Trường Toán Online MATHX
Trong bài này, thầy/cô MATHX sẽ giới thiệu đến các em một bài toán về đại lượng bất biến, đây là một dạng toán rất hay và tương đối khó trong chương trình toán nâng cao khối lớp 5.
Bài toán này được lấy trong đề thi vào lớp 6 của trường Ngôi Sao Hà Nội năm học 2023 - 2024. Để xem thêm về đề và tải đề về luyện tập, phụ huynh và các em học sinh truy cập vào đường link ở bên dưới:
GIẢI CHI TIẾT ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 6 TRƯỜNG THCS NGÔI SAO 2023 2024
Đề bài: Cho ba đống sỏi gồm 7, 33 viên và 65 viên. Trong mỗi bước chọn một trong hai thao tác sau để thực hiện: Thao tác 1: Dồn hai đống tùy ý thành một đống. Thao tác 2: Chọn một đống tùy ý có số chẵn viên sỏi để chia thành hai đống có số lượng viên sỏi bằng nhau. Hỏi có khi nào nhận được 105 đống mà mỗi đống chỉ có một viên sỏi không? Vì sao?
Phân tích bài toán và Hướng dẫn giải
Đây là bài toán khó, ý tưởng bài này người ra đề lấy từ đề thi học sinh giỏi toán quốc tế những năm 1970.
Điểm mấu chốt của bài toán này nằm ở chỗ, ta cần thấy là thao tác gộp 2 đống, hoặc chia đôi chỉ ảnh hưởng đến tính chia hết cho 2.
Lời giải
Vì lúc đầu các đống sỏi đều có số lẻ viên, nên chắc chắn bước 1 phải thực hiện thao tác 1: dồn 2 đống nào đó thành 1 đống.
Sau bước 1 ta có thể nhận được các kết quả sau:
- Dồn đống 7 và 33 ta được 2 đống: 40 và 65 viên. Hai số 40 và 65 đều chia hết cho 5, do đó sau bước này dù thực hiện theo thao tác 1 hay 2 thì ta đều phải nhận được các đống có số viên bi chia hết cho 5.
- Dồn đống 7 và 65 ta được 2 đống 72 và 33 viên. Hai số 72 và 33 đều chia hết cho 3, do đó sau bước này dù thực hiện theo thao tác 1 hay 2 thì ta đều phải nhận được các đống có số viên bi chia hết cho 3.
- Dồn đống 33 và 65 ta được 2 đống 7 và 98 viên. Hai đống 7 và 98 đều chia hết cho 7, do đó sau bước này dù thực hiện theo thao tác 1 hay 2 thì ta đều phải nhận được các đống có số viên bi chia hết cho 7.
Như vậy, dù thế nào, ta cũng luôn nhận được các đống có số viên bi chia hết cho 3 hoặc 5 hoặc 7. Vì vậy không thể chia thành các đống mà mỗi đống có 1 viên được.