TỔNG HỢP CÁC BÀI HÌNH HAY TRONG ĐỀ HỌC KÌ 2 NĂM 2024 - 2025

Bài 1. (Trích đề phòng GD&ĐT Thủ Dầu Một – Bình Dương)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại A, đường phân giác BE. Kẻ EH vuông góc với BC \( (H \in BC) \). Gọi K là giao điểm của AB và HE. Chứng minh rằng:

a) \( \triangle ABE = \triangle HBE \).

b) BE là đường trung trực của đoạn thẳng AH.

c) \( \triangle BKC \) cân.

Bài 2. (Trích đề sở GD&ĐT Bắc Giang)

Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Từ điểm M vẽ đường thẳng ME vuông góc với AB \( (E \in AB) \) và vẽ đường thẳng MF vuông góc với AC \( (F \in AC) \).

a) Chứng minh \( \triangle BME = \triangle CMF \).

b) Chứng minh \( AE = AF \).

Bài 3. (Trích đề THCS Mỹ Trung – Nam Định)

Cho \( \triangle ABC \) cân tại A, \( \widehat{A} < 90^\circ \), đường cao AH \( (H \in BC) \).

a) Chứng minh \( \triangle AHB = \triangle AHC \).

b) Gọi M là trung điểm của AC. Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng BM tại E. Chứng minh \( CE = 2AM \).

c) Gọi I là giao điểm của AH và BE. Chứng minh \( AC + CB > 3BI \).

Bài 4. (Trích đề THCS Trực Ninh – Nam Định)

1) Cho \( \triangle ABC \) vuông tại A, đường phân giác BD. Kẻ DM vuông góc với BC tại M, gọi K là giao điểm của MD và tia BA, gọi N là trung điểm của KC. Chứng minh:

a) \( AD = MD \)

b) \( \triangle BKC \) cân

c) Ba điểm B, D, N thẳng hàng.

2) Trong một buổi tập bơi, ba bạn An, Bách và Cảnh lần lượt bơi theo các đường bơi AM, BM, CM. Biết ba điểm A, B, C thẳng hàng và \( MA \) vuông góc với BC (hình vẽ) và \( \widehat{BMA} = 50^\circ \), \( \widehat{CMA} = 40^\circ \). So sánh quãng đường bơi của ba bạn và giải thích?

Bài 5. (Trích đề THCS Phúc Đồng – Hà Nội)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại A. Kẻ BD là tia phân giác của \( \widehat{ABC} \) \( (D \in AC) \). Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho \( BE = BA \).

a) Chứng minh: \( \triangle ABD = \triangle EBD \).

b) Chứng minh: \( DE = AD \) và \( DE \) vuông góc với BC.

c) Chứng minh: BD là đường trung trực của đoạn AE.

Bài 6. (Trích đề THCS Phan Chu Trinh – Hà Nội)

Cho \( \triangle ABC \), trung tuyến AD. Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho \( DA = DE \).

a) Chứng minh \( \triangle ADB = \triangle EDC \) và \( AB // EC \).

b) M là trung điểm của AB, đường thẳng MD cắt CE tại N. Chứng minh D là trung điểm MN

c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AN và AC. Chứng minh ba đường thẳng AD, BK và MH đồng quy.

Bài 7. (Trích đề THCS Ngọc Lâm – Hà Nội)

Cho \( \triangle ABC \) vuông tại A. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho \( BA = BE \), trên tia đối của tia BC lấy điểm M sao cho \( BC = BM \).

a) Chứng minh: \( \triangle ABC = \triangle EBM \).

b) Chứng minh: \( ME // AC \).

c) Kẻ MH vuông góc với đường thẳng AC \( (H \in AC) \). Gọi G là giao điểm của MA và HB, gọi I là trung điểm của MH. Chứng minh: C, G, I thẳng hàng.

Bài 8. (Trích đề sở GD&ĐT Bắc Ninh)

Cho tam giác ABC cân tại A có AM là đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng: \( \triangle AMB = \triangle AMC \).

b) Gọi N là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia NB lấy điểm D sao cho \( NB = ND \). Chứng minh rằng: \( AB // DC \).

c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho \( CA = CE \). Gọi I là trung điểm của BE. Chứng minh C, D, I thẳng hàng.

Bài 9. (Trích đề phòng GD&ĐT Phú Xuyên – Hà Nội)

Cho tam giác ABC vuông tại A có \( \widehat{B} = 50^\circ \). Trên BC lấy điểm H sao cho \( HB = BA \). Từ H, kẻ HE vuông góc với BC tại H \( (E \in AC) \).

a) Tính \( \widehat{C} \).

b) Chứng minh BE là tia phân giác của góc B .

c) Gọi K là giao điểm của BA và HE, gọi BE cắt KC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của KC.

Bài 10. (Trích đề phòng GD&ĐT Bình Thạnh – TP HCM)

Cho tam giác ABC nhọn có \( AB = AC \). Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh \( \triangle AHB = \triangle AHC \).

b) Trên tia đối của tia HA, lấy điểm M sao cho \( HM = HA \). Chứng minh \( \triangle AHB = \triangle MHC \) và \( MC // AB \).

c) Trên tia đối của tia CM, lấy điểm N sao cho C là trung điểm của MN. Gọi O là giao điểm của AC và HN, OM cắt AN tại K. Chứng minh: \( 2OK = OM \).