MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ TỈ LỆ THỨC NÂNG CAO

Tính chất của tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Tính chất 1. Nếu \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) thì \( ad = bc \).

Tính chất 2. Nếu \( ad = bc \) với \( a,b,c,d \neq 0 \) thì ta có các tỉ lệ thức tương đương (đổi chéo tử – mẫu, nghịch đảo, hoán vị): \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},\; \dfrac{b}{a} = \dfrac{d}{c},\; \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d},\; \dfrac{c}{a} = \dfrac{d}{b}. \)

Tính chất 3. Từ tỉ lệ thức \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \) suy ra dãy tỉ số bằng nhau \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{a-c}{b-d} \) (khi các mẫu khác 0).

Tính chất 4. Từ dãy tỉ số \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{g} \) suy ra các tỉ lệ thức bằng nhau: \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d},\; \dfrac{a}{b} = \dfrac{e}{g},\; \dfrac{c}{d} = \dfrac{e}{g},\; \dfrac{a+c+e}{b+d+g} = \dfrac{a-c+e}{b-d+g} \) (các phân thức có nghĩa).

Tính chất 5. Cho \( a,b,c \) tỉ lệ thuận với \( x,y,z \), tức là \( \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z} \).

Tính chất 6. Cho \( a,b,c \) tỉ lệ nghịch với \( x,y,z \), tức là \( ax = by = cz \).

Trong các đẳng thức trên, điều kiện là các mẫu khác 0.

Bài tập vận dụng

Bài 1.

Cho \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \). Chứng minh rằng \( \dfrac{a-b}{c-d} = \dfrac{a^4 + b^4}{c^4 + d^4}. \)

Bài 2.

Cho các số thực \( a,b,c,d \) thỏa mãn \( a + c = 2b \) và \( 2bd = c(b + d) \) (với \( b,d \neq 0 \)). Chứng minh rằng \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}. \)

Bài 3.

Cho các số thực \( a,b,c,d \) khác 0 và khác nhau thỏa mãn \( b^2 = ac,\; c^2 = bd \) và \( b^3 + c^3 + d^3 = 0 \). Chứng minh rằng \( \dfrac{a^3 + b^3 + c^3}{b^3 + c^3 + d^3} = \dfrac{a}{d}. \)

Bài 4.

Cho \( a,b,c \) là các số khác nhau và khác 0, thỏa mãn \( a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) \). Chứng minh rằng \( \dfrac{y-z}{a(b-c)} = \dfrac{z-x}{b(c-a)} = \dfrac{x-y}{c(a-b)}. \)

Bài 5.

Cho các số thực \( a,b,c,x,y,z \) với \( a,b,c \neq 0 \) thỏa mãn \( \dfrac{bz - cy}{a} = \dfrac{cx - az}{b} = \dfrac{ay - bx}{c}. \) Chứng minh rằng \( \dfrac{x}{a} = \dfrac{y}{b} = \dfrac{z}{c}. \)

Bài 6.

Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn \((x + y) : (5 - z) : (y + z) : (9 + y) = 3 : 1 : 2 : 5.\)

Bài 7.

Tổng các lũy thừa bậc ba của ba số là \(-1009\). Biết tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ hai là \( \dfrac{2}{3} \), tỉ số giữa số thứ nhất và số thứ ba là \( \dfrac{4}{9} \). Tìm ba số đó.

Bài 8.

Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn \( \dfrac{ab}{a + b} = \dfrac{bc}{b + c} = \dfrac{ca}{c + a}. \) Tính giá trị của biểu thức \( P = \dfrac{ab^{2} + bc^{2} + ca^{2}}{a^{3} + b^{3} + c^{3}} \) (các mẫu thức khác 0).

Bài 9.

Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.

Bài 10.

Tìm ba phân số có tổng bằng \(-3\dfrac{3}{70}\). Biết tử của chúng tỉ lệ với 3; 4; 5 còn mẫu của chúng tỉ lệ với 5; 1; 2.

Bài 11.

Độ dài ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Hỏi độ dài ba đường cao của tam giác tỉ lệ với ba số nào?