MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh một số bài toán về xác suất và thống kê kèm đáp án chi tiết.

Câu 1. Một hộp có 30 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số từ 1 đến 30. Hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.

a) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 5”.

b) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho cả 2 và 5”.

c) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số có hai chữ số và tổng các chữ số bằng 6”.

Hướng dẫn.

\( \Omega = \{1;2;\ldots;30\} \Rightarrow n(\Omega)=30 \)

a) Gọi \( A \) là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 5”.

\( A = \{5;10;15;20;25;30\} \Rightarrow n(A)=6 \)

Xác suất của biến cố \( A \) là: \( P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{6}{30}=\dfrac{1}{5} \)

b) Gọi \( B \) là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số chia hết cho 2 và 5”.

\( B=\{10;20;30\} \Rightarrow n(B)=3 \)

Xác suất của biến cố \( B \) là: \( P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{3}{30}=\dfrac{1}{10} \)

c) Gọi \( C \) là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số có hai chữ số và tổng các chữ số bằng 6”.

\( C=\{15;24\} \Rightarrow n(C)=2 \)

Xác suất của biến cố \( C \) là: \( P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15} \)

Câu 2. Một hộp có 50 thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số từ 1 đến 50. Hai thẻ khác nhau thì ghi số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp.

a) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số có chữ số 5”.

b) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố”.

c) Tính xác suất của biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là bội của 10”.

Hướng dẫn.

\( \Omega = \{1;2;\ldots;50\} \Rightarrow n(\Omega)=50 \)

a) Gọi \( A \) là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số có chữ số 5”.

\( A = \{5;15;25;35;45;50\} \Rightarrow n(A)=6 \)

Xác suất của biến cố \( A \) là: \( P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{6}{50}=\dfrac{3}{25} \)

b) Gọi \( B \) là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là số nguyên tố”.

\( B=\{2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47\} \Rightarrow n(B)=15 \)

Xác suất của biến cố \( B \) là: \( P(B)=\dfrac{n(B)}{n(\Omega)}=\dfrac{15}{50}=\dfrac{3}{10} \)

c) Gọi \( C \) là biến cố: “Số xuất hiện trên thẻ là bội của 10”.

\( C=\{10;20;30;40;50\} \Rightarrow n(C)=5 \)

Xác suất của biến cố \( C \) là: \( P(C)=\dfrac{n(C)}{n(\Omega)}=\dfrac{5}{50}=\dfrac{1}{10} \)

Câu 3. Lớp 8A có 40 học sinh trong đó 20 em thích chơi bóng đá, 15 em thích chơi đánh cầu, 5 em thích chơi cả bóng đá và đánh cầu. Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 8A, tính xác suất để học sinh đó không thích chơi môn thể thao nào?

Hướng dẫn.

Số học sinh chơi ít nhất một môn là: \( 20 + 15 - 5 = 30 \) (em)

Số học sinh không thích chơi môn thể thao là: \( 40 - 30 = 10 \) (em)

Xác suất để học sinh không thích chơi môn thể thao là: \( \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4} \)

Câu 4. Lớp 8B có 30 học sinh trong đó 15 em thích chơi đá cầu, 23 em thích chơi bóng chuyền. Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 8B, tính xác suất để học sinh thích chơi cả hai môn đá cầu và bóng chuyền, biết rằng cả lớp 8B đều thích chơi ít nhất một môn.

Hướng dẫn.

Số học sinh lớp 8B thích chơi cả hai môn là: \( 15 + 23 - 30 = 8 \) (em)

Xác suất để học sinh lớp 8B thích chơi cả hai môn là: \( \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15} \)

Câu 5. Hình bên mô tả hình tròn được chia làm 8 phần bằng nhau, mỗi phần được đánh số từ 1 đến 8. Chiếc kim được gắn một đầu vào tâm của hình tròn. Quay hình tròn một lần. Tính xác suất của biến cố:

a) Tính xác suất của biến cố: “Quay được số nhỏ hơn 3”.

b) Tính xác suất của biến cố: “Quay được số lớn hơn 4”.

c) Tính xác suất của biến cố: “Quay được số là ước của 8”.

Hướng dẫn.

\( \Omega = \{1;2;\ldots;8\} \Rightarrow n(\Omega) = 8 \)

a) Gọi A là biến cố: “Quay được số nhỏ hơn 3”.

\( A = \{1;2\} \Rightarrow n(A) = 2 \)

Xác suất của biến cố A là: \( P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \)

b) Gọi B là biến cố: “Quay được số lớn hơn 4”.

\( B = \{5;6;7;8\} \Rightarrow n(B) = 4 \)

Xác suất của biến cố B là: \( P(B) = \dfrac{n(B)}{n(\Omega)} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \)

c) Gọi C là biến cố: “Quay được số là ước của 8”.

\( C = \{1;2;4;8\} \Rightarrow n(C) = 4 \)

Xác suất của biến cố C là: \( P(C) = \dfrac{n(C)}{n(\Omega)} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} \)

Câu 6. Một hộp có 1 quả bóng cam, 1 quả bóng vàng và 1 quả bóng xanh; các quả bóng có kích thước và khối lượng như nhau. Mỗi lần lấy ngẫu nhiên 1 quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Trong 30 lần lấy bóng liên tiếp, quả bóng cam xuất hiện 10 lần; quả bóng vàng xuất hiện 8 lần.

a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu cam”.

b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng”.

c) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu xanh”.

Hướng dẫn.

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu cam” là: \( \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3} \)

b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng” là: \( \dfrac{8}{30} = \dfrac{4}{15} \)

c) Trong 30 lần bốc có: \( 30 - 8 - 10 = 12 \) quả bóng màu xanh.

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu xanh” là: \( \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5} \)

Câu 7. Bạn An và Bình cùng chơi trò tung đồng xu, kí hiệu S là mặt sấp và N là mặt ngửa. Mỗi bạn tung 10 lần và thu được kết quả và được ghi lại trong bảng sau:

a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Bạn An tung được mặt sấp”.

b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Bạn Bình tung được mặt ngửa”.

Hướng dẫn.

a) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Bạn An tung được mặt sấp” là \( \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \).

b) Xác suất thực nghiệm của biến cố “Bạn Bình tung được mặt ngửa” là \( \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5} \).

Câu 8. Gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc 45 lần liên tiếp có 20 lần xuất hiện mặt một chấm. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt một chấm”. Nêu mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm của biến cố này với xác suất của biến cố đó khi số lần tung xúc xắc ngày càng lớn.

Hướng dẫn.

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc là mặt một chấm” là \( \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9} \).

Khi số lần tung xúc xắc ngày càng lớn, xác suất thực nghiệm của biến cố này càng gần với xác suất của biến cố đó.

Câu 9. Biểu đồ cột kép biểu diễn giá trị của bốn nhóm hàng xuất khẩu của Việt Nam qua các năm 2020; 2021.

a) Lập bảng thống kê trị giá của bốn nhóm hàng xuất khẩu của Việt Nam vào năm 2020 và năm 2021 (Đơn vị: Tỷ USD).

b) Một bài báo có nêu thông tin: “Năm 2021, sản phẩm điện tử xuất khẩu tăng 4,7 tỷ USD so với năm 2020; Tổng trị giá của bốn mặt hàng xuất khẩu của Việt Nam năm 2020 chiếm khoảng 86,2% tổng trị giá của bốn mặt hàng xuất khẩu của Việt Nam năm 2021”. Thông tin của bài báo đó có chính xác không?

Hướng dẫn.

a) Bảng thống kê trị giá của bốn nhóm hàng xuất khẩu của Việt Nam vào năm 2020 và năm 2021 (Đơn vị: Tỷ USD)

b) Năm 2021, sản phẩm điện tử xuất khẩu tăng \( 55{,}5 - 50{,}8 = 4{,}7 \) tỷ USD so với năm 2020.

Năm 2020, tổng trị giá bốn mặt hàng xuất khẩu là \( 110{,}3 \) tỷ USD.

Năm 2021, tổng trị giá bốn mặt hàng xuất khẩu là \( 127{,}9 \) tỷ USD.

Vậy tổng trị giá của bốn mặt hàng xuất khẩu năm 2020 chiếm \( \dfrac{110{,}3}{127{,}9} \cdot 100\% \approx 86{,}2\% \) so với năm 2021.

Câu 10. Biểu đồ hình quạt tròn biểu diễn tỉ lệ phần trăm diện tích các loại rừng (rừng tự nhiên, rừng trồng).

a) Diện tích rừng tự nhiên gấp mấy lần diện tích rừng trồng?

b) Biết rằng tổng diện tích rừng là 245,1 nghìn ha. Tính diện tích rừng tự nhiên và rừng trồng.

Hướng dẫn.

Diện tích rừng tự nhiên gấp \( \dfrac{72}{28} \approx 2,57\) lần diện tích rừng trồng.

Diện tích rừng tự nhiên là \( 245{,}1 \cdot 72\% = 176{,}472 \) nghìn ha.

Diện tích rừng trồng là \( 245{,}1 \cdot 28\% = 68{,}628 \) nghìn ha.

Vậy bài báo nêu thông tin chính xác.