KHAI THÁC BÀI TOÁN CÓ NHIỀU HƯỚNG GIẢI

Mở đầu: Trong quá trình dạy học cho học sinh khá giỏi lớp 4, 5 tôi có gặp bài toán dưới đây.

Với nhiều lần dạy các học sinh khác nhau, bản thân tôi cũng như các em học sinh đã tìm tòi và tiếp cận bài toán với nhiều hướng giải khác nhau.

Bài viết này xin chia sẻ về bài toán đó nói riêng cũng như chia sẻ một cách học nói chung – học chủ động và tìm tòi.

Bài toán 1: Với các số tự nhiên có 2 chữ số như 41, 32 có tính chất chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Hỏi có bao nhiêu số có tính chất như vậy?

Phân tích: Tiếp cận tự nhiên nhất và phù hợp nhất với học sinh tiểu học có lẽ là liệt kê các khả năng. Chúng ta có thể lần lượt xét các khả năng của chữ số hàng chục, sau đó ứng với mỗi chữ số hàng chục, ta lại xét các khả năng của chữ số hàng đơn vị.

Bài toán 1: Với các số tự nhiên có 2 chữ số như 41, 32 có tính chất chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị. Hỏi có bao nhiêu số có tính chất như vậy?

Phân tích: Tiếp cận tự nhiên nhất và phù hợp nhất với học sinh tiểu học có lẽ là liệt kê các khả năng. Chúng ta có thể lần lượt xét các khả năng của chữ số hàng chục, sau đó ứng với mỗi chữ số hàng chục, ta lại xét các khả năng của chữ số hàng đơn vị.

Hướng 1: Liệt kê các trường hợp

Lời giải:

Xét số có 2 chữ số dạng ab , trong đó a, b là các chữ số, a khác 0.
Ta xét các khả năng sau:
a = 9 → b có 9 khả năng, b = 0; 1; 2; ...8
a = 8 → b có 8 khả năng, b = 0; 1; 2; ...7
a = 7 → b có 7 khả năng, b = 0; 1; 2; ...6
...
a = 1 → b có 2 khả năng, b = 0; 1.
a = 0 → b có 1 khả năng, b = 0
Vậy số các số thỏa mãn đề bài là: 9 + 8 + 7 + ... + 3 + 2 + 1 = 45

Hướng 2: Bài toán dạng bắt tay, thi đấu.

Nhận xét: Từ yêu cầu chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị, ta nhận thấy rằng nếu ta có 2 chữ số khác nhau thì chỉ có duy nhất 1 cách tạo thành số thỏa mãn đề bài. Ví dụ: khi ta có chữ số 3 và chữ số 1, ta lập được duy nhất số 31 thỏa mãn chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.

Từ nhận xét đó, chúng ta có hướng tiếp cận bài toán thứ 2 như sau:

Bài toán 2: Có 10 người trong 1 cuộc họp, tất cả mọi người đều bắt tay với nhau 1 lần, hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay.

Bài toán 2 ở trên là bài toán khó nhưng khá quen thuộc và có nhiều ứng dụng trong giải toán tiểu học. Có thể liệt kê thêm một số bài toán dạng này như: Tìm số đoạn thẳng nối được từ một số điểm cho trước, tìm số trận đấu thi đấu bóng đá từ số đội cho trước. Bản chất những bài toán này là dạng toán tổ hợp mà học sinh sẽ được học ở các lớp lớn hơn (cấp 2, cấp 3).

Cũng cần nói thêm rằng các kiến thức về tổ hợp ở mức độ đơn giản đã được đưa vào chương trình học toán của một số nước như Singapore, Mỹ ... ngay từ lứa tuổi tiểu học.

Hướng dẫn giải bài toán 2:

Cách 1: Ta thấy 10 người nên mỗi người sẽ bắt tay với 9 người còn lại. Tuy nhiên A bắt tay với B thì B cũng bắt tay với A nên mỗi lần bắt tay đã được tính 2 lần.

Vậy tổng số cái bắt tay là: 10 x 9 : 2 = 45

Cách 2: Xét 10 người đó là A1; A2; A3; ... A10

Ta xây dựng 1 “quy trình” bắt tay như sau:

A1 bắt tay với 9 người còn lại là A2; A3; A4; ... A10

A2 (đã bắt tay với A1) bắt tay thêm với 8 người còn lại là A3; A4; ... A10.

Tiếp tục như vậy.

A9 (đã bắt tay với 8 người A1; A2; ... A8) bắt tay thêm với 1 người là A10

A10 đã bắt tay đủ với 9 người A1; A2; A3; ... A9.

Vậy có tất cả: 9 + 8 + 7 + ... + 3 + 2 + 1 = 45 cái bắt tay.

Nhận xét rằng số cái bắt tay ở đây chính là số các cách chọn ra 1 cặp gồm 2 người.

Quay trở lại bài toán số 1, chúng ta thấy rằng, chỉ cần chọn ra 2 chữ số khác nhau từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, ... , 9, 10 sẽ lập được đúng 1 số thỏa mãn đề bài.

Từ cách giải bài toán số 2, chúng ta cũng dễ dàng tìm được có 45 cách chọn ra 2 chữ số từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, ..., 9, 10. Với mỗi 2 chữ số ta lập được 1 số duy nhất thỏa mãn đề bài (số lớn hơn đứng ở hàng chục, số bé hơn đứng ở hàng đơn vị)

Hướng 3: Đưa về bài toán ghép cặp (thỏa mãn – không thỏa mãn)

Phân tích: Thấy rằng với 2 chữ số a, b khác nhau ta có thể lập được 2 số có 2 chữ số là ab và ba (với a, b khác 0), trong trường hợp b = 0 ta chỉ có số a0 thỏa mãn đề bài.

Để “cân bằng” giữa các số thỏa mãn đề bài và các số không thỏa mãn đề bài, ta có thể xét thêm các số có 2 chữ số mà ở đó ta chấp nhận chữ số 0 đứng ở hàng chục như sau:

Xét dãy (1): 00, 01, 02, ...09, 10, 11, 12, ...99 → có 100 số

Các số có 2 chữ số giống nhau: 00, 11, 22, ...99 → có 10 số

Còn lại 100 – 10 = 90 số thuộc dãy (1) và có 2 chữ số khác nhau.

Ta thấy 90 số này có thể chia thành cặp “thỏa mãn – không thỏa mãn”

01 và 10
02 và 20
...

ab và ba

Như vậy số các số thỏa mãn đề bài (chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị) bằng 1 nửa của 90 số ta vừa xét ở trên, hay đáp số bài toán là 90 : 2 = 45.

Nhận xét: Từ các giải trên ta cũng tìm được các số có 2 chữ số mà chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị.

Lời kết: Có nhiều hướng để mở rộng bài toán trên. Xin nêu một số mở rộng đó qua các bài toán luyện tập dưới đây:

Bài toán 3: Có bao nhiêu số tự nhiên có 2 chữ số mà cả hai chữ số đều lẻ và hàng chục lớn hơn hàng đơn vị.

Bài toán 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.

Dowload file tài liệu: Khai thác bài toán có nhiều hướng giải