Trường Toán Online MATHX
Trong bài viết này thầy Trần Hữu Hiếu sẽ giới thiệu đến các em bài toán tìm số lần xuất hiện của chữ số trong dãy số. Đây một bài toán khó trong chương trình giảng dạy toán lớp 5 yêu cầu sự tư duy cao, các em cần đọc kĩ và luyện tập với các bài toán tương tự để nhuần nhuyễn dạng toán này nhé
Đề Bài: Có bao nhiêu chữ số 5 xuất hiện trong dãy số sau: 1, 2, 3, 4, 5, ..., 999
Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp dãy số cách đều
Chữ số 5 sẽ có thể xuất hiện ở cả 3 hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị
Ta sẽ tìm xem số 5 sẽ xuất hiện bao nhiêu lần ở hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị
Số 5 ở hàng đơn vị: 5, 15, 25, 35, ..., 995
Ta có số lần xuất hiện của số 5 ở hàng đơn vị là:
(995 - 5) : 10 + 1 = 100 (lần xuất hiện)
Số 5 ở hàng chục:
50, 51, 52, ...,59
150, 151, 152, ..., 159
...
950, 951, 952, ..., 959
Ta thấy mỗi khi số 5 xuất hiện ở hàng chục thì nó sẽ xuất hiện liền nhau liên tiếp 10 lần và mỗi lần xuất hiện sẽ cách nhau 100 đơn vị (50, 150, 250...950)
Ta có số lần xuất hiện của số 5 ở hàng chục là:
[(950 - 50) : 100 + 1] x 10
= (900 : 100 + 1) x 10
= (9 + 1) x 10
= 10 x 10
= 100 (lần xuất hiện)
Số 5 ở hàng trăm: 500, 501, 502, ..., 599
Ta có số lần xuất hiện của số 5 ở hàng trăm là:
(599 -500) : 1 + 1
= 99 : 1 + 1
= 100 (lần xuất hiện)
Ta có số lần chữ số 5 xuất hiện từ 1 đến 999 là:
100 + 100 + 100 = 300 (lần xuất hiện)
Đáp số: 300 lần xuất hiện
Cách 2: giải theo phương pháp lập số
Xét các số có 1 chữ số: 5 -> 1 số
Xét các số có 2 chữ số (số 5 có thể xuất hiện ở hàng chục và hàng đơn vị), ta có:
\(\overline {a5}\) và \(\overline {5a}\)
\(\overline {a5}\) : a có thể là số từ 1 đến 9 -> có 9 cách chọn a
\(\overline {5a}\) : a có thể là số từ 0 đến 9 -> có 10 cách chọn a
Nhiều bạn có thể thắc mắc là số 55 sẽ bị trùng nhưng theo yêu cầu đề bài là chữ số 5 xuất hiện bao nhiêu lần từ 1 đến 999 nên ta với số 55 thì số 5 sẽ xuất hiện 2 lần ở hàng chục và hàng đơn vị tưởng tự số 555 thì số 5 sẽ xuất hiện 3 lần ở hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị
Xét các số có 3 chữ số (số 5 có thể xuất hiện ở hàng trăm, hàng chục và hàng đơn vị), ta có;
\(\overline {ab5}\), \(\overline {a5b}\) và \(\overline {5ab}\)
\(\overline {ab5}\) : a có thể là số từ 1 đến 9, b có thể là số từ 0 đến 9 -> có 9 x 10 = 90 cách chọn ab
\(\overline {a5b}\) : a có thể là số từ 1 đến 9, b có thể là số từ 0 đến 9 -> có 9 x 10 = 90 cách chọn ab
\(\overline {5ab}\) : a có thể là số từ 0 đến 9, b có thể là số từ 0 đến 9 -> có 10 x 10 = 100 cách chọn ab
Ta có tổng số lần chữ số 5 xuất hiện từ 1 đến 999 là:
1 + 9 + 10 + 90 + 90 + 100 = 300 (lần xuất hiện)
Đáp số: 300 lần xuất hiện
Cách 3:
Xét dãy số: 000; 001; 002; 003; ...; 998; 999
Ta có dãy số trên không làm thay đổi số lần xuất hiện của chữ số 5, tương tự với chữ số 1, 2, 3,... , 9 cũng không thay đổi. Chỉ có chữ số 0 là thay đổi khi xét với dãy số trên (vì ta cho phép chữ số hàng trăm bằng 0)
Dãy trên có: (999 - 000) : 1 + 1 = 1000 (số)
Mỗi 1 số có 3 chữ số nên ta có số chữ số trong dãy trên là: 1000 x 3 = 3000 (chữ số)
Các chữ số 0; 1; 2; 3; ...; 999 xuất hiện số lần giống nhau (chỉ áp dụng với dãy số trên)
Mà mỗi hàng các chữ số sẽ xuất hiện từ 0 đến 9 là tổng cộng 10 lần
Suy ra với dãy số từ 000 đến 999 mỗi chữ số sẽ xuất hiện số lần là: 3000 : 10 = 300 (lần)
Suy ra số lần chữ số 5 xuất hiện là 300 lần
Đáp số: 300 lần xuất hiện
Vừa rồi, thầy Hiếu đã hướng dẫn cho các em cách giải quyết bài toán tìm số lần xuất hiện của chữ số trong dãy số thuộc chương trình học nâng cao toán lớp 5. Các em đọc kĩ đề bài và cách làm, ngoài ra xem thêm video thầy Hiếu giải trực tiếp. Nếu cần giải thích kĩ càng hơn các em có thể nhắn tin hỏi trên Fanpage của MATHX để được các thầy cô trợ giúp nhé. Chúc các em ôn tập tốt
Các em tham khảo thêm một số bài toán hay được học ở lớp 5 tại đây:
DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN - TOÁN LỚP 5 - TUẦN 20
TỈ SỐ PHẦN TRĂM - GIẢI BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM - TOÁN LỚP 5 - TUẦN 15