ĐỀ KHẢO SÁT THÁNG 11 TRƯỜNG THCS PHÚ THƯỢNG NĂM 2025-2026

MATHX gửi quý phụ huynh và các bạn học sinh đề Khảo sát tháng 11 trường THCS Phú Thượng - Phú Thượng - Hà Nội năm 2025 - 2026 kèm đáp án tham khảo Câu 5.

ĐÁP ÁN THAM KHẢO CÂU 5

Câu V. (0,5 điểm)

Nhà bác Thành có một cái ao nuôi cá hình chữ nhật ABCD với độ dài các cạnh AB, AD là đủ lớn. Đợt này vừa có một loại giống cá mới nên bác đã giăng lưới bao lại để nuôi thử nghiệm trên một góc ao của mình. Bác Thành giăng theo một đường thẳng từ một vị trí E ở bờ AB đến một vị trí F ở bờ AD và phải đi qua một cọc cắm sẵn ở vị trí M. Biết rằng khoảng cách từ cọc M đến bờ AB và AD lần lượt là \(10\ \text{m}\) và \(4\ \text{m}\) (như hình minh họa). Hỏi diện tích nhỏ nhất của phần góc ao AEF mà bác Thành có thể bao lại là bao nhiêu?

Hướng dẫn.

Tứ giác \( AHMK \) là hình chữ nhật (vì \( \widehat{A} = \widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ \)) nên \( AH = MK = 4\,(\text{m}) \), \( HM = AK = 10\,(\text{m}) \).

Đặt \( AE = x\,(\text{m}),\ AF = y\,(\text{m}) \) với \( x > 4,\ y > 10 \) \( \Rightarrow EH = x - 4\,(\text{m}),\ KF = y - 10\,(\text{m}) \).

Ta có \( \triangle EHM \sim \triangle MKF \) (g.g) vì \( \widehat{H} = \widehat{K} = 90^\circ \), \( \widehat{HEM} = \widehat{KMF} \) (cặp góc đồng vị do \( KM \parallel AE \)).

\( \Rightarrow \frac{EH}{MK} = \frac{HM}{KF} \Rightarrow \frac{x - 4}{4} = \frac{10}{y - 10} \)
\( \Rightarrow (x - 4)(y - 10) = 40\Rightarrow xy - 4y - 10x + 40 = 40 \)
\( \Rightarrow xy = 4y + 10x \Rightarrow \frac{4}{x} + \frac{10}{y} = 1 \)

Diện tích tam giác AEF là: \( S = \frac12 \cdot AE \cdot AF = \frac12 xy\,(m^2) \).

Nhận xét: Với hai số thực dương \( m,n \) thì:
\( (\sqrt{m}-\sqrt{n})^2 \ge 0 \Rightarrow m - 2\sqrt{mn} + n \ge 0 \Rightarrow m+n \ge 2\sqrt{mn} \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( m=n \).

Áp dụng ta được:
\( 1 = \frac{4}{x} + \frac{10}{y} \ge 2\sqrt{\frac{4}{x} \cdot \frac{10}{y}} = \frac{4\sqrt{10}}{\sqrt{xy}} \Rightarrow xy \ge 160 \)

Do đó \( S \ge \frac12 \cdot 160 = 80 \).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \( \frac{4}{x} = \frac{10}{y} = \frac12 \) \( \Rightarrow x = 8,\ y = 20 \) (thỏa mãn).

Vậy diện tích nhỏ nhất của phần góc ao AEF bằng \( 80\,(\text{m}^2) \).