CÁC Ý CUỐI TRONG ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ LỚP 8 CỦA CÁC TRƯỜNG

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh các ý cuối trong đề thi cuối kì I lớp 8 của các trường kèm đáp án chi tiết.

Câu 1. (Trường THCS Ngọc Lâm – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho \( x + y + z = 0 \) và \( x,y,z \ne 0 \). Tính giá trị của

\( P = \dfrac{xy}{x^2 + y^2 - z^2} + \dfrac{yz}{y^2 + z^2 - x^2} + \dfrac{xz}{x^2 + z^2 - y^2} \)

Hướng dẫn:

Có \( x + y + z = 0 \) ⇒ \( x = -y - z \), \( y = -x - z \), \( z = -x - y \).

\( P = \dfrac{xy}{x^2 + y^2 - z^2} + \dfrac{yz}{y^2 + z^2 - x^2} + \dfrac{xz}{x^2 + z^2 - y^2} \)

\( = \dfrac{xy}{x^2 + y^2 - (-x - y)^2} + \dfrac{yz}{y^2 + z^2 - (-y - z)^2} + \dfrac{xz}{x^2 + z^2 - (-x - z)^2} \)

\( = \dfrac{xy}{-2xy} + \dfrac{yz}{-2yz} + \dfrac{xz}{-2xz} = -\dfrac12 - \dfrac12 - \dfrac12 = -\dfrac32 \)

Vậy \( P = -\dfrac32 \).

---

Câu 2. (Trường THCS Đồng Khởi – Đồng Nai, năm 2024 – 2025)

Cho \( x + \dfrac1x = 3 \) \( (x \ne 0) \), tính \( x^6 + \dfrac1{x^6} \).

Hướng dẫn:

\( x + \dfrac1x = 3 \Rightarrow \left(x + \dfrac1x\right)^2 = 3 \Rightarrow x^2+2+\dfrac{1}{x^2}=9\)

\( \Rightarrow x^2 + \dfrac1{x^2} = 7 \Rightarrow \left( x^2 + \dfrac1{x^2} \right)^3 = 343 \)

\( \Rightarrow x^6 + 3\!\left( x^2 + \dfrac1{x^2} \right) + \dfrac1{x^6} = 343 \)

\( \Rightarrow x^6 + \dfrac1{x^6} = 343 - 3 \cdot 7 = 322 \)

Vậy \( x^6 + \dfrac1{x^6} = 322 \).

---

Câu 3. (Trường THCS Tân Xuân – Hồ Chí Minh, năm 2024 – 2025)

Cho ba số \( a, b, c \ne 0 \), thỏa mãn \( a + b + c = 0 \).

Tính giá trị của biểu thức

\( M = \dfrac{a^3 + a^2 c - abc + b^2 c + b^3} {a^2 + b^4 + c^8} \)

Hướng dẫn:

\( M = \dfrac{(a^3 + b^3) + (a^2 c - abc + b^2 c)} {a^2 + b^4 + c^8} \)

\( M = \dfrac{(a + b)(a^2 - ab + b^2) + c(a^2 - ab + b^2)} {a^2 + b^4 + c^8} \)

\( M = \dfrac{(a + b + c)(a^2 - ab + b^2)} {a^2 + b^4 + c^8} \)

\( M = \dfrac{0 \cdot (a^2 - ab + b^2)}{a^2 + b^4 + c^8} = 0 \) (vì \( a + b + c = 0 \))

---

Câu 4. (Trường THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm – Hà Nội, năm 2023 – 2024)

Cho ba số \( x, y, z \ne 0 \), thỏa mãn \( \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z = 2 \) và \( \dfrac{2}{xy} = \dfrac1{z^2} + 4 \).

Tính giá trị của biểu thức \( P = (x - 2y + z)^{2023} \).

Hướng dẫn:

Đặt \( a = \dfrac1x \), \( b = \dfrac1y \), \( c = \dfrac1z \).

\( \dfrac1x + \dfrac1y + \dfrac1z = 2 \Rightarrow a + b + c = 2 \Rightarrow a = 2 - b - c \)

\( \dfrac{2}{xy} = \dfrac1{z^2} + 4 \Rightarrow 2ab = c^2 + 4 \Rightarrow 2(2 - b - c)b = c^2 + 4 \)

\( \Rightarrow 4b - 2b^2 - 2bc = c^2 + 4 \)

\( \Rightarrow c^2 + 2b^2 + 2bc - 4b + 4 = 0 \)

\( \Rightarrow (c^2 + b^2 + 2bc) + (b^2 - 4b + 4) = 0 \)

\( \Rightarrow (b + c)^2 + (b - 2)^2 = 0 \)

Có \( (b + c)^2 + (b - 2)^2 \ge 0 \) với mọi \( b, c \).

Dấu “=” xảy ra khi: \( \begin{cases} b + c = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 2 \\ c = -2 \end{cases} \)

Có \( a + b + c = 2 \Rightarrow a = 2 - (b + c) = 2 - (2 - 2) = 2 \).

Vậy \( \begin{cases} a = 2 \\ b = 2 \\ c = -2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \dfrac12 \\ y = \dfrac12 \\ z = -\dfrac12 \end{cases} \)

Thay \( x = \dfrac12 \), \( y = \dfrac12 \), \( z = -\dfrac12 \) vào \( P \), ta có:

\( P= \left( \dfrac12 - 2\cdot\dfrac12 - \dfrac12 \right)^{2023} = (-1)^{2023} = -1 \)

Vậy \( P = -1 \).

---

Câu 5. (Trường Ban Mai School – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho \( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \) và \( a + b + c \ne 0 \). Tính giá trị biểu thức

\( N = \dfrac{a^2 + b^2 + c^2}{(a + b + c)^2} \)

Hướng dẫn:

\( a^3 + b^3 + c^3 = 3abc \)

\( a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0 \)

\( (a + b)^3 - 3ab(a + b) + c^3 - 3abc = 0 \)

\( (a+b+c)\big[(a+b)^2 - c(a+b) + c^2\big] - 3ab(a+b+c) = 0 \)

\( (a+b+c)\big(a^2+b^2+c^2+2ab-ac-bc\big) - 3ab(a+b+c) = 0 \)

\( (a+b+c)\big(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\big) = 0 \)

\( a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc = 0 \; (\text{Do } a+b+c \ne 0) \)

\( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc = 0 \)

\( (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) + (b^2 - 2bc + c^2) = 0 \)

\( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0 \)

Có \( (a-b)^2 \ge 0 \), \( (b-c)^2 \ge 0 \), \( (c-a)^2 \ge 0 \) với mọi \( a, b, c \).

Suy ra \( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0 \) với mọi \( a, b, c \).

Dấu “=” xảy ra khi:

\( \begin{cases} a-b=0 \\ b-c=0 \\ c-a=0 \end{cases} \Rightarrow a=b=c \)

\( N= \dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2} = \dfrac{3c^2}{(3c)^2} = \dfrac{1}{3} \)

Vậy \( N = \dfrac13 \).

---

Câu 6. (Trường THCS Lương Thế Vinh – Nam Định, năm 2024 – 2025)

Cho \( x, y \) dương thỏa mãn

\( x^3 + 8y^3 - 6xy + 1 = 0 \)

Tính giá trị của biểu thức A = \(x^{2024} + \left( y - \dfrac12 \right)^{2025}\) Hướng dẫn: \(x^3 + 8y^3 - 6xy + 1 = 0\) \((x + 2y)^3 - 3x \cdot 2y (x + 2y) - 6xy + 1 = 0\)

\((x + 2y)^3 - 6xy (x + 2y) - 6xy + 1 = 0\)

\((x + 2y)^3 + 1 - 6xy (x + 2y + 1) = 0\)

\((x + 2y + 1)\big[(x + 2y)^2 - (x + 2y) + 1\big] - 6xy (x + 2y + 1) = 0\) \((x + 2y + 1)\big[x^2 + 4y^2 + 4xy - x - 2y + 1\big] - 6xy (x + 2y + 1) = 0\) \((x + 2y + 1)\big[x^2 + 4y^2 - 2xy - x - 2y + 1\big] = 0\)

Mà \(x + 2y + 1 > 0\) (vì x, y > 0) nên: \(x^2 + 4y^2 - 2xy - x - 2y + 1 = 0\)

\(4x^2 + 16y^2 - 8xy - 4x - 8y + 4 = 0\)

\(4x^2 - 4x(2y + 1) + (2y + 1)^2 - 4y^2 - 4y + 1 + 16y^2 - 8y + 4 = 0\)

\((2x - 2y - 1)^2 + 12y^2 - 12y + 3 = 0\)

\((2x - 2y - 1)^2 + 3(2y - 1)^2 = 0\)

Có \( (2x - 2y - 1)^2 \ge 0 \); \( 3(2y - 1)^2 \ge 0 \) với mọi x, y dương nên

\( (2x - 2y - 1)^2 + 3(2y - 1)^2 \ge 0 \) với mọi x, y dương.

Dấu “=” xảy ra khi:

\( \begin{cases} 2x-2y-1= 0 \\ 2y-1= 0 \end{cases} \Rightarrow\begin{cases} x=1 \\ y=\dfrac12 \end{cases}\)

Thay \( x = 1 \), \( y = \dfrac{1}{2} \) vào biểu thức A, ta có: \( A = 1^{2024} + \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \right)^{2025} = 1 \)

Vậy A = 1

---

Câu 7. (Trường THCS Thị Trấn Hà Trung – Thanh Hóa năm 2023 – 2024)

Cho \( a + b = 1 \). Tính giá trị biểu thức sau:

\( M = a^3 + b^3 + 3ab(a^2 + b^2) + 6a^2 b^2 (a + b) \)

Hướng dẫn:

\(M=(a+b)^3−3ab(a+b)+3ab((a+b)^2−2ab)+6a^2b^2(a+b)\)

\(M=1−3ab⋅1+3ab(1−2ab)+6a^2b^2⋅1\)

\(M=1−3ab+3ab−6a^2b^2+6a^2b^2=1\)

Vậy M = 1

---

Câu 8. (Trường THCS Phan Chu Trinh – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời \( a + b + c = 9 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 27 \).

Tính giá trị của biểu thức: \( P = (a - 2)^{2023} + (b - 3)^{2024} + (c - 4)^{2025} \)

Hướng dẫn:

\( a^2 + b^2 + c^2 - 6(a + b + c) = 27 - 54 \)

\( a^2 + b^2 + c^2 - 6a - 6b - 6c + 27 = 0 \)

\((a^2−6a+9)+(b^2−6b+9)+(c^2−6c+9)=0\)

\((a−3)^2+(b−3)^2+(c−3)^2=0\)

 

Có \( (a - 3)^2 \ge 0 \), \( (b - 3)^2 \ge 0 \), \( (c - 3)^2 \ge 0 \) với mọi a, b, c.

\(⇒(a−3)^2+(b−3)^2+(c−3)^2≥0\) với mọi a,b,c

Dấu “=” xảy ra khi:

\( \begin{cases} a-3= 0 \\ b -3= 0\\c-3=0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a=3 \\ b =3\\c=3 \end{cases}\)

Thay \( a = b = c = 3 \) vào P, ta có:

\(P=(3−2)^{2023}+(3−3)^{2024}+(3−4)^{2025}=1+0+(−1)=0\)

Vậy P = 0

---

Câu 9. (Trường THCS Phúc Diễn – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \( A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4x + 50 \)

Hướng dẫn:

\( A = x^2 - 2xy + 2y^2 - 4x + 50 \)

\( = x^2 - 2x(y + 2) + (y + 2)^2 - (y + 2)^2 + 2y^2 + 50 \)

\( = (x - y - 2)^2 + y^2 - 4y + 46 \)

\( = (x - y - 2)^2 + (y - 2)^2 + 42 \)

Có \( (x - y - 2)^2 \ge 0 \); \( (y - 2)^2 \ge 0 \) với mọi x, y.

\( A = (x - y - 2)^2 + (y - 2)^2 + 42 \ge 42 \)

Dấu “=” xảy ra khi: \( \begin{cases} x-y - 2 = 0 \\ y -2= 0 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x = 6 \\ y =2 \end{cases}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 42 khi x = 6, y = 2.

---

Câu 10. (Trường THCS Giao Thủy – Nam Định, năm 2024 – 2025)

Tìm tất cả các số thực x, y thỏa mãn \( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 = 3x^2 + 6xy \)

Hướng dẫn:

\( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 = 3x^2 + 6xy \)

\( (x^2 + xy)^2 + y^2 + 4 - 3x^2 - 6xy = 0 \)

\(\left(x^2 + xy\right)^2 - 4\left(x^2 + xy + 4\right) + (x^2 - 2xy + y^2) = 0\)

\((x^2 + xy - 2)^2 + (x - y)^2 = 0\)

Có \((x^2 + xy - 2)^2 \ge 0;\ (x-y)^2 \ge 0\) với mọi x, y.

Nên \((x^2 + xy - 2)^2 + (x-y)^2 \ge 0\) với mọi x, y.

Dấu “=” xảy ra khi \(\begin{cases} x^2 + xy - 2 = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}\) ⇔ \(\begin{cases} 2x^2 - 2 = 0 \\ x = y \end{cases}\) ⇔ \(\begin{cases} x^2 = 1 \\ x = y \end{cases}\)

⇒ \(\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \end{cases}\) hoặc \(\begin{cases} x = -1 \\ y = -1 \end{cases}\)

Vậy \((x, y) \in \{(-1,-1); (1,1)\}\).

---

Câu 11. (Trường THCS Giảng Võ 2 – Hà Nội, năm 2024 – 2025)

Tìm số nguyên n để biểu thức \(A = n^4 - 16n^2 + 100\) có giá trị là số nguyên tố.

Hướng dẫn:

 \(n^4 - 16n^2 + 64 + 36 = (n^2 - 8)^2 + 36\) ≥ 36 > 1 với mọi n.

Có \(A = n^4 - 16n^2 + 100\)

\(= (n^4 + 20n^2 + 100) - 36n^2\)

\(= (n^2 + 10)^2 - (6n)^2\)

\((n^2 - 6n + 10)(n^2 + 6n + 10)\)

Vì A là số nguyên tố nên \(n^2 - 6n + 10 = 1\) hoặc \(n^2 + 6n + 10 = 1\).

TH 1) \(n^2 - 6n + 10 = 1 \Rightarrow (n - 3)^2 = 0 \Rightarrow n = 3\)

TH 2) \(n^2 + 6n + 10 = 1 \Rightarrow (n + 3)^2 = 0 \Rightarrow n = -3\)

Vậy \(n = \pm 3\) thì A là số nguyên tố.

---

Câu 12. (Trường THCS Xuân Trường – Nam Định, năm 2024 – 2025)

Cho x, y, z là các số hữu tỉ thay đổi thỏa mãn điều kiện \(xy + yz + zx = 1\). Chứng minh rằng: \(A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Hướng dẫn:

Có \(x^2 + 1 = x^2 + xy + yz + zx = x(x+y) + z(x+y) = (x+y)(x+z)\)

Chứng minh tương tự, ta được: \(y^2 + 1 = (y+x)(y+z)\) và \(z^2 + 1 = (z+x)(z+y)\).

\(A = (x^2 + 1)(y^2 + 1)(z^2 + 1)\)

\(= (x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(z+x)(z+y)\)

\(= (x+y)(x+z)(y+x)(y+z)(z+x)(z+y)\)

\(= [(x+y)(x+z)(y+x)]^2\)

Vậy A là bình phương của một số hữu tỉ.

---

Câu 13. (Trường THCS Tam Hiệp – Hà Nội, năm 2023 – 2024)

Tìm cặp số tự nhiên (x; y) sao cho \(x^2 + 55 = 4y^2\)

Hướng dẫn:

\(x^2 + 55 = 4y^2 \Rightarrow x^2 - 4y^2 = -55\)

\((x + 2y)(x - 2y) = -55 \Rightarrow (2y + x)(2y - x) = 55\)

Có \(2y - x \le 2y + x\); \(2y + x \ge 0\) nên ta có:

TH 1:

\(\begin{cases} x + 2y = 55 \\ 2y - x = 1 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} 2y - 1 + 2y = 55 \\ x = 2y - 1 \end{cases}\)

\(\Rightarrow \begin{cases} 4y - 1 = 55 \\ x = 2y - 1 \end{cases} \Rightarrow y = 14,\, x = 27\)

TH 2:

\(\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 2y - x = 5 \end{cases}\) \(\Rightarrow \begin{cases} 2y - 5 + 2y = 11 \\ x = 2y - 5 \end{cases}\)

\(\Rightarrow y = 4,\, x = 3\)

Vậy \((x; y) \in \{(3; 4); (27; 14)\}\)

---

Câu 14. (Trường THCS Đông Ninh – Thanh Hóa, năm 2023 – 2024)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn \(x^2 + y^2 = 3 - xy\)

Hướng dẫn:

\(x^2 + y^2 = 3 - xy\)

\(2x^2 + 2y^2 = 6 - 2xy\)

\(x^2 + 2xy + y^2 = 6 - (x^2 + y^2)\)

\((x + y)^2 = 6 - (x^2 + y^2) (*)\)

Vì \((x + y)^2 \ge 0\) với mọi x, y nên \(6 - (x^2 + y^2) \ge 0 \Rightarrow x^2 + y^2 \le 6\)

\(0 \le x^2 \le 6 - y^2 \le 6\)

\(x^2 \in \{0; 1; 4\}\) (vì \(x^2\) là số chính phương)

\(x \in \{-2; -1; 0; 1; 2\}\)

Thay lần lượt các giá trị của x vào (*), ta được:

x	-2	-1	0	1	2
y	1	2	\(\pm \sqrt{3}\)	-2 hoặc 1	-1

Vậy các cặp (x, y) là \((x, y) \in \{(-2, 1); (-1, 2); (1, -2); (1, 1); (2, -1)\}\)

---

Câu 15. (Trường THCS Phan Chu Trinh – Hà Nội, năm 2023 – 2024)

Phân tích đa thức thành nhân tử: \((x^2 - 6 + x)(x^2 - 4 + 3x) - 24\)

Hướng dẫn:

\((x^2 - 6 + x)(x^2 - 4 + 3x) - 24\)

\(= (x + 3)(x - 2)(x + 4)(x - 1) - 24\)

\(= [(x + 3)(x - 1)][(x - 2)(x + 4)] - 24\)

\(= (x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 8) - 24\)

Đặt \(t = x^2 + 2x\), khi đó:

\((x^2 + 2x - 3)(x^2 + 2x - 8) - 24\)

\(= (t - 3)(t - 8) - 24\)

\(= t^2 - 11t + 24 - 24\)

\(= t^2 - 11t = t(t - 11)\)

\(= (x^2 + 2x)(x^2 + 2x - 11)\)

\(= x(x + 2)\left[(x^2 + 2x + 1) - 12\right]\)

\(= x(x + 2)\left[(x + 1)^2 - 12\right]\)

\(= x(x + 2)\,(x + 1 + 2\sqrt{3})\,(x + 1 - 2\sqrt{3})\)

---