Banner trang chi tiết

Các bài toán về chữ số tận cùng

Trong chương trình toán lớp 4, 5, các em học sinh được tiếp xúc và làm quen với một dạng toán rất thú vị đó là "Các bài toán liên quan chữ số tận cùng của biểu thức".

Trong bài viết này, thầy Hiếu sẽ giới thiệu với các em phương pháp tiếp cận, cách giải dạng toán này.

CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỮ SỐ TẬN CÙNG

 

I. Dạng 1: Xác định số chẵn, số lẻ

Các kiến thức cần ghi nhớ:

- Tổng các số chẵn là một số chẵn.

- Tổng chẵn số lẻ là một số chẵn, tổng lẻ số lẻ là một số lẻ.

- Hiệu hai số chẵn là 1 số chẵn, hiệu hai số lẻ là 1 số chẵn.

- Hiệu giữa số chẵn và số lẻ (hoặc số lẻ và số chẵn) là 1 số lẻ.

- Tích các thừa số lẻ là 1 số lẻ, tích các thừa số trong đó có 1 thừa số chẵn sẽ là số chẵn.

Bài 1. Tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2013 là một số chẵn hay số lẻ?

Bài 2. Tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2013 là số chẵn hay số lẻ

Bài 3. Không cần làm phép tính, hãy xác định xem các phép tính sau đúng hay sai?

a) 672 x 41 x 37 = 1 019 423 

b) 1 472 + 6 210 + 532 + 946 = 9161

Bài 4. Hỏi có tồn tại các số tự nhiên a,b,c hay không sao cho số

S = (2xa+1) x (2 x b-1)x(2 x a x b x c + 1) = 2013x2015x2016

Gợi ý: Xét tính chẵn lẻ 2 vế.

Bài 5. Có tồn tại hay không các số tự nhiên a,b,c sao cho:

 (a+b)x(b+c)x(c+a) = 2013x2015x2017

Gợi ý: Xét tính chẵn lẻ 2 vế.

II. Dạng 2: Tìm chữ số tận cùng của 1 tích các thừa số

Nguyên tắc của dạng Toán này là chúng ta phải TÌM RA QUY LUẬT lặp lại của chữ số tận cùng, cũng như quy luật của các nhóm.

CHÚ Ý:

Số tận cùng là 5 nhân với nhau luôn tận cùng là 5.

Số tận cùng là 1 nhân với nhau luôn tận cùng là 1.

Số tận cùng là 6 nhân với nhau luôn tận cùng là 6.

Số tận cùng là 0 nhân với nhau luôn tận cùng là 0.

Như vậy, với bài toán tìm chữ số tận cùng của tích các chữ số, ta nhóm sao cho xuất hiện 1 trong các số tận cùng 0,1,5,6 ở trên. Sau đó tính số nhóm và số các số thừa ra sau khi ghép nhóm.

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của S = 2x2x2x...x2 (có 2013 số 2)

Giải: Ta thấy 2x2x2x2 = 16 có tận cùng là 6.

Cứ 4 số thành 1 nhóm, 2013 chia 4 được 503 dư 1, như vậy ta sẽ được 503 nhóm và dư ra 1 số.

Ta ghép nhóm : S = (2x2x2x2) x (2x2x2x2) x....x(2x2x2x2) x 2 (có 503 nhóm)

Tích 503 nhóm có tận cùng là 6, nhân thêm số 2 nữa sẽ có tận cùng là 2.

Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của S = 3x13x23x....x2013

Giải: Ta thấy cứ 4 số tận cùng là 3 nhân với nhau sẽ có tận cùng là 1.

Ta tính xem từ 3 cho đến 2013 có bao nhiêu số: (2013 – 3):10 + 1 = 202 số.

Cứ 4 số ghép thành 1 nhóm => có 202 chia 4 được 50 và dư 2 số.

Vậy có 50 nhóm và dư 2 số. Tích 50 nhóm tận cùng là 1, nhân thêm 2 số nữa sẽ tận cùng là 9.

Bài tập:

Bài 3: Tìm chữ số tận cùng của S = 4x4x4x...x4 (2013 số 4)

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của S = 7x17x27x...x2017

Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của S = 9x9x9x....x9 (2002 số 9)

III. Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của biểu thức kết hợp phép nhân và phép cộng

Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của:

 S = 1x2 + 3x4 + 5x6 + 7x8 + 9x10+ 11x12 +....+ 2011x2012

Giải: Ở bài này, chúng ta thấy chữ số tận cùng của các số có quy luật lặp lại, 1,2,3....10 rồi quay lại 1,2....

Nếu ta tách:

S =       (1x2 + 3x4 + 5x6 + 7x8 + 9x10)

            +(11x12 + 13x14 + 15x16 + 17x18 +19x20)

            +....

            +(2001x2002+2003x2004+2005x2006+2007x2008+2009x2010)

            +2011x2012

Nhìn vào cách tách trên ta thấy, mỗi nhóm là tổng của 5 tích, và mỗi nhóm này sẽ có chữ số tận cùng giống nhau (đều là 0).

Nếu chữ số tận cùng là 0, thực ra ta không cần tìm số nhóm nữa, (vì 0 nhân bao nhiêu cũng tận cùng là 0). Tuy nhiên ta cứ đi tìm số nhóm xem được bao nhiêu nhóm

Hãy chú ý số cuối cùng của mỗi nhóm (phần bôi đậm). Ta có khoảng cách là 10:

Số nhóm là (2010-10) :10+1 = 201 nhóm.

Lẻ ra 1 thừa số, 2011x2012 tận cùng là 2, tổng của 201 nhóm tận cùng là 0 => S tận cùng là 2.

Bài 2 : Tìm chữ số tận cùng của

S = 1x3 + 3x5 + 5x7 + 7x9 + 9x11 + 11x13 +…+2011x2013

Bài 3 : Tìm chữ số tận cùng của

S = 1x2 + 2x3+3x4+4x5+5x6+……+2011x2012+2012x2013

Bài 4 : Tìm chữ số tận cùng của :

S =1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 + 1x2x3x4x5 + 1x2x3x4x5x6 +… + 1x2x3x…x2013

Ở bài này, chúng ta thấy có rất nhiều tổng, nhưng lại không có quy luật rồi. Tuy nhiên hay chú ý về sự xuất hiện của các số, đặc biệt là số 5 và số chẵn. Tích của 5 và 1 số chẵn tận cùng là 0. Như vậy từ tích 1x2x3x4x5 trở đi đều có chứa 2 và 5 nên sẽ tận cùng là 0=> Tổng từ số thứ 5 trở đi tận cùng là 0.

S có tận cùng chính là tận cùng của 4 số đầu : 1 + 1x2 + 1x2x3 + 1x2x3x4 tận cùng là 3.

Bài 5 : Tìm chữ số tận cùng của

S = 1x3 + 1x3x5 + 1x3x5x7 +…+1x3x5x7x…x2013

IV. Dạng 4: Tìm số chữ số 0 tận cùng

Trước hết, chữ số 0 tận cùng được hình thành như thế nào ? 2x5 = 10,

2x5x2x5 = 100…

Cứ 1 thừa số 2 và 1 thừa số 5 nhân với nhau cho ta tận cùng thêm 1 số 0....

Bài 1 : Tìm số chữ số 0 tận cùng của S = 1x2x3x4x5x….x100

Giải : Để đi tìm số chữ số 0 tận cùng, ta đi tìm số thừa số 2 và 5 có trong tích trên. Vì số thừa số 5 ít hơn số thừa số 2 (cứ 5 số liên tiếp mới có 1 số chia hết cho 5, trong khi 2 liên tiếp số là có 1 số chia hết cho 2).

Như vậy ta chỉ cần tìm số thừa số 5. Hãy chú ý, thừa số 5 có mặt trong các số 5,10,15….

Những số 25 =5x5 sẽ đóng góp 2 thừa số 5…

Vậy số 125 = ??? đóng góp bao nhiêu thừa số 5….

Các số chia hết cho 5 là : 5,10,….100=> có (100-5):5+1=20 số

Các số chia hết cho 25 là : 25, 50,75,100=> (100-25) :25+1 = 4 số.

Số 25 cho ta 2 thừa số 5, nhưng 1 thừa số đã được tính 1 lần ở phí trên trong dãy 5,10,15,…100 rồi nên ta chỉ thêm 1 thừa số 5 với mỗi số chia hết cho 25.

=> Số thừa số 5 là : 20+4=24

=>Số chữ số 0 tận cùng là : 24

Câu hỏi ?

  1. Ở bài trên ta chỉ xét đến số chia hết cho 25 ? Khi nào xét số chia hết cho 125, 625…
  2. Nếu dãy số không bắt đầu từ số 1 mà bắt đầu từ số khác (ví dụ : 10x11x….x105 thì giải thế nào ?)

Bài 2 : Tìm số chữ số 0 tận cùng của : S = 1x2x3x…x126

Bài 3 : Tìm số chữ số 0 tận cùng của S = 1x2x3x….x625

Bài 4 : Tìm số chữ số 0 tận cùng của S = 11x12x13x….x85

Bài 5 : Tìm số chữ số 0 tận cùng của số sau: S = 100x 101 x102 x…x 225

Bài 6 : Tìm số n lớn nhất sao cho tích sau có đúng 32 chữ sô 0 ở tận cùng.

S = 1x2x3x…xn

Bài 7(*) : Tìm số chữ số 0 tận cùng của :

            S = 2x6x12x20x…x9900

Bài 8 : Tìm số chữ số 0 tận cùng của :

            S = 5x10x15x20x…x100

Bài 9 : Tích tất cả các số tự nhiên từ không chia hết cho 5 và nhỏ hơn 100 có tận cùng là bao nhiêu ?

Bài 10 : Gọi A là tổng 25 chữ số  tận cùng của tích 1x2x3x…x100. Gọi B là tổng 25 chữ số tận cùng của tích 100x101x…x225. Hãy so sánh A và B, giải thích tại sao?

Bài 11 : Cho tích S = 1x2x3x…x375. Cần gạch đi ít nhất bao nhiêu số trong tích trên để tích các số còn lại có tận cùng khác 0. Tìm chữ số tận cùng đó?

 

Download file PDF tại đây: Chuyên đề chữ số tận cùng


Tin liên quan

Tin cùng loại