MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN DỤNG VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ TRONG ĐỀ THI GIỮA KÌ II CỦA CÁC TRƯỜNG

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số bài toán vận dụng về phân thức đại số trong đề thi giữa kì II của các trường

Bài 1. (Đề giữa học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 trường THCS Giảng Võ – Hà Nội)

Cho biểu thức \(A = \dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{x^2-2}{x^2-4}\) và \(B = \dfrac{x+2}{x}\), với \(x \ne \pm 2, x \ne 0\).

a) Tính giá trị biểu thức B tại \(x = 3\).

b) Cho biểu thức \(M = A \cdot B\). Chứng minh \(M = \dfrac{3}{x-2}\).

c) Tìm tất cả giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức M nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn.

a) Thay \(x = 3\) (thỏa mãn điều kiện) vào B, ta có:

\(B = \dfrac{3+2}{3} = \dfrac{5}{3}\)

Vậy \(B = \dfrac{5}{3}\) khi \(x = 3\).

b) \(M = A \cdot B = \left(\dfrac{x}{x-2} + \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{x^2-2}{x^2-4}\right)\cdot \dfrac{x+2}{x}\)

\(= \left( \dfrac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} + \dfrac{x-2}{(x-2)(x+2)} - \dfrac{x^2-2}{(x-2)(x+2)} \right)\cdot \dfrac{x+2}{x}\)

\(= \dfrac{x^2 + 2x + x - 2 - (x^2 - 2)}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x+2}{x}\)

\(= \dfrac{3x}{(x-2)(x+2)} \cdot \dfrac{x+2}{x}\)

\(= \dfrac{3}{x-2}\)

Vậy M = \( \dfrac{3}{x - 2} \)

c) Để M đạt giá trị nguyên thì \( 3 : (x - 2) \)

\( \Rightarrow x - 2 \in Ư(3) = \{-3; -1; 1; 3\} \)

\( x - 2 \)	\( -3 \)	\( -1 \)	\( 1 \)	\( 3 \)
\( x \)	\( -1 \) (thỏa mãn)	\( 1 \) (thỏa mãn)	\( 3 \) (thỏa mãn)	\( 5 \) (thỏa mãn)

Vậy \( x \in \{-1; 1; 3; 5\} \) thì M đạt giá trị nguyên.

---

Bài 2. (Đề giữa học kỳ 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường THCS Quế Thuận – Quảng Nam)

a) Rút gọn biểu thức \( P = \left( \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} \right) : \dfrac{x + 2}{x^2 - 1} \) (với \( x \ne -2 \) và \( x \ne \pm 1 \))

b) Tìm x nguyên để P nguyên.

Hướng dẫn.

a) \( P = \left( \dfrac{4}{x - 1} - \dfrac{2}{x + 1} \right) : \dfrac{x + 2}{x^2 - 1} \)

\( = \left[ \dfrac{4(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \dfrac{2(x-1)}{(x-1)(x+1)} \right] \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+2} \)

\( = \dfrac{4x + 4 - 2x + 2}{(x-1)(x+1)} \cdot \dfrac{(x-1)(x+1)}{x+2} \)

\( = \dfrac{2x + 6}{x + 2} \)

Vậy P = \( \dfrac{2x + 6}{x + 2} \)

b) \( P = \dfrac{2x + 6}{x + 2} = \dfrac{2x + 4 + 2}{x + 2} = 2 + \dfrac{2}{x + 2} \)

Để P nguyên thì \( \dfrac{2}{x + 2} \) nguyên nên \( 2 : (x + 2) \)

\( \Rightarrow x + 2 \in Ư(2) = \{-2; -1; 1; 2\} \)

\( x + 2 \)	\( -2 \)	\( -1 \)	\( 1 \)	\( 2 \)
\( x \)	\( -4 \) (thỏa mãn)	\( -3 \) (thỏa mãn)	\( -1 \) (loại)	\( 0 \) (thỏa mãn)

Vậy \( x \in \{-4; -3; 0\} \) thì P đạt giá trị nguyên.

---

Bài 3. (Đề giữa kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường THCS Chu Văn An – Bình Dương)

Cho phân thức \( A = \dfrac{x^2 - 12x + 36}{x^2 - 36} \)

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức A.

b) Rút gọn phân thức A.

c) Tính giá trị của phân thức A khi \( x = -2 \)

d) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức A bằng 2.

Hướng dẫn.

a) Điều kiện xác định của phân thức A là: \( x^2 - 36 \ne 0 \Rightarrow x^2 \ne 36 \Rightarrow x \notin \{-6; 6\} \)

b) \( A = \dfrac{x^2 - 12x + 36}{x^2 - 36} = \dfrac{(x - 6)^2}{(x - 6)(x + 6)} = \dfrac{x - 6}{x + 6} \)

c) Thay \( x = -2 \) (thỏa mãn điều kiện) vào A, ta có:

\( A = \dfrac{-2 - 6}{-2 + 6} = \dfrac{-8}{4} = -2 \)

Vậy \( A = -2 \) khi \( x = -2 \)

d) \( A = 2 \)

\( \dfrac{x - 6}{x + 6} = 2 \)

\( x - 6 = 2(x + 6) \)

\( x - 6 = 2x + 12 \)

\( x + 18 = 0 \)

\( x = -18 \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \( x = -18 \) thì \( A = 2 \).

---

Bài 4. (Đề giữa học kỳ 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường Lương Thế Vinh – Hà Nội)

Cho hai phân thức \( A = \dfrac{3x + 11}{x - 3} \); \( B = \dfrac{x - 1}{x + 3} + \dfrac{6}{x - 3} - \dfrac{2x - 18}{9 - x^2} \) với \( x \ne \pm 3 \)

a) Tính giá trị của biểu thức A tại x thỏa mãn \( |x + 2| = 1 \)

b) Tìm x để A nhận giá trị là số nguyên âm lớn nhất.

c) Chứng minh rằng \( B = \dfrac{x + 1}{x - 3} \)

d) Với \( x \ne -1 \). Đặt \( P = A : B \), tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức P là số nguyên tố.

Hướng dẫn.

a) \( |x + 2| = 1 \)

\( \Rightarrow x + 2 = 1 \) hoặc \( x + 2 = -1 \)

*) \( x + 2 = 1 \Rightarrow x = -1 \) (thỏa mãn)

Thay \( x = -1 \) vào A, ta có \( A = \dfrac{3(-1) + 11}{-1 - 3} = \dfrac{8}{-4} = -2 \)

*) \( x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3 \) (loại)

Vậy \( A = -2 \) khi \( |x + 2| = 1 \)

b) Để A đạt giá trị nguyên âm lớn nhất thì \( A = -1 \)

\( \Rightarrow \dfrac{3x + 11}{x - 3} = -1 \Rightarrow 3x + 11 = 3 - x \Rightarrow 4x + 8 = 0 \Rightarrow x = -2 \) (thỏa mãn)

Vậy \( x = -2 \) thì A đạt giá trị nguyên âm lớn nhất

c) \( B = \dfrac{x - 1}{x + 3} + \dfrac{6}{x - 3} - \dfrac{2x - 18}{9 - x^2} \)

\( = \dfrac{(x - 1)(x - 3)}{(x + 3)(x - 3)} + \dfrac{6(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} + \dfrac{2x - 18}{(x + 3)(x - 3)} \)

\( = \dfrac{x^2 - 4x + 3 + 6x + 18 + 2x - 18}{(x+3)(x-3)} \)
\( = \dfrac{x^2 + 4x + 3}{(x+3)(x-3)} = \dfrac{(x+1)(x+3)}{(x+3)(x-3)} = \dfrac{x+1}{x-3} \)

d) \( A : B = \dfrac{3x+11}{x-3} : \dfrac{x+1}{x-3} = \dfrac{3x+11}{x+1} = 3 + \dfrac{8}{x+1} \)

Để \( A : B \) là số nguyên tố thì trước hết \( A : B \) là số nguyên.

Để \( A : B \) nguyên thì \( \dfrac{8}{x+1} \) là số nguyên \( \Leftrightarrow x+1 \in U(8) = \{-8;-4;-2;-1;1;2;4;8\} \)

Ta có bảng sau:

\( x+1 \)	\( -8 \)	\( -4 \)	\( -2 \)	\( -1 \)	\( 1 \)	\( 2 \)	\( 4 \)	\( 8 \)
\( x \)	\( -9 \)	\( -5 \)	\( -3 \) (loại)	\( -2 \)	\( 0 \)	\( 1 \)	\( 3 \) (loại)	\( 7 \)
\( A : B \)	\( 2 \)	\( 1 \) (loại)		\( -5 \) (loại)	\( 11 \)	\( 7 \)		\( 4 \) (loại)

Vậy \( x \in \{-9;0;1\} \) thì giá trị của biểu thức \( P = A : B \) là số nguyên tố.

---

Bài 5. (Đề giữa kỳ 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 trường THCS Mỹ Thạnh – Bình Dương)

Cho phân thức \( \dfrac{3x + 3}{x^3 + x^2 + x + 1} \) với \( x \ne -1 \)

a) Rút gọn phân thức đã cho.

b) Tìm giá trị nguyên của \( x \) để phân thức nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn.

a) \( A = \dfrac{3x+3}{x^3 + x^2 + x + 1} = \dfrac{3(x+1)}{x^2(x+1) + (x+1)} = \dfrac{3(x+1)}{(x^2+1)(x+1)} = \dfrac{3}{x^2 + 1} \)

b) Để \( A \) đạt giá trị nguyên thì \( 3 : (x^2 + 1) \Rightarrow x^2 + 1 \in U(3) = \{-3;-1;1;3\} \)

mà \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \) nên \( x^2 + 1 \in \{1;3\} \Rightarrow x^2 \in \{0;2\} \Rightarrow x = 0 \) (do \( x \) nguyên)

Vậy \( x = 0 \) thì \( A \) nguyên.

---

Bài 6. (Đề giữa học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Tân Yên – Bắc Giang)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \dfrac{2x+1}{x^2 + 2} \)

Hướng dẫn.

\( A = \dfrac{2x+1}{x^2+2} = \dfrac{(x^2+2) - (x^2 - 2x + 1)}{x^2+2} = 1 - \dfrac{(x-1)^2}{x^2+2} \)

Có \( \dfrac{(x-1)^2}{x^2+2} \ge 0 \Rightarrow A = 1 - \dfrac{(x-1)^2}{x^2+2} \le 1 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( x = 1 \)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( A \) là \( 1 \) khi \( x = 1 \).

---

Bài 7. (Đề giữa học kỳ 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Nông Cống – Thanh Hóa)

Tìm giá trị nhỏ nhất của \( B = \dfrac{10x^2 - 24x + 15}{x^2 - 2x + 1} \).

Hướng dẫn.

Điều kiện: \( x \ne 1 \)

\( B = \dfrac{10x^2 - 24x + 15}{x^2 - 2x + 1} = \dfrac{10x^2 - 24x + 15}{(x - 1)^2} \)

Đặt \( a = x - 1 \Rightarrow x = a + 1 \). Thay vào \( B \), ta có:

\( B = \dfrac{10(a + 1)^2 - 24(a + 1) + 15}{a^2} \)

\( = \dfrac{10a^2 + 20a + 10 - 24a - 24 + 15}{a^2} \)

\( = \dfrac{10a^2 - 4a + 1}{a^2} = 10 - \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{a^2} \)

\( = 6 + \left(4 - \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{a^2} \right) = 6 + \left( \dfrac{1}{a} - 2 \right)^2 \ge 6 \text{ với mọi } a \)

Dấu “=” xảy ra khi \( \dfrac{1}{a} - 2 = 0 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{3}{2} \) (thỏa mãn)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( 6 \) xảy ra khi \( x = \dfrac{3}{2} \).

---

Bài 8. (Đề giữa học kỳ 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Lục Nam – Bắc Giang)

Cho \( x, y, z \ne 0 \) thỏa mãn \( x + y + z = xyz \) và \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 3 \).

Tính giá trị của biểu thức \( B = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2} \).

Hướng dẫn.

\( B = \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{y^2} + \dfrac{1}{z^2} \)

\( = \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \right)^2 - 2\left( \dfrac{1}{xy} + \dfrac{1}{yz} + \dfrac{1}{zx} \right) \)

\( = \left( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} \right)^2 - \dfrac{2(x + y + z)}{xyz} \)

\( = 3^2 - \dfrac{2xyz}{xyz} = 9 - 2 = 7 \)

Vậy \( B = 7 \).

---

Bài 9. (Đề giữa học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Hiệp Hòa – Bắc Giang)

Cho x, y là hai số dương thỏa mãn \( xy = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\( A = \dfrac{x}{x^4 + y^2} + \dfrac{y}{y^4 + x^2} \)

Hướng dẫn.

Áp dụng bất đẳng thức phụ \( a^2 + b^2 \ge 2ab \) (với \( a,b > 0 \)) cho \( x^2 \) và \( y \), ta có:

\( x^4 + y^2 \ge 2x^2y \Rightarrow \dfrac{x}{x^4 + y^2} \le \dfrac{1}{2xy} \)

Tương tự, ta có:

\( \dfrac{y}{y^4 + x^2} \le \dfrac{1}{2xy} \)

Suy ra:

\( A = \dfrac{x}{x^4 + y^2} + \dfrac{y}{y^4 + x^2} \le \dfrac{1}{2xy} + \dfrac{1}{2xy} = \dfrac{1}{xy} = 1 \)

Dấu “=” xảy ra khi \( xy = 1 \), \( x^2 = y \), \( y^2 = x \) \( \Rightarrow x = y = 1 \).

Vậy giá trị lớn nhất của A là \( 1 \), đạt được khi \( x = y = 1 \).

---

Bài 10. (Đề giữa kỳ 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường TH&THCS Quất Lưu – Vĩnh Phúc)

Cho số thực \( x \ne 0 \) thỏa mãn \( \dfrac{x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{1}{2024} \). Tính giá trị biểu thức \( M = \dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} \).

Hướng dẫn.

Có: \( M = \dfrac{x^2}{x^4 + x^2 + 1} = \dfrac{x^2}{x^4 + 2x^2 + 1 - x^2}\)

\( = \dfrac{x^2}{(x^2 + 1)^2 - x^2} = \dfrac{x^2}{(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)} = \dfrac{x}{2024(x^2 + x + 1)} \)

Từ giả thiết:

\( \dfrac{x}{x^2 - x + 1} = \dfrac{1}{2024} \Rightarrow \dfrac{x^2 - x + 1}{x} = 2024 \quad (\text{do } x \ne 0) \)

\( \Rightarrow \dfrac{x^2 + x + 1}{x} - 2 = 2024 \Rightarrow \dfrac{x^2 + x + 1}{x} = 2026 \Rightarrow \dfrac{x}{x^2 + x + 1} = \dfrac{1}{2026} \)

Khi đó:

\( M = \dfrac{1}{2024 \cdot 2026} \)