CÁC Ý CUỐI TRONG ĐỀ THI CUỐI KỲ II CỦA CÁC TRƯỜNG

MATHX gửi quý phụ huynh và các em học sinh các ý cuối trong đề thi cuối kỳ II của các trường.

Bài 1. (Đề cuối học kì 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT Đan Phượng – Hà Nội)

Giải phương trình: \( \dfrac{x-241}{17} + \dfrac{x-220}{19} + \dfrac{x-195}{21} + \dfrac{x-166}{23} = 10 \)

Hướng dẫn.

\( \dfrac{x-241}{17} + \dfrac{x-220}{19} + \dfrac{x-195}{21} + \dfrac{x-166}{23} = 10 \)

\( \left(\dfrac{x-241}{17} - 1\right) + \left(\dfrac{x-220}{19} - 2\right) + \left(\dfrac{x-195}{21} - 3\right) + \left(\dfrac{x-166}{23} - 4\right) = 0 \)

\( \dfrac{x-258}{17} + \dfrac{x-258}{19} + \dfrac{x-258}{21} + \dfrac{x-258}{23} = 0 \)

\( (x-258)\left(\dfrac{1}{17} + \dfrac{1}{19} + \dfrac{1}{21} + \dfrac{1}{23}\right) = 0 \)

\( x - 258 = 0 \Rightarrow x = 258 \)

Vậy phương trình có nghiệm là \( x = 258 \).

Bài 2. (Đề cuối kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường THCS Phúc Đồng – Hà Nội)

Giải phương trình: \( (2024 - x)^3 + (2026 - x)^3 + (2x - 4050)^3 = 0 \)

Hướng dẫn.

Đặt \( a = 2024 - x \), \( b = 2026 - x \) ⇒ \( a + b = 4050 - 2x \), \( 2x - 4050 = -(a+b) \)

Phương trình trở thành: \( a^3 + b^3 - (a+b)^3 = 0 \)

\( a^3 + b^3 - (a+b)^3 = 0\)

\( a^3 + b^3 -a^3-b^3-3ab (a+b)= 0\)

\( ab(a+b) = 0 \)

TH 1: \( a = 0 \Rightarrow 2024 - x = 0 \Rightarrow x = 2024 \)

TH 2: \( b = 0 \Rightarrow 2026 - x = 0 \Rightarrow x = 2026 \)

TH 3: \( a + b = 0 \Rightarrow 2x - 4050 = 0 \Rightarrow x = 2025 \)

Vậy phương trình có nghiệm \( x \in \{2024;2025;2026\} \)

Bài 3. (Đề học kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường THCS Ngọc Lâm – Hà Nội)

Cho phương trình \( m^2x + 2m - 8 = 16x \) (1) (m là tham số). Tìm m để phương trình (1) là phương trình bậc nhất ẩn x và có nghiệm là số nguyên.

Hướng dẫn.

\( m^2x + 2m - 8 = 16x \)

\( (m^2 - 16)x + 2m - 8 = 0 \)

Để phương trình (1) là phương trình bậc nhất ẩn x thì \( m^2 - 16 \ne 0 \Rightarrow m \ne \pm 4 \)

Khi đó nghiệm của phương trình là \( x = \dfrac{8 - 2m}{m^2 - 16} = \dfrac{-2}{m + 4} \)

Để phương trình có nghiệm nguyên thì \( m + 4 \in U(2) = \{-2;-1;1;2\} \)

\( \Rightarrow m \in \{-6;-5;-3;-2\} \) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy \( m \in \{-6;-5;-3;-2\} \) thì phương trình (1) là phương trình bậc nhất ẩn x và có nghiệm là số nguyên.

Bài 4. (Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bắc Giang)

Cho \( x, y, z \) là các số thực khác 0, đôi một khác nhau thỏa mãn \( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0 \) và \( x + y + z \ne 0 \). Tính giá trị biểu thức:

\( P = \dfrac{yz}{x^2 + 2yz} + \dfrac{zx}{y^2 + 2zx} + \dfrac{xy}{z^2 + 2xy} + \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{(x+y+z)^2} \)

Hướng dẫn.

\( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = 0 \Rightarrow \dfrac{xy + yz + zx}{xyz} = 0 \Rightarrow xy + yz + zx = 0 \Rightarrow yz = -xy - xz \)

\( \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{(x+y+z)^2} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)} = \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{x^2 + y^2 + z^2} = 1 \)

\( \dfrac{yz}{x^2 + 2yz} = \dfrac{yz}{x^2 + yz + yz} = \dfrac{yz}{x^2 + yz - xy - xz} = \dfrac{yz}{(x - y)(x - z)} \)

Tương tự, ta có:

\( \dfrac{zx}{y^2 + 2zx} = \dfrac{zx}{(y - x)(y - z)};\quad \dfrac{xy}{z^2 + 2xy} = \dfrac{xy}{(z - x)(z - y)} \)

\( \dfrac{yz}{x^2 + 2yz} + \dfrac{zx}{y^2 + 2zx} + \dfrac{xy}{z^2 + 2xy} = \dfrac{yz}{(x-y)(x-z)} + \dfrac{zx}{(y-x)(y-z)} + \dfrac{xy}{(z-x)(z-y)} \)

\( = \dfrac{-yz(y - z) - zx(z - x) - xy(x - y)}{(x - y)(y - z)(z - x)} \)

\( = \dfrac{-yz(y - z) - zx(z - y + y - x) - xy(x - y)}{(x - y)(y - z)(z - x)} \)

\( = \dfrac{-yz(y - z) - zx(z - y) - zx(y - x) - xy(x - y)}{(x - y)(y - z)(z - x)} \)

\( = \dfrac{(x - y)(y - z)(z - x)}{(x - y)(y - z)(z - x)} = 1 \)

\( P = \dfrac{yz}{x^2 + 2yz} + \dfrac{zx}{y^2 + 2zx} + \dfrac{xy}{z^2 + 2xy} + \dfrac{x^2 + y^2 + z^2}{(x + y + z)^2} = 1 + 1 = 2 \)

Vậy \( P = 2 \)

Bài 5. (Đề học kỳ 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Hải Hậu – Nam Định)

a) Cho biểu thức \( P = \dfrac{2}{x - 2024} \). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \( x \) sao cho biểu thức \( P \) nhận giá trị là một số nguyên.

b) Cho các số thực \( a \ne 0; b \ne 0; c \ne 0 \) và \( \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} = a + b + c \). Tính giá trị của biểu thức:

\( A = \dfrac{a^2 + b^2}{(a + c)(b + c)} + \dfrac{b^2 + c^2}{(b + c)(c + a)} + \dfrac{a^2 + c^2}{(c + a)(c + b)} \)

Hướng dẫn.

a) Điều kiện \( x \ne 2024 \)

Để \( P = \dfrac{2}{x - 2024} \) là số nguyên thì \( x - 2024 \in Ư(2) = \{-2; -1; 1; 2\} \)

\( \Rightarrow x \in \{2022; 2023; 2025; 2026\} \)

Vậy \( x \in \{2022; 2023; 2025; 2026\} \) thì \( P \) là số nguyên

b) \( \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} = a + b + c \)

\( \dfrac{abc}{a^2} + \dfrac{abc}{b^2} + \dfrac{abc}{c^2} = a + b + c \)

\( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{a + b + c}{abc} \)

\( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ca} \)

\( \dfrac{2}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} + \dfrac{2}{c^2} = \dfrac{2}{ab} + \dfrac{2}{bc} + \dfrac{2}{ca} \)

\( \left( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} \right)^2 = 0 \)

Có \( \left( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} \right)^2 \ge 0 \); \( \left( \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \right)^2 \ge 0 \); \( \left( \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} \right)^2 \ge 0 \)

\( \Rightarrow \left( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} \right)^2 + \left( \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} \right)^2 \ge 0 \)

Dấu bằng xảy ra khi \( \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = 0; \dfrac{1}{b} - \dfrac{1}{c} = 0; \dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} = 0 \) \( \Rightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{c} \Rightarrow a = b = c \)

\( A = \dfrac{a^2 + b^2}{(a + c)(b + c)} + \dfrac{b^2 + c^2}{(b + c)(c + a)} + \dfrac{a^2 + c^2}{(c + a)(c + b)} \)

\( A = \dfrac{a^2 + a^2}{(a + a)(a + a)} + \dfrac{a^2 + a^2}{(a + a)(a + a)} + \dfrac{a^2 + a^2}{(a + a)(a + a)} = 3 \cdot \dfrac{2a^2}{4a^2} = \dfrac{3}{2} \)

Vậy \( A = \dfrac{3}{2} \)

Bài 6. (Đề cuối học kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 phòng GD&ĐT Hương Khê – Hà Tĩnh)

Cho các số thực \( x, y, z \) thỏa mãn \( xyz = 2025 \). Tính giá trị biểu thức

\( A = \dfrac{2025x}{xy + 2025x + 2025} + \dfrac{y}{yz + y + 2025} + \dfrac{z}{xz + z + 1} \)

Hướng dẫn.

\( A = \dfrac{2025x}{xy + 2025x + 2025} + \dfrac{y}{yz + y + 2025} + \dfrac{z}{xz + z + 1} \)

\( = \dfrac{2025xz}{xyz + 2025xz + 2025z} + \dfrac{y}{yz + y + xyz} + \dfrac{z}{xz + z + 1} \)

\( = \dfrac{2025xz}{2025 + 2025xz + 2025z} + \dfrac{y}{yz + y + xyz} + \dfrac{z}{xz + z + 1} \)

\( = \dfrac{xz}{1 + xz + z} + \dfrac{1}{z + 1 + xz} + \dfrac{z}{xz + z + 1} \)

\( = \dfrac{xz + z + 1}{xz + z + 1} = 1 \)

Vậy \( A = 1 \)

Bài 7. (Đề học kỳ 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 phòng GD&ĐT thành phố Thái Bình)

Tìm hai số thực \( a, b \) thỏa mãn \( ab = \sqrt{2} \) và \( a^3 + 2\sqrt{2}b^3 = 9 \)

Hướng dẫn.

Đặt \( x = b\sqrt{2} \), ta có \( ax = 2; \ a^3 + x^3 = 9 \)

\( a^3 + x^3 = (a + x)^3 - 3ax(a + x) = (a + x)^3 - 6(a + x) = 9 \)

Đặt \( m = a + x \) \( \Rightarrow m^3 - 6m - 9 = 0 \)

\( m^3 - 3m^2 + 3m^2 - 9m + 3m - 9 = 0 \)
\( m^2(m - 3) + 3m(m - 3) + 3(m - 3) = 0 \)
\( (m - 3)(m^2 + 3m + 3) = 0 \)
Có \( m^2 + 3m + 3 = \left(m + \dfrac{3}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0 \) với mọi \( m \)
\( \Rightarrow m - 3 = 0 \Rightarrow m = 3 \Rightarrow a + x = 3 \Rightarrow x = 3 - a \)
Có \( ax = 2 \Rightarrow a(3 - a) = 2 \Rightarrow a^2 - 3a + 2 = 0 \Rightarrow a \in \{1; 2\} \)
TH 1: \( a = 1 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow b = \sqrt{2} \)
TH 2: \( a = 2 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow b = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \)
Vậy \( (a, b) \in \{(1; \sqrt{2}); (1; \dfrac{1}{\sqrt{2}})\} \)

Bài 8. (Đề học kỳ 2 Toán 8 năm 2023 – 2024 trường THCS Lê Quý Đôn – Hà Nội)
Cho \( a, b \) là các số thực không âm thỏa mãn \( a^2 + b^2 = 1 \)
Đặt \( P = \dfrac{2ab}{a + b + 1} \). Chứng minh \( (P + 1)^2 \le 2 \)

Hướng dẫn.

\( P = \dfrac{2ab}{a + b + 1} = \dfrac{(a + b)^2 - 1}{a + b + 1} \)
Đặt \( a + b = x \Rightarrow P = \dfrac{x^2 - 1}{x + 1} = x - 1 \Rightarrow (P + 1)^2 = x^2 \)
Có \( x^2 = 1 + 2ab \le 1 + (a^2 + b^2) = 2 \) \( (2ab \le a^2 + b^2 \text{ do } (a - b)^2 \ge 0) \)
Vậy \( (P + 1)^2 \le 2 \)

Bài 9. (Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Bắc Ninh)
Trên bia mộ của nhà toán học Diophantus, sống ở thời cổ Hy Lạp có ghi lại những dòng chữ sau: “Hỡi khách qua đường! Đây là nơi Diophantus vĩnh hằng an nghỉ. Những con số dưới đây sẽ cho bạn biết cuộc đời của ông: \( \dfrac{1}{6} \) cuộc đời là tuổi thơ hạnh phúc. \( \dfrac{1}{12} \) cuộc đời tiếp theo đã mọc lơ thơ những sợi ria trên mép. Phải trải qua thêm \( \dfrac{1}{7} \) cuộc đời nữa ông mới lấy vợ. Sau đó là 5 năm hạnh phúc và ông có một đứa con trai. Nhưng cuộc sống đẹp đẽ của đứa trẻ này chỉ bằng \( \dfrac{1}{2} \) cuộc đời bố nó. Sau khi đứa con qua đời được 4 năm, người bố sống trong đau buồn sâu lắng, rồi kết thúc cuộc đời trần thế.”
Hãy tính tuổi của ông.

Hướng dẫn.

Gọi tuổi của nhà toán học Diophantus là \(x\) (tuổi) \((x\in\mathbb{N}^*)\)

Tổng cuộc đời của nhà toán học Diophantus là: \( \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{7} + 5 + \dfrac{x}{2} + 4 \)
Ta có phương trình \( \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{7} + 5 + \dfrac{x}{2} + 4 = x \)
\( \left( \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{2} - 1 \right)x + 9 = 0 \)
\( -\dfrac{3x}{28} + 9 = 0 \)
\( x = 84 \) (thỏa mãn điều kiện)
Vậy nhà toán học Diophantus là \( 84 \) tuổi.

Bài 10. (Đề học kì 2 Toán 8 năm 2024 – 2025 trường THCS Nghĩa Tân – Hà Nội)
Ban quản lý một bãi tắm biển dùng \( 300 \) m dây phao bao quanh một khu vực hình chữ nhật trên bãi biển để tạo thành "khu vực tắm biển an toàn". Bờ biển sẽ tạo thành một cạnh của hình chữ nhật đó còn dây phao tạo thành ba cạnh của hình chữ nhật (như minh họa trên hình vẽ). Để đảm bảo an toàn người tắm biển chỉ được bơi cách bờ biển không quá \( 25 \) m

Hướng dẫn.

Gọi \( x, y \) (m) lần lượt là độ dài cạnh vuông góc với bờ biển và độ dài cạnh song song với bờ biển của "khu vực tắm biển an toàn"; \( (x, y > 0) \).

Vì độ dài dây phao là 300m nên \( 2x + y = 300 \Rightarrow y = 300 - 2x \).

Vì người tắm chỉ được bơi cách bờ biển không quá 25m nên \( x \le 25 \).

Diện tích "Khu vực tắm biển an toàn" là \( S = xy \ (\text{m}^2) \).

\( S = x(300 - 2x) = -2x^2 + 300x = -2(x - 75)^2 + 11250 \).

Có \( x \le 25 \Rightarrow x - 75 \le -50 \Rightarrow (x - 75)^2 \ge 2500 \).

\( \Rightarrow S = -2(x - 75)^2 + 11250 \le 6250 \).

Dấu “=” xảy ra khi \( x = 25 \Rightarrow y = 250 \) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy diện tích lớn nhất của "Khu vực tắm biển an toàn" là \( 6250 \ \text{m}^2 \) và chiều dài bờ biển của "khu vực tắm biển an toàn" là \( 250 \ \text{m} \).