Trường Toán Online MATHX
Trong bài viết này, thầy Trần Hữu Hiếu giới thiệu đến các em học sinh một số bài toán suy luận logic về dạng toán có sự liên quan tương hỗ, bắt tay, thi đấu.
Đây là các bài toán khó dành cho học sinh khá giỏi lớp 4, 5 tham gia thi học sinh giỏi hay thi vào các trường chuyên cấp 2 chất lượng cao.
CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN DẠNG BẮT TAY, THI ĐẤU
Ví dụ 1: Có 10 người trong một phòng họp. Tất cả mọi người đều bắt tay với những người còn lại mỗi người 1 lần. Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Phân tích và giải:
Cách 1: Trước hết ta nhận thấy rằng nếu có 2 người A và B bắt tay nhau tức là A đã bắt tay B và ngược lại B cũng bắt tay A.
Vì có 10 người nên mỗi người sẽ bắt tay với 10 – 1 = 9 người còn lại.
Tổng số lượt bắt tay của tất cả 10 người là: 10 x 9 = 90.
Do A bắt tay B thì B cũng bắt tay A nên số lần bắt tay ở trên đã được tính 2 lần.
=> Có 90 : 2 = 45 cái bắt tay.
Cách 2: Nhận xét:
- Người 1 bắt tay 9 cái với 9 người còn lại: 2; 3; 4; …10
- Người 2 bắt tay 8 cái với 8 người còn lại: 3; 4; 5; …10 (vì người 1 đã bắt tay rồi)
- Người 3 bắt tay 7 cái với 7 người còn lại: 4; 5; 6; …10
…
- Người 8 bắt tay 2 cái với 2 người còn lại: 9; 10
- Người 9 bắt tay 1 cái với 1 người còn lại: 10
- Người 10 đã bắt tay đủ với tất cả 9 người còn lại rồi.
=> Tổng số cái bắt tay là: 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 (cái)
Đáp số: 45 cái bắt tay
Ví dụ 2: Có 6 đội bóng đá mini thi đấu thể thức vòng tròn 1 lượt (mỗi đội đều đấu với mỗi đội còn lại 1 trận). Đội thắng được 3 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua không được điểm nào.
a) Tính tổng số điểm của tất cả các đội sau giải đấu nếu tất cả các trận đấu đều không kết thúc với kết quả hòa?
b) Nếu tổng số điểm của tất cả 6 đội là 31 điểm. Hãy tìm số điểm của đội vô địch?
Phân tích và giải:
a) Ta có số trận đấu của giải đấu là: 6 x 5 : 2 = 15 trận
Vì không có trận nào kết thúc với kết quả hòa nên mỗi trận đấu đều có tổng điểm của hai đội tham dự là: 3 + 0 = 3 điểm
=> Tổng số điểm của tất cả các đội tham dự là: 15 x 3 = 45 (điểm)
b) Theo câu a) ta thấy nếu tất cả các trận đều không hòa thì tổng số điểm là 45, nhưng do đề bài ở câu b) tổng số điểm của tất cả các đội chỉ là 31 => chắc chắn có 1 số trận kết thúc với kết quả hòa.
Ta nhận thấy: Một trận đấu kết thúc với kết quả thắng – thua sẽ đem lại tổng điểm cho hai đội tham gia là: 3 + 0 = 3 điểm. Còn 1 trận đấu kết thúc với kết quả hòa sẽ đem lại cho hai đội tham gia: 1 + 1 = 2 điểm.
Như vậy nếu thay 1 trận thắng bởi 1 trận hòa thì số điểm giảm đi là: 3 – 2 = 1 điểm
Để giảm từ 45 điểm xuống 31 điểm thì số trận hòa là: (45 – 31) : 1 = 14 (trận)
=> Còn lại số trận thắng – thua là: 15 – 14 = 1 (trận)
Vậy nếu tổng số điểm của các đội tham gia là 31 điểm thì giải đấu có 14 trận hòa và chỉ có 1 trận thắng – thua => Đội vô địch phải là đội thắng trận đấu đó.
Mỗi đội đều đấu: 6 – 1 = 5 trận => Đội vô địch thắng 1 và hòa 5 – 1= 4 trận
=> Số điểm của đội vô địch là: 1 x 3 + 4 x 1 = 7 điểm.
Ví dụ 3: Trong một cuộc thi đấu cờ vua có 6 kì thủ tham gia. Mỗi người đều phải đấu một trận với mỗi người khác, thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm, thua không điểm nào. Số điểm của 8 người lần lượt là 9, 8, 6, 3, 3, 1. Hỏi 3 người ở tốp trên đã để mất bao nhiêu điểm khi đấu với 3 người ở tốp cuối.
Phân tích và giải: Ta thấy mỗi trận đấu dù kết thúc với kết quả nào thì tổng điểm mang lại cho hai đội tham gia là: 2 + 0 = 1 + 1 = 2 điểm
Chú ý rằng khi 3 người tốp dưới đấu với nhau thì dù kết quả như thế nào thì điểm cũng thuộc về 3 người đó. Số trận đấu giữa ba người tốp dưới là: 3 x 2 : 2 = 3 trận
Số điểm mà 3 người tốp dưới có được khi đấu với nhau là: 3 x 2 = 6 điểm.
Theo đều bài tổng số điểm 3 người tốp dưới là: 3 + 3 + 1 = 7 điểm
Như vậy số điểm 3 người tốp dưới giành được khi đấu với 3 người tốp trên là:
7 – 6 = 1 điểm
Hay 3 người tốp trên đã mất 1 điểm khi đấu với 3 người tốp dưới.
Ví dụ 4: Trong một giải bóng đá có 4 đội A, B, C, D thi đấu. Mỗi đội phải đấu 1 trận với mỗi đội còn lại, thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm và thua không được điểm nào. Kết thúc giải, 3 đội A, B, C đạt được số điểm lần lượt là 6, 5, 1. Hãy tìm xem đội D được bao nhiêu điểm và đưa ra kết quả của từng trận.
Phân tích và giải: Nhận xét: Ở ba ví dụ trên chúng ta đã lần lượt xem xét về số trận đấu, (số cái bắt tay), về tổng điểm của mỗi trận đấu, về tổng điểm của một “nhóm” các đội.
Ở bài này ta quan tâm đến điểm của từng đội. Điều này thể hiện mối quan hệ tương quan giữa các đội trong dạng toán thi đấu: A giành điểm khi thắng B tức là B mất điểm khi thua A.
Ta thấy vì có 4 đội nên mỗi đội đều thi đấu: 4 – 1 = 3 trận.
Xét đội A: 6 điểm = 3 + 3 + 0 => đội A thắng 2 trận, thua 1 trận
Xét đội B: 5 điểm = 3 + 1 + 1 => đội B thắng 1 trận, hòa 2 trận
Xét đội C: 1 điểm = 1 + 0 + 0 => đội C hòa 1 trận, thua 2 trận
Từ đó ta thấy: A không hòa, B không thua nên trận đấu giữa A và B có kết quả là B phải thắng A => A thua 1 trận là thua B => A thắng C và D.
B thắng 1 trận là thắng A => B hòa C và D.
Vì C chỉ được 1 điểm là do trận hòa với B nên C thua D
=> D thua A, hòa B và thắng C nên số điểm của D là: 0 + 1 + 3 = 4 điểm.
Kết quả từng trận đấu như sau:
A thua B; A thắng C; A thắng D
B thắng A; B hòa C; B hòa D
C thua A; C hòa B; C thua D
D thua A; D hòa B; D thắng C
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Trong 1 lớp học dành cho những cháu học sinh yêu Toán mà Thầy Hiếu tổ chức, các bạn học sinh đều rất ngoan và lịch sự. Bạn đến sau đều lần lượt bắt tay với tất cả các bạn đến trước. (không có 2 bạn nào đến cùng lúc). Thầy Hiếu quan sát và thấy có tất cả 78 cái bắt tay. Hỏi lớp học của Thầy Hiếu có bao nhiêu người?
Bài 2: Có n người tham gia một cuộc họp. Mỗi người đều bắt tay với những người còn lại. Hãy tính xem có bao nhiêu người tham dự cuộc họp đó biết rằng tổng số lần bắt tay là một số có 3 chữ số giống nhau.
Bài 3: Trong một cuộc họp có a người tham gia. Mỗi người đều bắt tay với tất cả những người còn lại trừ bạn A, A chỉ bắt tay với một số người trong những người còn lại. Người ta đếm thấy có tất cả 115 cái bắt tay. Hỏi có bao nhiêu người tham dự cuộc họp và A bắt tay với bao nhiêu người?
Bài 4: Có 8 đội bóng tham dự 1 giải bóng đá. Mỗi đội đều phải đấu với các đội còn lại 1 trận. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Bài 5: Có 34 đội bóng đá thi đấu với nhau. Cách chia bảng bất kỳ, có thể có đặt cách cho những đội lẻ ra. Mỗi trận đấu, đội thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Hỏi tổng số điểm tất cả các trận đấu có thể bằng 173 điểm được hay không?
Bài 6: Có 8 đội bóng đá chia làm hai bảng, mỗi bảng 4 đội sẽ thi đấu vòng tròn chọn ra hai đội có thành tích tốt nhất để vào vòng bán kết. Hai đội thắng trong hai trận bán kết sẽ được vào thi đấu trận chung kết. Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm. Điểm vẫn được tính cho các trận đấu bán kết, chung kết. Hỏi sau giải đấu, tổng điểm của tất cả các đội có thể là 46 điểm hay không?
Bài 7: Vòng chung kết bóng đá tiểu học 2014, có 5 đội tuyển của 5 trường tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn 1 lượt. Đội thắng được 2 điểm, thua 0 điểm và nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội được 1 điểm. Sau khi thi đấu người ta thấy tổng điểm của 5 đội là 21. Tính số điểm đội vô địch?
Bài 8: Một giải cờ vua có 8 người tham dự. Mỗi người thi đấu 1 ván với từng người còn lại. Mỗi trận thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua không được điểm. Kết thúc giải, mỗi người có 1 điểm số khác nhau và điểm của người xếp thứ 2 bằng tổng điểm của 4 người xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu của người thứ tư và thứ 5 có kết quả ra sao?
Bài 9: Trong một cuộc thi đấu cờ vua có 8 kì thủ tham gia. Mỗi người đều phải đấu một trận với mỗi người khác, thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm, thua không điểm nào. Số điểm của 8 người lần lượt là 14, 12, 9, 8, 6, 3, 3, 1. Hỏi 4 người ở tốp trên đã để mất bao nhiêu điểm khi đấu với 4 người ở tốp cuối.
Bài 10: Hai bạn Hiếu và Học chơi cờ với nhau theo quy ước sau: Chơi 10 ván, mỗi ván thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua không được điểm nhưng nếu thắng trước 5 phút thì được 2 điểm; ai có tổng số điểm nhiều hơn thì người đó thắng cuộc. Kết thúc cuộc chơi thì không có ván nào hòa, Học thắng cuộc nhưng số ván thắng của Học lại ít hơn số ván thắng của Hiếu. Biết tổng số điểm của hai bạn là 13, hỏi mỗi bạn đã thắng mấy ván?
Xem thêm Khóa học Toán nâng cao lớp 5 trên website mathx.vn