CHỦ ĐỀ TẬP HỢP - TÍNH CHẤT CHIA HẾT - LUỸ THỪA (PHẦN 3)

CHỦ ĐỀ TẬP HỢP - TÍNH CHẤT CHIA HẾT - LUỸ THỪA (PHẦN 3)

MATHX gửi Quý phụ huynh và các em học sinh chủ đề tập hợp - tính chất chia hết - luỹ thừa - phần tiếp theo trong học kì 1 lớp 6 kèm đáp án tham khảo.

Bài 1. Cho \( A = 2021^3 \) và \( B = 2020 \cdot 2021 \cdot 2022 \). Không tính cụ thể các giá trị của A và B, hãy so sánh A và B.

Hướng dẫn

Có: \( A = 2021^3 = 2021 \cdot 2021 \cdot 2021 \)

\( B = 2020 \cdot 2021 \cdot 2022 \)

\( \;\;\; = (2021 - 1) \cdot 2021 \cdot (2021 + 1) \)

\( \;\;\; = (2021 \cdot 2021 - 2021)(2021 + 1) \)

\( \;\;\; = 2021 \cdot 2021 \cdot 2021 + 2021 \cdot 2021 - 2021 \cdot 2021 - 2021 \)

\( \;\;\; = 2021 \cdot 2021 \cdot 2021 - 2021 \)

Vậy \( A > B \).

Bài 2. Thực hiện phép tính: \( 2025 - 5^{2025} : (30 \cdot 5^{2023} - 5^{2024}) \).

Hướng dẫn

\( 2025 - 5^{2025} : (30 \cdot 5^{2023} - 5^{2024}) \)

\( = 2025 - 5^{2025} : (6 \cdot 5 \cdot 5^{2023} - 5^{2024}) \)

\( = 2025 - 5^{2025} : (6 \cdot 5^{2024} - 5^{2024}) \)

\( = 2025 - 5^{2025} : (5 \cdot 5^{2024}) \)

\( = 2025 - 5^{2025} : 5^{2025} \)

\( = 2025 - 1 \)

\( = 2024 \)

Vậy kết quả bằng \( 2024 \).

Bài 3. Cho \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} \). Chứng minh rằng A là bội của 120.

Hướng dẫn

Cho \( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} \). Chứng minh A là bội của 120.

\( A = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{2024} \)

\( A = (3+3^2+3^3+3^4) + (3^5+3^6+3^7+3^8) + \dots + (3^{2021}+3^{2022}+3^{2023}+3^{2024}) \)

\( A = 120 + 3^4(3+3^2+3^3+3^4) + \dots + 3^{2020}(3+3^2+3^3+3^4) \)

\( A = 120(1+3^4+ \dots + 3^{2020}) \)

Ta có A chia hết cho 120. Vậy A là bội của 120.

Bài 4. Chứng minh rằng: \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{119} \) chia hết cho 13.

Hướng dẫn

\( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{119} \)

\( A = (1+3+3^2) + (3^3+3^4+3^5) + \dots + (3^{117}+3^{118}+3^{119}) \)

\( A = 13 + 3^3(1+3+3^2) + \dots + 3^{117}(1+3+3^2) \)

\( A = 13(1+3^3+ \dots + 3^{117}) \) ⇒ A chia hết cho 13.

Bài 4. Cho \( A = a + a^2 + a^3 + \dots + a^{2024} \). Chứng tỏ \( A : (a+a^5+a^9+\dots+a^{2021}) \).

Hướng dẫn

Ta có:

\( A = a+a^2+a^3+\dots+a^{2024} \)

\( A = (a+a^2+a^3+a^4)+(a^5+a^6+a^7+a^8)+(a^9+a^{10}+a^{11}+a^{12})+\dots+(a^{2021}+a^{2022}+a^{2023}+a^{2024}) \)

\( A = (1+a+a^2+a^3)(a+a^5+a^9+\dots+a^{2021}) \)

Nên \( A : (a+a^5+a^9+\dots+a^{2021}) \).

Bài 5. Cho \( A = 1+2+2^2+\dots+2^{200} \). Viết A+1 dưới dạng một lũy thừa.

Hướng dẫn

\( A = 1+2+2^2+\dots+2^{200} \)

\( 2A = 2+2^2+2^3+\dots+2^{201} \)

\( 2A-A = 2+2^2+2^3+\dots+2^{201}-(1+2+2^2+\dots+2^{200}) \)

\( \Rightarrow A = 2^{201}-1 \)

\( \Rightarrow A+1 = 2^{201} \)

Bài 6. Tìm số tự nhiên x, biết: \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} + \dots + 2^{2020} = 2^{2024} - 8 \).

Hướng dẫn

Ta có:

\( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + \dots + 2^{2020} = 2^{2024} - 8 \)

Vì \( 2^x + 2^{x+1} + 2^{x+2} + \dots + 2^{2020} = 2^x \cdot (1+2+2^2+\dots+2^{2020-x}) \)

\( = 2^x(2^{2021-x}-1) = 2^{2021} - 2^3 \)

\( \Rightarrow 2^x(2^{2021-x}-1) = 2^3(2^{2021}-1) \)

Suy ra: \( 2^x = 2^3 \Rightarrow x=3 \).

Vậy \( x=3 \).

Bài 7. Cho tổng: \( S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2024} \). Tìm số tự nhiên x để: \( 2S+3=3^x \).

Hướng dẫn

\( S = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2024} \)

\( 3S = 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{2025} \)

\( 2S = 3^{2025} - 3 \)

\( \Rightarrow 2S+3 = 3^{2025} \)

Vậy \( x=2025 \).

Bài 8. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x, y), biết: \( 5^x - 624 = 2024^y \).

Hướng dẫn

Với mọi \( x \in \mathbb{N} \) thì \( 5^x \) là số lẻ, mà 624 là số chẵn, suy ra \( 2024^y \) là số lẻ. Điều này chỉ xảy ra khi \( y = 0 \).

Khi đó: \( 5^x - 624 = 2024^0 = 1 \)

\( 5^x = 625 = 5^4 \Rightarrow x = 4 \)

Vậy cặp số tự nhiên (x, y) là \( (4;0) \).

Bài 9. Cho \( n \in \mathbb{N}^* \). Chứng tỏ rằng \( 10^n + 18n - 1 \) chia hết cho 27.

Hướng dẫn

Ta có:

\( 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) - 9n + 27n \)

\( = 99\dots9 - 9n + 27n \) (gồm n chữ số 9)

\( = 9 \cdot (11\dots1 - n) + 27n \) (trong đó có n chữ số 1)

Vì số \( (11\dots1 - n) \) chia hết cho 9 nên biểu thức chia hết cho 27.

Vậy \( 10^n + 18n - 1 \vdots 27 \).

Bài 10. Tìm x biết: \( 2^{x+1} + 2^{x+2} + 2^{x+3} + \dots + 2^{x+48} + 2^{x+49} = 2^{54} - 32 \).

Hướng dẫn

\( 2^{x+1} + 2^{x+2} + \dots + 2^{x+49} = 2^{54} - 32 \)

\( = 2^x(2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{49}) \)

\( = 2^x(2^{50} - 2) \)

Vậy ta có: \( 2^x(2^{50} - 2) = 2^{54} - 2^5 \)

\( 2^x(2^{50} - 2) = 2^4(2^{50} - 2) \)

Suy ra \( 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 \).