CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA LŨY THỪA LỚP 6

I. LÝ THUYẾT

Để tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta thường đưa về các lũy thừa vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng khi nâng lên lũy thừa với số mũ là số tự nhiên khác 0 bất kỳ.

1. Tìm một chữ số tận cùng

- Các số có tận cùng là 0; 1; 5; 6 lũy thừa lên với số mũ khác 0 thì tận cùng vẫn là 0; 1; 5; 6.

- Với các số có tận cùng khác 0; 1; 5; 6, ta đưa về một trong các dạng nói trên để tìm tận cùng của các số đó.

Chú ý: Với \( k \in \mathbb{N}^* \), ta có:

+ Một số chẵn, ta đặt là \( 2k \)

+ Một số lẻ, ta đặt là \( 2k + 1 \)

+ Một số chia hết cho 4, ta đặt là \( 4k \)

2. Tìm hai chữ số tận cùng

- Các số có tận cùng là 00; 01; 25; 76 lũy thừa lên với số mũ là số tự nhiên khác 0 vẫn tận cùng là 00; 01; 25; 76.

Chú ý:

+) \( 2^{20} ; 4^{10} ; 6^5 ; 16^5 ; 18^4 ; 24^2 ; 74^2 \) có tận cùng là 76

+) \( 3^{20} ; 7^4 ; 9^{10} ; 51^2 ; 81^5 ; 99^2 \) có tận cùng là 01

+) \( 26^n \) (\( n \in \mathbb{N} ; n > 1 \)) có tận cùng là 76

II. BÀI TẬP

Bài 1. Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa sau:

a) \( 5^{100} \)

b) \( 2^{2022} \)

c) \( 3^{2023} \)

d) \( 14^{2024} \)

e) \( 27^{2025} \)

f) \( 38^{2026} \)

Bài 2. Tìm chữ số tận cùng của các phép tính lũy thừa sau:

a) \( 23^{2001} - 12^{50} \)

b) \( 7^{40} - 3^{45} \)

c) \( 3^{101} \cdot 8^{103} \)

d) \( 101^5 + 103^5 + 105^5 \)

Bài 3. Tìm chữ số tận cùng của các lũy thừa tầng sau: \( 123^{4^5} ; 357^{8^9} ; 24^{23^{67}} \)

Bài 4. Cho \( n \in \mathbb{N}^* \), chứng minh rằng:

a) \( 16^n + 2^{82} \) chia hết cho 10;

b) \( 9^{2n} - 1 \) chia hết cho 10;

c) \( 4^n + 1 \) chia hết cho 5 với \( n \) là số tự nhiên lẻ;

d) \( n^5 - n \) chia hết cho 10.

Bài 5. Tìm hai chữ số tận cùng của các số:

a) \( 7^{21} \)

b) \( 2^{100} \)

Bài 6. Tìm chữ số tận cùng của các tổng sau:

a) \( M = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2024} + 3^{2025} \);

b) \( N = 100^{401} - 99^{397} + 98^{393} - \ldots + 2^9 - 1^5 \)

Bài 7. Tìm các số tự nhiên \( a, b \) biết: \( 15^a + 63 = b^2 \).

Bài 8. Cho \( H = 1234567891011121314151617 \ldots \) được viết bởi các số tự nhiên liên tiếp và có 121 chữ số. Số \( H^{2019} \) có chữ số tận cùng là chữ số nào?

Bài 9. Tìm 2 chữ số tận cùng của \( 1976^{66} \cdot 2015^{77} \)

Bài 10. Tìm ba chữ số tận cùng của số: \( 123^{101} \)