hiện công việc, Nam đứng cách thân cây một khoảng nằm ngang \(OH=4m\). Từ vị trí quan sát O (ngang tầm mắt), Nam sử dụng giác kế và ghi nhận được tầm mắt hướng lên đỉnh cây A tạo với phương nằm ngang OH một góc nâng \(\widehat{AOH}=42^\circ\), tầm mắt hướng xuống gốc cây B tạo với phương nằm ngang OH một góc hạ \(\widehat{HOB}=28^\circ\). Biết rằng thân cây AB mọc thẳng đứng và vuông góc với phương nằm ngang OH \(OH\perp AB\). Em hãy giúp bạn Nam tính chiều cao AB của cây thông đó theo đơn vị mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

2) Cho \(\triangle ABC\) vuông tại A \((AB có đường cao AH \((H\in BC)\). Tia phân giác của góc \(\widehat{ABC}\) cắt AH tại M và cắt AC tại N. Vẽ \(HI\perp BM\) tại I và \(BD\perp HN\) tại D.

a) Chứng minh \(AB^2=BH\cdot BC\).

b) Chứng minh \(\triangle AMN\) cân tại A và \(AM^2=MH\cdot NC\).

c) Chứng minh ba điểm A, I, D thẳng hàng.

Bài 5. (0,5 điểm)

Hai tỉnh A và B bị ngăn cách nhau bởi một ngọn núi. Để đi từ tỉnh A đến tỉnh B, người ta đi theo lộ trình từ tỉnh A qua tỉnh C, rồi đến tỉnh B. Biết rằng lộ trình từ A đến C dài 70 km, từ C đến B dài 100 km và hai con đường tạo với nhau góc \(60^\circ\). Cứ mỗi 20 km quãng đường đi được thì phương tiện tiêu hao 1 lít nhiên liệu. Để tiết kiệm nhiên liệu, người ta làm một đường hầm xuyên núi để đi từ tỉnh A đến tỉnh B. Hỏi nếu đi theo đường hầm thì phương tiện tiết kiệm được bao nhiêu lít nhiên liệu so với đường cũ? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).